2.3 相似三角形的性质（第1课时）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过知识回顾复习相似三角形判定方法及已有性质，结合公园绿地示意图的实际问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用观察发现、思考交流的探究式教学，以公园绿地面积估算、直角三角形余料裁正方形等实例，培养学生数学眼光、推理思维和应用意识。课堂小结清晰梳理性质及运用，助力学生掌握知识，为教师提供系统教学资源。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.3相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1、2 学 习 目 标 1 2 3 掌握相似三角形对应高线、面积的性质定理，能利用它进行有关的计算和证明。(推理能力) 运用相似三角形的性质定理解决一些简单的问题。(应用意识) 通过对相似三角形的性质定理的探索，体会相似三角形判定定理的作用，感悟转化的数学思。(推理能力) 思考 相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 2.平行法：平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似. 5.判定定理3：三边对应成比例的两三角形相似. 3.判定定理1： 两角分别相等的两个三角形相似. 4.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 知识回顾 相似三角形有哪些性质？有什么作用？ 思考 相似三角形的 三个角对应相等 三边对应成比例 相似三角形的性质的作用：求角的度数；线段长。 知识回顾 三角形除了三条边的长度，三个内角的度数外， 还有哪些几何量？ 高线、中线、角平分线的长度， 周长， 面积。 A B C A' B' C' 如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 这就是我们将要研究的相似三角形的性质。 新知导入 如图所示是某公园一块三角形绿地的示意图, 比例尺为1∶10000。如何根据示意图估算出三角形绿地的实际面积? 如何计算三角形的面积？ 要知道三角形的 底边长和高 如图,△ABC 与△A'B'C'分别表示示意图上的绿地和实际绿地,△ABC 与△A'B'C'相似吗？相似比是多少？ A B C A' B' C' 图上的绿地 实际绿地, △ABC 与△A'B'C'相似， 相似比是k=1∶10000，即==k= 放大 如图,△ABC 与△A'B'C'分别表示示意图上的绿地和实际绿地, AD,A'D'的比是多少呢？ A B C A' B' C' D D' AD,A'D'分别是对应边BC,B'C'上的高。 ∵△ABC 与△A'B'C'相似 ∴∠B=∠B′， ∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C' ∴∠ADB=∠A'D'B′， ∴△ABD ∽△A'B'D'. ∴ ==k= 如图,△ABC 与△A'B'C'分别表示示意图上的绿地和实际绿地, AD,A'D'的比是多少呢？ A B C A' B' C' D D' AD,A'D'分别是对应边BC,B'C'上的高。 ∵△ABD ∽△A'B'D'. ∴ ==k ∴相似三角形的对应高AD,A'D'的比等于相似比k。 如图,△ABC 与△A'B'C'分别表示示意图上的绿地和实际绿地, A B C A' B' C' D D' AD,A'D'分别是对应边BC,B'C'上的高。 ∵S△ABC=BC•AD 如何根据示意图估算出三角形绿地的实际面积? S△A'B'C'= B'C'•A'D' ∴ = =k2 如图,△ABC 与△A'B'C'分别表示示意图上的绿地和实际绿地, A B C A' B' C' D D' AD,A'D'分别是对应边BC,B'C'上的高。 如何根据示意图估算出三角形绿地的实际面积? 以上结论适用所有的相似三角形吗？ 相似三角形的面积之比 等于相似比k的平方。 A B C A' B' C' D D' 如图,一般地,如果△ABC与△A'B'C'相似,设相似比为k。 (1)△ABC 与△A'B'C'对应高的比是多少? 请说明理由。 ∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'。 ∵AD⊥AC,A'D'⊥A'C', ∴∠ADB=∠A'D'B'。 ∴△ABD∽△A'B'D'。 ∴ = =k。 相似三角形对应高的比等于相似比。 A B C A' B' C' D D' 如图,一般地,如果△ABC与△A'B'C'相似,设相似比为k。 (2)△ABC 与△A'B'C'面积的比是多少?请说明理由。 ∵S△ABC=BC•AD S△A'B'C'= B'C'•A'D' ∴ = =k2 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 A B C D A' B' C' D' =k2 ∴ = =k。 相似三角形的性质 相似三角形的性质1 相似三角形对应高的比等于相似比。 相似三角形的性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ∵△ABC∽△A'B'C', 当我们用相似三角形的性质解题时，要特别注意其中的“对应”，即并不是任意高的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比等于相似比。 注意： （2）把一个三角形变成和它相似的三角形， ①如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍； ②如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的____倍. 例1、（1）△ABC 与△A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ . （3）两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，它们的 面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______ . 16 25 10 50cm2、8cm2 典例讲解 1.如果把一个三角形的三边长同时扩大到原来的10倍,那么它的面积将发生怎样的变化? 如果把一个三角形的面积扩大到原来的9倍,保持形状不变,那么它的三边长将发生怎样的变化? 解：三角形的面积扩大到原来的100倍； 三角形的三边长扩大到原来3倍。 缩小 缩小 缩小 缩小 跟踪练习 例2、如图,在△ABC 中,DE∥BC,AD∶DB=3∶2,△ABC 的面积为50。求四边形DBCE 的面积。 解:∵AD∶DB=3∶2 ∴= ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B。 典例讲解 ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC。 ∴=()2=()2= ∵S△ABC=50, ∴S△ADE=18。 ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=50-18=32。 典例讲解 2.如图，在△ABC和△DBE中，==，且∠DBA=∠CBE。 若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积。 解析：根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△DBE,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得 S△ABC与S△ADE比的值，再根据已知条件S△ABC与S△ADE的面积之和，求解。 跟踪练习 解 ：∵∠DBA=∠CBE。 ∴△ABC∽△DBE。 ∴=()2=()2= ∵△ABC与△DBE的面积之和为170cm2 ∴S△DBE=170×=45(cm2)。 ∵= = ， ∴∠ABC=∠DBC。 跟踪练习 例3、如图所示，在△ABC中，D,E分别为BC,AC边的中点 AD,BE相交于点G,若S△DEG=1，求S△ABC。 分析 先求与△DEG相似的△ABG的面积，由△ABG与△DEG的相似比为2:1,得 S△ABG=4。不难看出△AEG和△DBG都与△DEG等高，因此它们各自的面积都是△ DEG面积的2倍，从而可以求出四边形ABDE的面积，根据△DEC的面积与△ABC的面积关系求解. 典例讲解 解:∵D,E分别是BC,AC的中点， ∴DE//AB,DE=AB, 又∵S△DEG=1,∴S△ABG=4。 ∵= == 2, ∴S△AEG=2。 等高的两个三角形的面积比等于底边长的比。 ∴△ABG∽△DEG ∴=()2=()2=4. 典例讲解 同理可得S△BDG=2。 ∴S四边形ABDE=S△DEG+S△ABG+S△AEG+S△BDG =4+2+2+1=9。 ∵DE//AB, ∴△CDE∽△CAB, ∴=()2=()2= ∴S△ABC=9÷=12 典例讲解 3.如图，在△ABC中，DE//BC，BE和CD相交于点F，且 S△EFC=3S△EFD.求S△ADE:S△ABC的值. 解:∵S△EFC=3S△EFD ∴CF=3DF 等高的两个三角形的D底边长比等于的面积比。 ∵DE//BC ∴∠ADE=∠ABC, == ∵∠A=∠A, ∴S△ADE:S△ABC=( )2=()2= ∴△ADE∽△ABC。 跟踪练习 例4、有一块三角形余料,三边长分别为3cm,4cm,5cm。用这 块余料裁出一个正方形。这个正方形的最大面积是多少? 解:因为32+42=52，根据勾股定理逆定理可得，这块三角形余料的形状是直角三角形。要从这块余料中裁出面积最大的正方形，有两种裁剪方案。 A C B 设三角形为ABC,AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm. 探究与创新 方案一:如图①正方形的一边在直角边上; 方案二:如图②正方形的一边在斜边上. A C B D E F ① A C B D E G F ② 设正方形的边长为xcm, 方案一:如图①,由题意得AD=4-x ∵∠A=∠A,∠ADE=∠ACB, ∴△ADE∽△ABC。 探究与创新 A C B D E F ① ∴ = ∴ = 解得x= 此时正方形的面积是. 方案二:如图② 过点C作CM⊥AB交DE于点N。 A C B D E G F ② M N ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE∥AB ∴∠DEC=∠B, 探究与创新 A C B D E G F ② M N ∵∠C=∠C, ∴△CDE∽△CAB。 ∴ = ∵S△ABC=AC•BC=AB•CM, ∴ ×3×4=×5CM, ∴CM= ∴ = 解得x= ∵＞ ∴正方形的最大面积是。 相似三角形对应高的比等于相似比。 探究与创新 4.如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AD=8cm.现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，求裁出的正方形工件的边长。 A B C D E F G 解：在△ABC中，设裁出的正方形为DEFG. N M N 过点A作AM⊥BC交DE于点N。 ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE∥AB ∴∠DEC=∠B, 跟踪练习 A B C D E F G ∵∠C=∠C, ∴△CDE∽△CAB。 M N ∴ = 设PN=x，则AE=8-x. ∵BC=12,AD=8, ∴ = 解得x= ∴裁出的正方形工件的 边长为cm. 跟踪练习 1.如图所示，正方形ABCD中，点F在边AB上，且 AF:FB=1:2, AC与DF交于点N。 (1)当AB=4时，AN= ； (2)S△ANF:S四边形CNFB= 。 1:3 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，=, 求的值是多少？ 解:∵ = , ∴设AD=k,则CD=2k, ∴AC==k ∴ = ∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°, ∴∠ACD=∠B。 又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC， ∴=()2=()2= A B C D A' B' C' D' =k2 ∴ = =k； 1.相似三角形的性质 相似三角形的性质1 相似三角形对应高的比等于相似比。 相似三角形的性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ∵△ABC∽△A'B'C', 课堂小结 2.相似三角形性质的运用：求线段长或面积。 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $