宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年高二年级第一学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，40分. 1．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 5．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．3 B．5 C． D． 6．设为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，， B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，18分. 9．已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ） A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 10．下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（    ） A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C．这六年增长率最大的为2019年至2020年 D．2020年销量高于这六年销量的平均值 11．在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．满足条件的不可能是直角三角形 B．面积的最大值为 C．当时，的内切圆的半径为 D．若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，15分. 12．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 13．若均为单位向量，且，则的取值范围是 14．已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，77分. 15．已知，，是同一平面内的三个向量，． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 16．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ (2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 17．已知，集合， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C A C B B ABD ABC 题号 11 答案 BC 12．3 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 13． 【分析】由题意及模长公式求出，再结合数量积公式计算即可. 【详解】因为且均为单位向量， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 因为， 所以，即. 故答案为：. 14．①④ 【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答. 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称， 又是偶函数，由得， 则有，即，因此，是周期为4的周期函数， 对于①，在中，当时，，则，①正确； 对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于点对称， 所以在上是减函数，②不正确； 对于③，函数的图象关于点对称，③不正确； 对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调递增， 由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最小值，④正确； 对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，⑤不正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：函数的定义域为，，存在常数，使得，则函数图象关于点对称. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解. （2）由向量垂直得，进而得，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解. 【详解】（1）设向量， 因为，，，所以， 解得或， 所以或. （2）由题， 因为与垂直，所以， 又，所以，得， 所以， 又，故. 16．(1) (2)分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由题意有：，解得， 采用分层抽样在内的学生人数有：， 所以成绩在内的学生有2个； （2）因为成绩在内的频率为：， 所以最低分数为：， 所以估计获得表彰的学生的最低分数为分. 17．(1)或 (2)，或，或，或 【分析】（1）先求出集合，然后由得，再根据集合的包含关系求解； （2）由得，再根据集合的包含关系求解． 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 所以.于是或. ①，则；②，则.所以或. （2）因为，对于： ①时，； ②或. 当时，， 当时，. ③，则集合有两个元素， 所以，同（1）的②. 所以，或，或，或. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可； （2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理有： ， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以； （2），又由（1）知 由余弦定理得， 即，则 所以的面积为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 答案第2页，共3页 答案第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$