专题01 比较大小4种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“核心逻辑-解题步骤-易错提醒”构建方法体系，系统整合比较大小4种考法，培养抽象能力与推理意识，实现知识逻辑与解题能力的双向迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作差法|2典例+6变式|差值正负判断四步法（列式-化简-判断-结论）|从代数变形到实际应用（行程/经济问题）| |作商法|2典例+4变式|正数商比1法（确认正负-求商化简-比1定论）|基于作差法进阶，强化符号判断| |不等式性质|2典例+11变式|性质应用三原则（同向可加-乘正不变-乘负变向）|性质推导与反例辨析结合| |糖水不等式|1典例+2变式|糖水模型构造法（分式匹配-正数验证-结论应用）|生活情境抽象为数学模型，培养模型意识|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 比较大小4种常见考法归类 题型01作差法比较大小 三典例精析 【典例1-1】【答案】C 【典例1-2】【答案】A 上举一反目 【变式1-l】【答案】当x>y时，x-y>xy-y；当x=y时，x3-y=xy-y;当x<y时， x3-y3<x2y-xy2 【详解】x-y2-(xy-y2）=(x-y(x2+y+y2）-y(x-y)=(x-y)(x2+y2）, 当x>y时，x-y>0,所以(x-yx+y)>0,即x-y>x2y-2, 当x=y时，x-y=0,所以(-y)(x2+y2）=0,即x2-y2=x2y-y2, 当x<y时，x-y<0,所以(x-yx+y)<0,即x-<xy-2, 综上，当x>y时，x-y3>xy-y2；当x=y时，x-y=xy-y2；当x<y时，x3-y<x2y-y2. 【变式1-2】【答案】(x-3)2>(x-2)x-4) 【详解】(x-3)2-(x-2)x-4) =x2-6x+9-(x2-4x-2x+8) =x2-6x+9-x2+6x-8 =1>0 ∴(x-3)2>(x-2)x-4) 【变式1-3】【答案】m>n 【分析】利用作差法，根据配方法，可得答案。 【标1自=-a-+1e--6-0，则 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式14】【答案】A 【变式1-5】【答案】D 【变式1-6】【答案】选①，M>N: 选②，M>N: 选③，M>N: 1 【分析】①利用分子有理化可得M=+N一>0N=+1+之0，再由中+>G+可即 1 可得M,N的大小关系： ②用作差法比较即可： ③用作差法或作商法比较即可. 【详10-可Ng 1 因为Vx+1+Vx>V+Vx-1>0, 1 1 所以x+1++x-可 即x+l-<-x-l: :M>N. ②M-N=(c+3)(x+4)-(x+2)(x+5)=(x2+7x+12)-(x2+7x+10)=2>0, .M>N. @方法一（作差法）M-N=-b-a-A_a+b:-0)口+6a-b) a2+b2 a+b (a2+b2)(a+b) (a-b)(a+b-(a2+b2）】 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) (a2+b2)(a+b) 因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0. 2ab(a-b)）>0」 所以a2+b2)(a+b), a2-b2、a-b 所以a2+b’a+b .M>N. 方洗（作商法)因为>b>0所以+>0名 ,a2-b2 >0,2ab>0, a+b 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a2-b2 IM=&tb=(atb)_a'+b+2ab 所以N=a-b a2+b2-a2+b2 1+、2ab a2+62>1, a+b a2-b2、a-b 所以a+b>a+b .M>N. 题型02作商法比较大小 三典例精析 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】【答案】D 举一反 【变式2-1】【答案】(3+V3>2+V5,理由见解析 (2)V万>3-√5，理由见解析 【分析】(1)两数大小即为l+5,V5的大小，平方后可得它们的大小关系： (2)利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系： 【详解】(1)3+V3>2+√5 理由：3+5-(2+⑤)=1+V5-V5, 由于1+5)2=4+25>5，且1+3>0 所以1+V3>V5,即1+5-5>0， 因此3+V5>2+V5 (2)V7>3-V3 7(3+5)万(3+5) 理由： 3-5(3-53+5 6 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为万>23+5≥4所以5飞+8甲得5牛. 6 5 即351，又3-5>0 故V7>3-√3， a-bi_a-b 【变式2-2】【答案】a+b>a+b 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可 【详解】a>b>0→a+b>0,a-b>0, :g--a+ba-109=b>0, a2+b2 a2+b2 a+b a2-b3 .2+b=(a+b) 2ab a2+62>1, =1+ a-b a2+b2 a+b a2-b2、a-b a+ba+b 【变式2-3】【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式 【详解】证明：心b>0, 8>1,且g-b>0 a-b a"bb a 2 ∴作商得： >1 (ab)2 atb .ab>(ab)2. 【变式24】【答案】(1)证明见解析：(2)4更接近于2，理由见解析 【分析】 (1)只要证明(V2-a)V2-a)<0即可： a-v2 (2②)用。-来刻画。与5的接近程度，然后比较a-V 与的大小即可. 1 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【w-44-1）-3a-aa .√2介于a,a之间： (2)解： -=1a>1, a,-22-i a-2>a-2, 4更接近于√2. 【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题. 题型03利用不等式的性质比较大小 三典例精析 【典例3-1】【答案】B 【典例3-2】【答案】C 举一反主 【变式3-1】【答案】C 【变式3-2】【答案】D 【变式3-3】【答案】B 【变式34】【答案】A 【变式3-5】【答案】B 【变式3-6】【答案】C 【变式3-7】【答案】D 【变式3-8】【答案】B 【变式3-9】【答案】C 【变式3-10】【答案】D 【变式3-11】【答案】D 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型04利用糖水不等式比较大小 三典例精析 【典例4】【答案】(1)a-b的范围为(-8,2)，2a+3b的范围为(0,23)： (2) 0<a+mm>0,b>a>0),证明见解析；(i)M>N @6b+m 【分析】结合不等式的性质即可求解： (2))利用作差法即可判断：()结合()的结论即可求解。 【详解】()因为-3<a<4,2<b<5, 所以-6<2a<8,6<3b<15,-5<-b<-2, 所以-8<a-b<2,0<2a+3b<23」 故a-b的范围为(-8,2)，2a+3b的范围为(0,23)： a<a+m(m>0,b>a>0), (2)(i)b<b+m aa+m ab+am-ab-bm (a-b)m 证明：bb+m b(b+m） b(b+m)' 因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, a_a+m<0,即6<b+m aa+m 所以bb+m 20252026 20252023 (i)M= 20272028 02 20272025 所以由()中的结论可得M>N, 即M>N. 举一反三 【变式4-1】【答案】B 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4-2】【答案】BCD 7/7 专题01 比较大小4种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 作差法比较大小 题型 02 作商法比较大小 题型 03 利用不等式的性质比较大小 题型 04 利用糖水不等式比较大小 ▌题型01 作差法比较大小 1.核心逻辑 要比较两个代数式的大小，计算，根据差值正负判断： ① ② ③ 2.解题步骤 (1)列式：计算两个式子的差； (2)化简：通分、因式分解、配方，化成可判断符号的形式； (3)判断：根据已知条件确定差值正负； (4)结论：写出与的大小关系。 3.易错提醒 化简时配方、因式分解要仔细；含参数时要分类讨论取值范围。 【典例1-1】（2026高二·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 【典例1-2】（2026高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 【变式1-1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【变式1-2】（2026高一·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 【变式1-3】（2026高一·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【答案】 【分析】利用作差法，根据配方法，可得答案. 【详解】由，则. 【变式1-4】（2026高二·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 【变式1-5】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 【变式1-6】（2026高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】选①，； 选②，； 选③，； 【分析】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . ▌题型02 作商法比较大小 1.核心逻辑 适用于的两个正数比较，计算： ① ② ③ 注意：负数不能直接用作商法。 2.解题步骤 (1)先确认； (2)求商并化简； (3)与1比较大小； (4)推出原式两数大小。 3.易错提醒 只要有一个数小于0，禁止用作商法；乘除负数不等号会变向。 【典例2-1】（2026高二·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【典例2-2】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 【变式2-1】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 【变式2-2】（2026高一·上海浦东新·阶段检测）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 【变式2-3】（2026高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式2-4】（2026高一·上海·课后作业）设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析 【分析】 （1）只要证明即可； （2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可． 【详解】（1）证：∵， ∴介于，之间； （2）解：∵， ， 更接近于． 【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题． ▌题型03 利用不等式的性质比较大小 1.核心逻辑 牢记基础不等式性质： ①加减同一个数，不等号方向不变； ②同乘/除以正数，不等号不变； ③同乘/除以负数，不等号反向； ④同向不等式可相加，同向正数可相乘。 2.解题步骤 (1)梳理题干给出的已知大小关系； (2)根据变形操作匹配对应不等式性质； (3)逐步推导目标代数式的大小； (4)得出最终比较结果。 3.易错提醒 两边同时乘除负数时，忘记颠倒不等号；不能随意相减或相除两个不等式。 【典例3-1】（2026高二·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 【典例3-2】（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故. 选项A，若，则，. 若，易知，错误. 选项B，同理，若，则，. 若，易知，故，错误. 选项C，若，则. 若，易知，故，正确. 选项D，因为，所以，即，错误. 【变式3-2】（2026高二·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 【变式3-3】（2026高二·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 【变式3-4】（2026高二·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 【变式3-5】（2026高一·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 【变式3-6】（2026·北京·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 【变式3-7】（2026高三·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 【变式3-8】（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一学期5月春季联赛数学试题）已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 【变式3-9】（2026高三·全国·专题练习）已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C. 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 【变式3-10】（2026高一·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 【变式3-11】（2026高一·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． ▌题型04 利用糖水不等式比较大小 1.核心逻辑（糖水模型） 若，则： 理解：糖克，水克，再加克糖，糖水更甜，浓度变大。 变形：若，则： 2.解题步骤 (1)观察分式结构，匹配糖水不等式形式； (2)确定分子分母满足； (3)直接套用结论快速比较两个分式； (4)结构不匹配时，变形构造标准糖水形式。 3.易错提醒 必须满足分子分母均为正数；若，不等式符号反向。 【典例4】（2026高一·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【答案】（1）的范围为，的范围为； （2） (i)，证明见解析；(ii） 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可判断；结合的结论即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 【变式4-1】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】糖水（不饱和）将变得更甜即为浓度增加，由此可得不等式． 【详解】向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，即为浓度增加：， 故选：B． 【变式4-2】【多选】（2026高一·江苏常州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 比较大小4种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 作差法比较大小 题型 02 作商法比较大小 题型 03 利用不等式的性质比较大小 题型 04 利用糖水不等式比较大小 ▌题型01 作差法比较大小 1.核心逻辑 要比较两个代数式的大小，计算，根据差值正负判断： ① ② ③ 2.解题步骤 (1)列式：计算两个式子的差； (2)化简：通分、因式分解、配方，化成可判断符号的形式； (3)判断：根据已知条件确定差值正负； (4)结论：写出与的大小关系。 3.易错提醒 化简时配方、因式分解要仔细；含参数时要分类讨论取值范围。 【典例1-1】（2026高二·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【典例1-2】（2026高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式1-1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【变式1-2】（2026高一·广西河池·期中）比较与的大小. 【变式1-3】（2026高一·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【变式1-4】（2026高二·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【变式1-5】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【变式1-6】（2026高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. ▌题型02 作商法比较大小 1.核心逻辑 适用于的两个正数比较，计算： ① ② ③ 注意：负数不能直接用作商法。 2.解题步骤 (1)先确认； (2)求商并化简； (3)与1比较大小； (4)推出原式两数大小。 3.易错提醒 只要有一个数小于0，禁止用作商法；乘除负数不等号会变向。 【典例2-1】（2026高二·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【典例2-2】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【变式2-2】（2026高一·上海浦东新·阶段检测）设，比较与的大小 【变式2-3】（2026高一·全国·课后作业）若，求证：． 【变式2-4】（2026高一·上海·课后作业）设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． ▌题型03 利用不等式的性质比较大小 1.核心逻辑 牢记基础不等式性质： ①加减同一个数，不等号方向不变； ②同乘/除以正数，不等号不变； ③同乘/除以负数，不等号反向； ④同向不等式可相加，同向正数可相乘。 2.解题步骤 (1)梳理题干给出的已知大小关系； (2)根据变形操作匹配对应不等式性质； (3)逐步推导目标代数式的大小； (4)得出最终比较结果。 3.易错提醒 两边同时乘除负数时，忘记颠倒不等号；不能随意相减或相除两个不等式。 【典例3-1】（2026高二·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高二·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高二·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026高二·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（2026高一·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】（2026·北京·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-7】（2026高三·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-8】（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一学期5月春季联赛数学试题）已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-9】（2026高三·全国·专题练习）已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-10】（2026高一·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式3-11】（2026高一·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． ▌题型04 利用糖水不等式比较大小 1.核心逻辑（糖水模型） 若，则： 理解：糖克，水克，再加克糖，糖水更甜，浓度变大。 变形：若，则： 2.解题步骤 (1)观察分式结构，匹配糖水不等式形式； (2)确定分子分母满足； (3)直接套用结论快速比较两个分式； (4)结构不匹配时，变形构造标准糖水形式。 3.易错提醒 必须满足分子分母均为正数；若，不等式符号反向。 【典例4】（2026高一·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【变式4-1】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】【多选】（2026高一·江苏常州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $