专题03 不等式性质及基本不等式（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题03 不等式性质及基本不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式性质的应用 考点02 基本不等式的应用 考点03 利用基本不等式解决实际问题 地 城 考点01 不等式性质的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德第二中学·期中)下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 8．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)对于实数，，，下列结论正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 12．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知实数满足，则的取值范围为 ． 14．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．(24-25高一上·河北邯郸·期中)（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 地 城 考点02 基本不等式的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)设，且，则的最小值为(    ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．4 D．9 4．(24-25高一上·河北唐山·期中)若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 5．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 10．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知两个正数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值3 C．的最小值为2 D．的最小值为 11．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知正数x，y满足，则（） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)下列说法正确的有（   ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数x、y满足，则的最小值为3 D．设x、y为正实数，且，则的最小值为6 14．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 15．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知均为正实数且，则的最小值为 ． 16．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知，则的最小值为 ． 17．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知，则的最大值为 . 18．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知，，且，则的最大值为 ，的最小值为 . 四、解答题 19．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 20．(24-25高一上·河北邯郸·期中)（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 地 城 考点03 利用基本不等式解决实际问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（    ） A．两位中省钱小能手是钦钦 B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C．两位中省钱小能手是莎莎 D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 二、填空题 3．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.为节约成本，选择海报纸的长 dm，可使用纸是最少； 三、解答题 4．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 5．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)时代在发展，科技在进步，越来越多的人开始给孩子买无人机当礼物．某电子厂于2019年引进新无人机生产线，经分析，需要投入固定成本400万元．每生产（万架）无人机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完． (1)求出2019年销售利润（万元）关于年产量（万架）的函数关系式；（销售利润＝销售总价-固定成本-生产成本） (2)当产量为多少万架时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 7．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. (1)设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； (2)如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 8．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 9．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 10．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式性质及基本不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式性质的应用 考点02 基本不等式的应用 考点03 利用基本不等式解决实际问题 地 城 考点01 不等式性质的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德第二中学·期中)下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，A选项错误；B选项：因为，，，所以，所以，则，B选项正确；C选项：若，则，C选项错误；D选项：当，时，，D选项错误．故选：B. 2．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可判断ABC，利用函数的单调性判断D. 【详解】取，显然不成立，故A错误；取，，故B错误；取，则，故C错误；由幂函数为奇函数，且在上单调递增知，函数在上单调递增，所以由，故D正确. 故选：D 3．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误；对于CD，因为，所以，故C正确，D错误.故选：C. 4．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对A，当时可判断；对B，当时和两种情况讨论；对C，当时可判断；对D，当，时可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误；对B，当时， 当时，，则，故B正确； 对C，当时，，故C错误；对D，当，时，，故D错误. 故选：B 5．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误.故选：B 6．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】A选项，两边同时除以得到；B选项，两边分别同时乘以和，得到；CD选项，同AB一样，由不等式性质进行推导. 【详解】A选项，因为，所以，两边同时除以得，，A错误； B选项，因为，所以两边同时乘以得，两边同时乘以得， 故，B错误；C选项，因为，，则，C正确； D选项，因为，所以，又，故，所以，D错误. 故选：C 7．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值法可判断AD；利用不等式性质可判断B，作差法比较数的大小判断C. 【详解】对于A，，但，故A错误； 对于B，由，可得，不等式两边同乘以，得，即，故B错误； 对于C，，因为，，所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误.故选：C. 二、多选题 8．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】举反例可说明选项A，B，D符合题意；由函数在上为增函数可得选项C不符合题意. 【详解】当，，时，，A符合题意. 当，，时，，B符合题意. 函数在上为增函数，由得，C不符合题意. 当，，时，，D符合题意. 故选：ABD. 9．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，若，则，则，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项正确. D选项，若，则，所以，所以D选项正确. 故选：BCD 10．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得. 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，若，由不等式的可乘方性得，故B正确； 对于C，由，得，两边同乘以，得，即，故C错误； 对于D，由，两边同乘以，可得， 由，两边同乘以，可得，所以，故D正确. 故选：BD. 11．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)对于实数，，，下列结论正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断正误；选项B和C，根据条件，利用作差法，即可判断正误；选项D，通过取特殊值，，即可判断正误. 【详解】对于选项A，因为，由不等式的性质可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，则，得到， 由，得到，所以，故选项B正确， 对于选项C，由，可知．因为，所以，于是， 又因为，所以，．故选项C正确， 对于选项D，取，，显然有，此时，，显然．故选项D错误， 故选：ABC． 12．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】选项A，通过取特殊值，即可判断；选项B，C和D，根据条件，通过作差比较，即可判断. 【详解】对于选项A，当时，由，得不到，所以选项A为假命题， 对于选项B，因为，由，得到，所以选项B为真命题， 对于选项C，因为，由，，得到，所以选项C为真命题，对于选项D，因为，由，得到，所以选项D为真命题， 故选：BCD. 3、 填空题 13．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】因为： ，又， 两式相加，得：. 14．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解. 【详解】令其中，所以， 因为，则，即， ，则,故,则， 当且仅当且时等号成立，如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 4、 解答题 15．(24-25高一上·河北邯郸·期中)（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断 【详解】（1）令，，，即， 则有解得．     又，，所以，，     所以，即．         （2）．    因为，，所以，．         当时，，即；     当时，，即．     综上所述，当时，；当时，． 地 城 考点02 基本不等式的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)设，且，则的最小值为(    ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最小值. 【详解】∵，∴，∴，当，即时，最小值为2. 故选：D. 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得 当且仅当时等号成立，故选：A. 3．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．4 D．9 【答案】A 【分析】根据已知条件，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由，得+=1， 所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故选：A 4．(24-25高一上·河北唐山·期中)若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 【答案】D 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】.因为，所以，， 所以，当且仅当即时，等号成立， 则，即有最大值. 故选：D. 5．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最小值为. 故选：C. 6．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ，等号成立的条件是，即，与条件联立，解得，所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 7．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，因为，则，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错； 对于BD选项，因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，所以， 即没有最小值，BD都错. 故选：A. 8．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误；对于D：，取等条件为，即，故D正确.故选：D 9．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，，∴，当且仅当取等，设 ，∴，∴，即，，∴，故的最小值为2.故选：A． 二、多选题 10．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知两个正数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值3 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可直接求解A，根据乘“1”法即可求解B，根据完全平方关系即可求解C，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A，两个正数，满足，则，故，当且仅当，即时等号成立，故A正确，对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确， 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确，对于D，， 结合A选项可知：，因此时，结合，即， 此时的最小值为，故D错误， 故选：ABC 11．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知正数x，y满足，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式即可求解；对于B，运用三次方公式后进行化简和配方，利用A的结论即可求解；对于C，配方后利用A的结论即可求解；对于D，运用常数代换法即可求解. 【详解】对于A，因为正数满足，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD. 12．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质及基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为，所以.因为，，所以，则A正确. 因为，所以.因为，，所以，则B正确.因为，，且，所以，解得，当且仅当时，等号成立，则C错误.因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则D正确.故选：ABD 13．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)下列说法正确的有（   ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数x、y满足，则的最小值为3 D．设x、y为正实数，且，则的最小值为6 【答案】BCD 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，分离常数后，利用基本不等式进行所求皆；C选项，利用基本不等式“1”的妙用进行求解；D选项，表达出，故，由基本不等式求出答案. 【详解】A选项，，， 当且仅当，时，等号成立，故A错误； B选项，，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C选项，正数x、y满足，则， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项，x、y为正实数，且，则，，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BCD 14．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本（均值）不等式可判定ABD是正确的，举反例说明C是错误的. 【详解】对A：因为 ，当且仅当，即时取“”，故A正确；对B：因为 ，当且仅当，即时取“”，故B正确；对C：当时，满足，此时，故C错误； 对D：因为，由A选项可知，，所以，当且仅当时取“”，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 15．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知均为正实数且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因为，所以， 因为，当且仅当时取得等号，即，又因为，所以联立，解得，所以，所以当时，有最小值，最小值为49， 16．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知，则的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 17．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】，利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立.故的最大值为. 故答案为：. 18．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知，，且，则的最大值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5 4 【分析】根据基本的不等式直接应用即可得的最大值，利用“1”的代换可求的最小值. 【详解】解：，，且，所以，所以 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为； 又，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.故答案为：；4. 四、解答题 19．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）由基本不等式即可直接求证；（2）由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，所以. 故，当且仅当时，等号成立. （2）因为，所以. 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，所以， 则，即的最小值是16. 20．(24-25高一上·河北邯郸·期中)（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）首先配凑成积为定值的形式，然后根据基本不等式求解； （2）将形式转化，然后根据基本不等式求解； 【详解】（1） 因为，所以 当且仅当时，等号成立， 故有即的最大值为. （2）,又因为， 故有，因为，所以， 令 当且仅当即时，取得最小值. 地 城 考点03 利用基本不等式解决实际问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即，所以.故选：A. 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（    ） A．两位中省钱小能手是钦钦 B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C．两位中省钱小能手是莎莎 D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 【答案】C 【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可. 【详解】设第一次所购物品的价格为，第二次所购物品的价格为，钦钦单次购买物品的数量为，则钦钦两次所购物品的平均价格为．设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次购买物品的数量为，则莎莎两次所购物品的平均价格为．因为，但，等号不能取到，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格，故莎莎是省钱小能手．故选：C. 二、填空题 3．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.为节约成本，选择海报纸的长 dm，可使用纸是最少； 【答案】42 【分析】由条件得到，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可. 【详解】由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，， 即，即，由基本不等式可 得，令，则， 解得（舍去）或.，当且仅当 即时等号成立，海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 故答案为：42 三、解答题 4．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【详解】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 5．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时，（万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)时代在发展，科技在进步，越来越多的人开始给孩子买无人机当礼物．某电子厂于2019年引进新无人机生产线，经分析，需要投入固定成本400万元．每生产（万架）无人机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完． (1)求出2019年销售利润（万元）关于年产量（万架）的函数关系式；（销售利润＝销售总价-固定成本-生产成本） (2)当产量为多少万架时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当产量为万架时，企业所获利润最大，最大利润为 【分析】（1）根据题目中给出的公式与函数，结合分段函数的定义，可得答案； （2）根据（1）的函数解析式，结合二次函数与基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 显然当时，利润取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述，当产量为万架时，企业所获利润最大，最大利润为. 7．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. (1)设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； (2)如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 【答案】(1)，； (2)长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案. 【详解】（1）长方体蓄水池的底面面积为 ，长方体底面的另一条边长为m， 故，； （2），故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，此时m， 故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 8．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解； （2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解. 【详解】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，可得行车总费用：． （2）由（1） 当且仅当即取得最小值. 9．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，（元） 【分析】（1）设，得到，求得，进而得到总造价（单位：元）关于的函数解析式； （2）令，得到且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设，则，所以， 由，可得，所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为： . （2）解：令，则且， 因为函数，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以总造价的最小值为元. 10．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，再结合次品率与日产量（万件）之间的关系即可求解. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，，故， 当时，，故， 所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）间的函数关系为. （2）当时，每天的盈利额为0；只需求时的最大值， 设，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值160，此时. ②当，即时，由在上单调递增， 故在上单调递减，所以当，即时，取最大值. 综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润； 当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$