2.2 相似三角形的判定（第1课时平行线分线段成比例）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件核心内容为平行线分线段成比例基本事实及推论，通过回顾相似多边形定义，从证明三角形相似需六对元素的复杂性入手，以横格纸平行线截线段为情境，通过观察、思考等环节搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光（几何直观），通过全等证明、比例推导发展数学思维（推理意识），规范几何语言提升数学语言（模型意识），如例1用A型图形应用推论求线段长，例2通过辅助线转化比例关系，帮助学生积累探究经验，教师可依托清晰脉络提升教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.2相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例;掌握基本事实的推论。 通过思考、推理、探索、猜测等活动，归纳结论，经历数学知识的形成和发展过程，体会几何研究的一般方法。 这是一个由特殊到一般、由简单到复杂的认识，目的是让学生积累数学活动的经验用逐步将结论推广的方式。 知识回顾 1.相似形的定义： 形状相同的平面图形叫作相似图形，简称相似形 全等图形是特殊的（一定是）相似图形.但相似性不一定是全等形。 2.相似多边形的定义： 两个 的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的 , ,那么这两个多边形叫作相似多边形。相似多边形 叫作相似比。 边数相同 各个角对应相等 各边对应成比例 对应边的比 你能说说证明两个三角形相似的方法吗？ 根据相似多边形的定义，两个三角形相似要满足两个条件： 三对角分别相等，三对边对应成比例。 导入新课 根据定义证明两个三角形相似要满足六对元素，太复杂了， 还有没有更简单的方法？ 我们常用的横格纸上有一些间距相等的平行线(如图)。在横格纸上任意 画两条与原有直线不平行的直线m,n,它们分别被原有平行线截成若干条线段,这些线段的长度有什么关系呢? = 如何证明？ (1)我们常用的横格纸上有一些间距相等的平行线，在横格纸上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，如图，得到两条线段AB、BC，猜测AB、BC的数量关系. 猜测AB=BC 能证明吗？ M N 过A、B分别作AM,BN垂直横线易证 ∴AB=BC △ABM≌△BCN(AAS) 再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，DE和EF的长有什么关系？ 由（1）易得DE=EF （2） 如图，任意画两条直线m，n与这组平行线相交，所得 四条线段AB、BC、DE和EF，它们成比例吗？ ∵AB=BC，DE=EF ∴=1, =1 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 ∴ = （3） 如图，在横格纸上取不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，所得四条线段AB、BC、DE、EF，上述结论还成立吗？ m . . . A B C D E F . . n . 成立 ∴ =， = ∵B、E分别是线段AC与DF 的第一个四等分点 ∴ = 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 （3） 如图，在横格纸上取不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，所得四条线段AB、BC、DE、EF，上述结论还成立吗？ m . . . A B C D E F . . n . 成立 ∴ =2， =2 ∵B、E分别是线段AC与DF 的第二个四等分点 ∴ = 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 （3） 如图，在横格纸上取不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，所得四条线段AB、BC、DE、EF，上述结论还成立吗？ m . . . A B C D E F . . n . 成立 ∴ =， = ∵B、E分别是线段AC与DF 的第二个四等分点 ∴ = 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 （3） 如图，在横格纸上取不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，所得四条线段AB、BC、DE、EF，上述结论还成立吗？ m . . . A B C D E F . . n . 成立 总能得到 =， = 当B、E分别在是线段AC与DF, ∴ = 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 (4)在横格纸上任取三条不相邻的平行线,任意画两条直线m、n与它们相交，所得四条线段AB、BC、DE、EF，上述结论还成立吗？ 一般地,任意两条直线m,n被一组 平行直线a,b,c所截,交点分别为A,B,C,D,E,F,都有=. 成立 两条直线m，n与这组平行线相交，所得四条线段成比例。 (5)根据比例的性质,还可以得到哪些比例式? = = = = = = = = 口诀 口诀 基本事实9：平行线分线段成比例 几何语言： ∵ a∥b∥c ∴ = ， = 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 (6)如图,在△ABC 中,DE∥BC,线段AD,AB,AE,AC成 比例吗? 线段AD,AB,DE,BC 呢? 请说明理由。 解析：若线段AD，AB，AE,AC成比例，需如何通过添加辅助线转化为三角形的边AB，AC被三条平行线所截的情况。作出直线l//BC。然后运用基本事实9，推出结论。在此基础上，再启发学生运用(4)中第1问的结论，通过添加辅助线DF，探索AD,AB, DE，BC之间的关系，最后将两个问题的结论概括成一个命题，并用文字语言将它表述出来。概括时，应强调DE截△ABC. (6)如图,在△ABC 中,DE∥BC,线段AD,AB,AE,AC 成比 例吗? 线段AD,AB,DE,BC 呢? 请说明理由。 b c a A D B F E C (6)如图,在△ABC 中,DE∥BC,线段AD,AB,AE,AC 成比 例吗? 线段AD,AB,DE,BC 呢? 请说明理由。 解：如图,过点A 作直线l∥BC, l ∵DE∥BC∴l∥DE。 ∴ = 。 再过点D作直线DF∥AC, 交BC于点F F l ∴四边形DFCE是平行四边形 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴DE=CF。 F ∴ = ∴ = = 。 =。 你能总结出这个结论吗？ (7)如图,在△ABC 中,DE∥BC,线段AD,AB,AE,AC 成比 例吗? 线段AD,AB,DE,BC 呢? 请说明理由。 A B C E D b c a A D B F E C A B C E D (7)如图,在△ABC 中,DE∥BC,线段AD,AB,AE,AC 成比 例吗? 线段AD,AB,DE,BC 呢? 请说明理由。 A B C E D 解：如图,过点A 作直线l∥BC, l ∵DE∥BC∴l∥DE。 ∴ = 。 再过点D作直线DF∥AC, 交BC的延长线于点F F A B C E D l F ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形CFDE是平行四边形 ∴DE=CF。 ∴ = =。 ∴ = = 。 你能总结出这个结论吗？ A B C E D 推论 平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的 三角形的三边与原三角形的三边对应成比。 几何语言： ∵ DE∥BC ∴ = ， = 字母 A 型 字母X 型 例1、如图,在△ABC 中,DE∥BC,AB=4,AE=3,EC=2, DE=4,求DB 和BC 的长。 解:∵AE=3,EC=2, ∴AC=5。 ∵DE∥BC, ∴ = ∴ = ∴BD= ∵DE∥BC, ∴ = ∴ = ∴BC= 1.如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DE=2.4,求DF 的长。 解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ = ∵AB=3,BC=5,DE=2.4, ∴ = ∴EF=4 ∴DF=DE+EF=2.4+4=6.4 例2、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE=3EC.D是AC的中点,AE,BD交于点F,求AF:EF的值. A B C D E F 解析:要解决线段比的问题，可以通过作辅助平行线利用平行线分线段成比例的方法来推导线段比例。关键是做平行线时要把条件中的比例转化为平行线分线段成比例中的线段。 A B C D E F H 解：如图,过点E 作直线EH∥AC, 交BD于点H. ∴ = = ∵BE=3EC，D是AC的中点， ∴ = ∴BC=4CE,AD=CD ∴ = 2.如图所示，点O是△ABC中BC边上的中点,且= , 求 的值. A B C D O E H 解:如图，过B作BH//AC，交DE于点H， ∴∠HBC∠=C, ∠BOH=∠COE ∵点O是BC边上的中点 ∴OB=OC, ∴△OBH≌△OCE(ASA) ∴BH=CE, A B C D O E H ∵BH//AC， ∴ = ∵ ∴ = ∴ = = 几何语言： ∵ a∥b∥c ∴ = ， = 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 1.基本事实9：平行线分线段成比例 A B C E D 几何语言： ∵ DE∥BC ∴ = ， = 字母 A 型 字母X 型 2.推论 平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线, 所截得的 三角形的三边与原三角形的三边对应成比。 1.如图,l1∥l2∥l3,直线l4,l5 相交于点A,且分别与l1,l2,l3 相交。 (1)写出图①中对应线段的比例式; (2)写出图②中直线l4,l5 被l1,l2,l3 所截得的对应线段的比例式。 解：(1) = = = (2) = = 2.如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2,CD=4，则GH的长为 . C B A H G D 解析：∵AB//GH//CD ∴ = = ∴ + =+ ∴ + = ∵AB=2,CD=4 ∴ + =1 ∴GH= 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $