周周测06 3.2 函数的性质 （数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦函数基本性质，通过单选（如奇函数求值）、多选（如奇偶性与单调性综合判断）及解答题（如实际销售利润分析），实现概念辨析与能力提升，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|奇函数求值（1）、单调递增奇函数判断（2）|基础概念分层考查，梯度合理| |多选|3/18|偶函数与增函数判断（9）、函数性质综合（10）|多角度辨析，提升区分度| |填空|3/15|偶函数参数求解（12）、函数最小值（13）|针对性巩固核心技能| |解答|5/77|实际销售利润（18）、单调性证明与不等式（17）|融合现实情境，综合考查逻辑推理与运算能力|

2026-2027学年高一上学期数学周周测 06 3.2 函数的基本性质 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为增函数 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调递减区间为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是偶函数，则实数的值为______. 10．函数的最小值为______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知是定义在上的奇函数，当时． ①求的解析式； ②根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； ③若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． （2）．已知是偶函数，是奇函数，且， ①求和的表达式； ②若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 06 3.2 函数的基本性质 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象与轴有三个交点 D．函数最大值为2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为增函数 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调递减区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是偶函数，则实数的值为______. 13．函数的最小值为______． 14．已知，设函数，存在最小值，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．函数，定义域为 (1)当时，求的值域； (2)若恒成立，求实数的取值范围 16．若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 17．已知是定义在上的奇函数，当时． (1)求的解析式； (2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 19．已知是偶函数，是奇函数，且， （1）求和的表达式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 06 3.2 函数的基本性质 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 2．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 3．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 4．已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可求函数在的值域，故可得在该区间上的最大值. 【详解】若，则，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以， 则，所以，故在上的最大值为. 故选：A. 5．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的单调性将函数不等式转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间单调递增， 所以在上单调递减， 不等式，即，即或， 解得或， 即满足的x取值范围为. 故选：B 6．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性列式求解. 【详解】解：二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有解得． 故选：B 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为增函数 【答案】ACD 【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性. 【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：    由图知：值域为，且在定义域上递增， 令，则，故， 令，则，故，且， 所以为奇函数. 故选：ACD 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调递减区间为 【答案】AC 【分析】根据定义在上的奇函数必过原点求的值，判断A的真假；求时，函数的解析式判断B的真假；解不等式，判断C的真假，根据函数单调区间的写法判断D的真假. 【详解】对A：因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以，故A正确； 对B：设，则，所以， 又， 所以，，故B错误. 对C：由或得：或， 所以不等式的解集为：，故C正确； 对D：函数的单调递减区间一定不能写成并集的形式，所以D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是偶函数，则实数的值为______. 【答案】3 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 10．函数的最小值为______． 【答案】2 【分析】利用换元法以及基本不等式即可求解函数最小值. 【详解】令，则， 原函数可化为， 当且仅当时取等号，此时， 函数的最小值为2． 故答案为：2. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知是定义在上的奇函数，当时． ①求的解析式； ②根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； ③若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． （2）．已知是偶函数，是奇函数，且， ①求和的表达式； ②若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)① ②见解析 ③ （2）①，；②． 【分析】（1）①当时，利于奇函数的定义求解即可； ②根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性； ③根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可. （2）①根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式； ②先将已知不等式进行化简，然后可以分离参数，利用基本不等式求最值即可求解． 【详解】（1）①依题是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 则， 所以. ②在上的单调递减，证明：当时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故，即， 所以在上单调递减， 根据奇函数的性质可知在上的单调递减. ③因为， 化为， 即， 根据在上的单调递减， 则，在时恒成立， 即恒成立， 故， 解得， 故实数k的取值范围为. （2）①因为为偶函数，为奇函数，①， 所以， 即②， 联立①②，解得：，， ②因为，， 由对于任意的恒成立， 可得对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 所以， 因为， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 06 3.2 函数的基本性质 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 2．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 3．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 4．已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可求函数在的值域，故可得在该区间上的最大值. 【详解】若，则，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以， 则，所以，故在上的最大值为. 故选：A. 5．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的单调性将函数不等式转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间单调递增， 所以在上单调递减， 不等式，即，即或， 解得或， 即满足的x取值范围为. 故选：B 6．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 7．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性列式求解. 【详解】解：二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有解得． 故选：B 8．对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象与轴有三个交点 D．函数最大值为2 【答案】C 【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意可得：， 令；解得或；令；解得； 所以，即， 作出函数的图像如下:    对于选项A：由图像可知为偶函数，故选项A错误. 对于选项B：由图像可知在区间上单调递增， 但. 可得在区间上不单调递增，故选项B错误. 对于选项C：由图像可知：函数图象与轴有三个交点，故选项C正确. 对于选项D：由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案. 【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项. 函数，均为偶函数. 又二次函数在上为增函数. ，当时，函数可化为，在上为增函数. 故选项B，D满足条件. 故选：BD 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为增函数 【答案】ACD 【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性. 【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：    由图知：值域为，且在定义域上递增， 令，则，故， 令，则，故，且， 所以为奇函数. 故选：ACD 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调递减区间为 【答案】AC 【分析】根据定义在上的奇函数必过原点求的值，判断A的真假；求时，函数的解析式判断B的真假；解不等式，判断C的真假，根据函数单调区间的写法判断D的真假. 【详解】对A：因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以，故A正确； 对B：设，则，所以， 又， 所以，，故B错误. 对C：由或得：或， 所以不等式的解集为：，故C正确； 对D：函数的单调递减区间一定不能写成并集的形式，所以D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是偶函数，则实数的值为______. 【答案】3 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 13．函数的最小值为______． 【答案】2 【分析】利用换元法以及基本不等式即可求解函数最小值. 【详解】令，则， 原函数可化为， 当且仅当时取等号，此时， 函数的最小值为2． 故答案为：2. 14．已知，设函数，存在最小值，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】分和两种情况对函数进行单调性分析即可得出答案. 【详解】当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时当时，，当时，， 所以要想有最小值，只需满足即可，解得； 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 此时当时，，即不可能有最小值，所以 不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．函数，定义域为 (1)当时，求的值域； (2)若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数特征直接求解即可； （2）根据进行分类讨论，通过参变分离的方法转化为最值问题求解即可. 【详解】（1）当时，函数，开口向上，对称轴为， 又因为函数定义域为，所以，即， 所以的值域为 （2）因为恒成立， 所以当时，成立，， 当时，， 即，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，即实数的取值范围为 16．若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)图象见详解 (2)或. 【分析】（1）由函数在的解析式结合偶函数的性质，即可画出函数图象； （2）求出函数的最小值，函数与有两个交点，通过函数图象即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以函数在上的函数图象如下： 因为函数是定义在上的偶函数，所以函数图象关于轴对称， 所以函数的图象如下： （2）由（1）可知，函数的最小值为， 方程有2个不同的实数解，即函数与有两个交点， 由下图可知，或. 17．已知是定义在上的奇函数，当时． (1)求的解析式； (2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明：当时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故，即， 所以在上单调递减， 根据奇函数的性质可知在上的单调递减. (3) 【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可； （2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性； （3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可. 【详解】（1）依题是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 则， 所以. （2）略 （3）因为， 化为， 即， 根据在上的单调递减， 则，在时恒成立， 即恒成立， 故， 解得， 故实数k的取值范围为. 18．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)当单价为元时，取得最大利润为元 (3)件 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 19．已知是偶函数，是奇函数，且， （1）求和的表达式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式； （2）先将已知不等式进行化简，然后可以分离参数，利用基本不等式求最值即可求解． 【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，①， 所以， 即②， 联立①②，解得：，， （2）因为，， 由对于任意的恒成立， 可得对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 所以， 因为， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $