专题02 求函数解析式9种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以9类考法为框架，系统整合待定系数法等求函数解析式方法，通过核心逻辑+解题步骤+易错提醒构建完整方法论体系，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |9类题型|每题型1例+3变式|核心逻辑（如待定系数法已知函数类型求系数）、解题步骤（如换元法四步）、易错提醒（如定义域遗漏）|从基础方法（待定系数、配凑）到函数性质应用（奇偶性、周期性）再到抽象函数（赋值法），形成从具体到抽象的逻辑链条|

专题02 求函数解析式9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 待定系数法求解析式 题型 02 配凑法求解析式 题型 03 换元法求函数解析式 题型 04 解方程组法求函数解析式 题型 05 根据奇偶性求解析式 题型 06 根据奇函数 + 偶函数结构求解析式 题型 07 根据周期性求解析式 题型 08 根据对称性求解析式 题型 09 赋值法求解析式 ▌题型01 待定系数法求解析式 1. 核心逻辑 已知函数类型（一次、二次、反比例、正比例等），函数形式固定，只含未知系数，代入已知点建立方程，解出系数即可。 2. 解题步骤 (1)根据函数类型设带参数的标准解析式； ①一次： ②二次： ③反比例： (2)把题目给出的函数图像上的点或函数值代入式子； (3)得到关于参数的一元一次/二元方程组； (4)解方程组，将系数代回原式，写出完整解析式。 3. 易错提醒 (1)漏掉系数不为0的限制（如 ）； (2)代入坐标时代错 数值； (3)二次函数多解时未检验点是否全部满足。 【例1】求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【变式1-1】已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【变式1-2】（2026高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. ▌题型02 配凑法求解析式 1.核心逻辑 已知，求；直接在右侧代数式里凑出完整的整体，再整体替换为。 2.解题步骤 (1)观察复合式的右侧，拆分变形凑出括号内； (2)将所有部分用表示，式子只保留这一个整体； (3)把式子中全部替换成； (4)标注的定义域（与值域一致）。 3.易错提醒 (1)不会拆分代数式，无法凑出完整； (2)忘记求定义域，漏掉取值限制。 【例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则________． 【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． ▌题型03 换元法求函数解析式 1.核心逻辑 已知求，令，用反解出，代入原式得到，最后把换成。 2.解题步骤 (1)设，求出新元的取值范围（定义域）； (2)用含的式子表示出； (3)将代入，化简得到； (4)字母替换：改为，同时标注定义域。 3.易错提醒 (1)不计算新元范围，导致定义域出错； (2)反解时计算变形失误。 【例3】（2026高三·全国·专题练习）若，则函数______． 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 【变式3-2】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，则（    ） A． B． C． D． ▌题型04 解方程组法求函数解析式 1.核心逻辑 式子同时含有与或，用或替换原式，构造第二个方程，联立消元求。 2.解题步骤 (1)写出原始等式①； (2)用（或）替换所有，得到等式②； (3)联立①②组成二元方程组； (4)加减消元消去或，解出。 3.易错提醒 (1)替换时每一处都要替换，漏换部分项； (2)消元计算出错，符号混淆。 【例4】（2026高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【变式4-1】（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【变式4-2】（2026高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【变式4-3】设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. ▌题型05 根据奇偶性求解析式 1.核心逻辑 已知函数在某一段区间的解析式，求对称区间解析式；利用奇偶性： -奇函数： -偶函数： 2.解题步骤 (1)设待求区间内任意自变量； (2)判断落在已知解析式的区间内； (3)把代入已知表达式，写出； (4)根据奇偶性转化，得到； (5)分段写出完整函数。 3.易错提醒 (1)奇函数变形忘记加负号； (2)不区分区间，直接混用两段解析式； (3)端点处不单独验证。 【例5】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【变式5-1】（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高一·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（    ） A． B． C． D． ▌题型06 根据奇函数+偶函数结构求解析式 1.核心逻辑 ，奇，偶；替换构造方程组，加减分别求出奇偶函数。 2.解题步骤 (1)原式：①； (2)替换：②； (3)①+②消去，解出偶函数； (4)①-②消去，解出奇函数。 3.易错提醒 (1)奇函数代入后不变号； (2)两式相减时分母2遗漏。 【例6】（26-27高一·全国·暑假作业）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【变式6-1】（2026高一·河南省直辖县级单位·阶段检测）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】【多选】（2026高一·湖南长沙·期中）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（   ） A．1 B．2 C．-1 D．3 【变式6-3】（2026高一·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． ▌题型07 根据周期性求解析式 1.核心逻辑 周期定义，把待求区间的平移，转化到已知解析式的区间内。 2.解题步骤 (1)确定周期，以及有完整解析式的已知区间； (2)设待求区间内，凑，使落在已知区间； (3)由周期性，将代入已知表达式； (4)化简得到该区间上的解析式，分段书写。 3.易错提醒 (1)取值判断错误，平移后不在已知区间； (2)混淆周期平移加减方向。 【例7】（2026高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高三·全国·竞赛）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． ▌题型08 根据对称性求解析式 1.核心逻辑 （1）关于直线对称： （2）关于点中心对称： 将待求区间转化为（落在已知区间）代入计算。 2.解题步骤 (1)分清是轴对称还是中心对称，写出对应等式； (2)任取待求区间，计算，判断其在已知区间； (3)将代入已知解析式，得到； (4)根据对称等式变形，解出。 3.易错提醒 （1）轴对称与中心对称公式记混； （2）中心对称忘记等式右侧常数。 【例8】已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【变式8-1】（2026高一·河南新乡·阶段检测）已知函数和的图象关于原点对称，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【变式8-2】（2026高三·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高一·福建莆田·期末）若函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则的表达式为（    ） A． B． C． D． ▌题型09 赋值法求解析式 1.核心逻辑 抽象函数无具体表达式，给赋特殊值（等），构造等式或方程组消元，推出。 2.解题步骤 (1)观察抽象关系式，选择合适特殊值代入（优先令）； (2)先求出等特殊函数值； (3)多次赋值（如），构造含的方程； (4)联立消去多余变量，化简得到解析式。 3.易错提醒 （1）赋值选取不当，无法消去多余变量； （2）赋值后化简符号及计算出错。 【例9】设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_______． 【变式9-1】（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式9-3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 求函数解析式9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 待定系数法求解析式 题型 02 配凑法求解析式 题型 03 换元法求函数解析式 题型 04 解方程组法求函数解析式 题型 05 根据奇偶性求解析式 题型 06 根据奇函数 + 偶函数结构求解析式 题型 07 根据周期性求解析式 题型 08 根据对称性求解析式 题型 09 赋值法求解析式 ▌题型01 待定系数法求解析式 1. 核心逻辑 已知函数类型（一次、二次、反比例、正比例等），函数形式固定，只含未知系数，代入已知点建立方程，解出系数即可。 2. 解题步骤 (1)根据函数类型设带参数的标准解析式； ①一次： ②二次： ③反比例： (2)把题目给出的函数图像上的点或函数值代入式子； (3)得到关于参数的一元一次/二元方程组； (4)解方程组，将系数代回原式，写出完整解析式。 3. 易错提醒 (1)漏掉系数不为0的限制（如 ）； (2)代入坐标时代错 数值； (3)二次函数多解时未检验点是否全部满足。 【例1】求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 【变式1-1】已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 【变式1-2】（2026高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式1-3】（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. ▌题型02 配凑法求解析式 1.核心逻辑 已知，求；直接在右侧代数式里凑出完整的整体，再整体替换为。 2.解题步骤 (1)观察复合式的右侧，拆分变形凑出括号内； (2)将所有部分用表示，式子只保留这一个整体； (3)把式子中全部替换成； (4)标注的定义域（与值域一致）。 3.易错提醒 (1)不会拆分代数式，无法凑出完整； (2)忘记求定义域，漏掉取值限制。 【例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则________． 【答案】 【详解】，． ，其中．． 【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 【变式2-3】（2026高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. ▌题型03 换元法求函数解析式 1.核心逻辑 已知求，令，用反解出，代入原式得到，最后把换成。 2.解题步骤 (1)设，求出新元的取值范围（定义域）； (2)用含的式子表示出； (3)将代入，化简得到； (4)字母替换：改为，同时标注定义域。 3.易错提醒 (1)不计算新元范围，导致定义域出错； (2)反解时计算变形失误。 【例3】（2026高三·全国·专题练习）若，则函数______． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 【答案】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 【变式3-2】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 【变式3-3】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． ▌题型04 解方程组法求函数解析式 1.核心逻辑 式子同时含有与或，用或替换原式，构造第二个方程，联立消元求。 2.解题步骤 (1)写出原始等式①； (2)用（或）替换所有，得到等式②； (3)联立①②组成二元方程组； (4)加减消元消去或，解出。 3.易错提醒 (1)替换时每一处都要替换，漏换部分项； (2)消元计算出错，符号混淆。 【例4】（2026高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 【变式4-1】（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【变式4-2】（2026高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【变式4-3】设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： ▌题型05 根据奇偶性求解析式 1.核心逻辑 已知函数在某一段区间的解析式，求对称区间解析式；利用奇偶性： -奇函数： -偶函数： 2.解题步骤 (1)设待求区间内任意自变量； (2)判断落在已知解析式的区间内； (3)把代入已知表达式，写出； (4)根据奇偶性转化，得到； (5)分段写出完整函数。 3.易错提醒 (1)奇函数变形忘记加负号； (2)不区分区间，直接混用两段解析式； (3)端点处不单独验证。 【例5】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）直接描点并结合函数在单调递增可得函数在上的图象，再由奇函数图象的对称性可得的图象； （2）直接由奇函数的对称性可得当时，，进而可得函数在上的解析式. 【详解】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 【变式5-1】（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式5-2】（2026高一·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式5-3】（2026高一·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，再结合奇偶性可得. 【详解】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. ▌题型06 根据奇函数+偶函数结构求解析式 1.核心逻辑 ，奇，偶；替换构造方程组，加减分别求出奇偶函数。 2.解题步骤 (1)原式：①； (2)替换：②； (3)①+②消去，解出偶函数； (4)①-②消去，解出奇函数。 3.易错提醒 (1)奇函数代入后不变号； (2)两式相减时分母2遗漏。 【例6】（26-27高一·全国·暑假作业）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式6-1】（2026高一·河南省直辖县级单位·阶段检测）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令代换，因为为偶函数，为奇函数，则，与俩式相加即可. 【详解】令代换，则， 因为为偶函数，为奇函数， 则上式化为：， 又， 俩式相加，得. 故选：C 【变式6-2】【多选】（2026高一·湖南长沙·期中）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（   ） A．1 B．2 C．-1 D．3 【答案】ABD 【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题意得. 因为对于任意，都有， 所以对于任意，都有， 设，得在为增函数. 当时，在为减函数，不符合题意. 当时，. 所以可以为1，2，3. 故选：ABD 【变式6-3】（2026高一·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 ▌题型07 根据周期性求解析式 1.核心逻辑 周期定义，把待求区间的平移，转化到已知解析式的区间内。 2.解题步骤 (1)确定周期，以及有完整解析式的已知区间； (2)设待求区间内，凑，使落在已知区间； (3)由周期性，将代入已知表达式； (4)化简得到该区间上的解析式，分段书写。 3.易错提醒 (1)取值判断错误，平移后不在已知区间； (2)混淆周期平移加减方向。 【例7】（2026高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【变式7-1】（2026高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 【变式7-2】（2026高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 【变式7-3】（2026高三·全国·竞赛）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. ▌题型08 根据对称性求解析式 1.核心逻辑 （1）关于直线对称： （2）关于点中心对称： 将待求区间转化为（落在已知区间）代入计算。 2.解题步骤 (1)分清是轴对称还是中心对称，写出对应等式； (2)任取待求区间，计算，判断其在已知区间； (3)将代入已知解析式，得到； (4)根据对称等式变形，解出。 3.易错提醒 （1）轴对称与中心对称公式记混； （2）中心对称忘记等式右侧常数。 【例8】已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 【变式8-1】（2026高一·河南新乡·阶段检测）已知函数和的图象关于原点对称，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，即可求解； （2），分为，与三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设点是图象上任意一点， 则关于原点的对称点在函数的图象上， 所以，即， 所以． （2）， ①当时，在上单调递减，满足题意； ②当时，要使在上单调递减， 由二次函数的性质可得，解得，所以； ③当时，要使在上单调递减， 由二次函数的性质可得，解得，所以． 综上，实数的取值范围是． 【变式8-2】（2026高三·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 【变式8-3】（2026高一·福建莆田·期末）若函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先假设函数上的点，由关于原点对称的点为在函数上代入，即可求解. 【详解】设为函数上的点，则关于原点对称的点为在函数上， 可得，整理得， 即函数的表达式为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力. ▌题型09 赋值法求解析式 1.核心逻辑 抽象函数无具体表达式，给赋特殊值（等），构造等式或方程组消元，推出。 2.解题步骤 (1)观察抽象关系式，选择合适特殊值代入（优先令）； (2)先求出等特殊函数值； (3)多次赋值（如），构造含的方程； (4)联立消去多余变量，化简得到解析式。 3.易错提醒 （1）赋值选取不当，无法消去多余变量； （2）赋值后化简符号及计算出错。 【例9】设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_______． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 【变式9-1】（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 【变式9-2】（2026高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式9-3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 求函数解析式9种常见考法归类 ▌题型01 待定系数法求解析式 【例1】【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 【变式1-1】【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 【变式1-2】【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式1-3】【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. ▌题型02 配凑法求解析式 【例2】【答案】 【详解】，． ，其中．． 【变式2-1】【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 【变式2-3】【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. ▌题型03 换元法求函数解析式 【例3】【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【变式3-1】【答案】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 【变式3-2】【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 【变式3-3】【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． ▌题型04 解方程组法求函数解析式 【例4】【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 【变式4-1】【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【变式4-2】【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【变式4-3】【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： ▌题型05 根据奇偶性求解析式 【例5】【答案】(1) (2). 【分析】（1）直接描点并结合函数在单调递增可得函数在上的图象，再由奇函数图象的对称性可得的图象； （2）直接由奇函数的对称性可得当时，，进而可得函数在上的解析式. 【详解】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 【变式5-1】【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式5-2】【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式5-3】【答案】D 【分析】令，求出，再结合奇偶性可得. 【详解】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. ▌题型06 根据奇函数+偶函数结构求解析式 【例6】【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式6-1】【答案】C 【分析】令代换，因为为偶函数，为奇函数，则，与俩式相加即可. 【详解】令代换，则， 因为为偶函数，为奇函数， 则上式化为：， 又， 俩式相加，得. 故选：C 【变式6-2】【答案】ABD 【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题意得. 因为对于任意，都有， 所以对于任意，都有， 设，得在为增函数. 当时，在为减函数，不符合题意. 当时，. 所以可以为1，2，3. 故选：ABD 【变式6-3】【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 ▌题型07 根据周期性求解析式 【例7】【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【变式7-1】【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 【变式7-2】【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 【变式7-3】【答案】C 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. ▌题型08 根据对称性求解析式 【例8】【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 【变式8-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，即可求解； （2），分为，与三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设点是图象上任意一点， 则关于原点的对称点在函数的图象上， 所以，即， 所以． （2）， ①当时，在上单调递减，满足题意； ②当时，要使在上单调递减， 由二次函数的性质可得，解得，所以； ③当时，要使在上单调递减， 由二次函数的性质可得，解得，所以． 综上，实数的取值范围是． 【变式8-2】【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 【变式8-3】【答案】A 【分析】先假设函数上的点，由关于原点对称的点为在函数上代入，即可求解. 【详解】设为函数上的点，则关于原点对称的点为在函数上， 可得，整理得， 即函数的表达式为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力. ▌题型09 赋值法求解析式 【例9】【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 【变式9-1】【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 【变式9-2】【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式9-3】【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $