周周测04 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦二次函数与不等式，通过集合运算、药液稀释、利润计算等问题，考查抽象能力、运算推理及模型应用，适配高一学情的周测巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合运算、不等式解集、充要条件|基础概念与运算结合，如第5题判断单调性的充要条件| |多项选择题|3/18|不等式性质、函数值域|多维度辨析，如第9题综合考查不等式应用与最值| |填空题|3/15|实际应用（药液稀释）、表达式意义|情境化设计，第12题二次稀释问题体现数学建模| |解答题|5/77|解不等式、含参问题、实际应用|分层递进，第19题利润计算强化应用意识，第18题矩形问题融合函数最值|

2026-2027学年高一上学期数学周周测04 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得． 【详解】依题意，集合，而，所以． 故选：D 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果. 【详解】集合，则， 集合，则， ∴， 故选：D. 3．设，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】先由集合M的补集得到集合M，再由韦达定理直接可得. 【详解】由，，得， 所以2，3为方程的两根， 所以，解得，.故. 故选：D. 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】不等式，即，即， 求得， 故选：B. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 5．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围后判断. 【详解】若函数在区间上单调递增， 则，解得，可推出反之不行， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 6．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 8．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．表达式对一切实数都有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，转化为对任意,恒成立，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】由表达式对一切实数都有意义， 即对任意,恒成立， 当时，显然不成立； 当时，不等式恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详解】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11.（1）解关于的不等式：，． （2）设一个矩形长为，宽为． ①当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． ②当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． ③当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 【答案】（1） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； （2）①4②9③ 【分析】（1）讨论、，并应用含参的一元二次不等式的解法求解集. （2）①表达出矩形面积，配方后求出最大值； ②表达出矩形周长，变形后，利用基本不等式求出最小值； ③由题意得到，由基本不等式得到，求出答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 若，即，可得或， 时，则，可得或， 时，则，可得， 若，即，则，可得， 若，即，则，可得或， 综上， 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； （2）①该矩形面积为，， 故当时，取得最大值，最大值为4； ②该矩形周长， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故该矩形周长的最小值为9； ③由题意得，即， 因为，由基本不等式得，故， 即，解得或（舍去）， 故， 该矩形面积的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测04 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．5 D．1 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 8．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 10．已知函数在上值域是，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为__________. 13．表达式对一切实数都有意义，则实数的取值范围是__________. 14．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 16．已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 17．解关于的不等式：，． 18．设一个矩形长为，宽为． (1)当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． (2)当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． (3)当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 19．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测04 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．5 D．1 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 8．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．表达式对一切实数都有意义，则实数的取值范围是__________. 10．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)解关于的不等式：，． (2)设一个矩形长为，宽为． ①当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． ②当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． ③当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测04 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得． 【详解】依题意，集合，而，所以． 故选：D 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果. 【详解】集合，则， 集合，则， ∴， 故选：D. 3．设，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】先由集合M的补集得到集合M，再由韦达定理直接可得. 【详解】由，，得， 所以2，3为方程的两根， 所以，解得，.故. 故选：D. 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】不等式，即，即， 求得， 故选：B. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 5．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围后判断. 【详解】若函数在区间上单调递增， 则，解得，可推出反之不行， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 6．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过参变分离将问题转化成最值问题，接着分析函数在上的最小值，最后求出的取值范围即可. 【详解】由题知，只需在上恒成立即可. 因为， 所以 令 因为函数在上为增函数， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. 7．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 8．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 10.已知函数在上值域是，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二次函数性质可求出当值域为时对应的的取值范围，即可求出的所有可能取值. 【详解】易知二次函数关于对称，且开口向上， 所以对称轴处取得最小值，如下图所示： 令，解得或， 若使在上的值域是， 则需满足，或， 因此可得. 所以的取值可以是. 故选：BCD 11．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题目条件，按照稀释药液顺序，逐渐分析.可得，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 13．表达式对一切实数都有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，转化为对任意,恒成立，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】由表达式对一切实数都有意义， 即对任意,恒成立， 当时，显然不成立； 当时，不等式恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详解】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）变形得到，故，求出不等式解集； （2）等价于，求出不等式解集； （3）得到，求出不等式解集. 【详解】（1）， 故，不等式解集为； （2）等价于，解得或， 故解集为或； （3），故，解得， 故解集为. 16．已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）由，列方程求出，进而求出函数的解析式； （2）由二次函数的图象的特征，作出函数图象，再根据图象求值域． 【详解】（1）二次函数满足， ，解得， ． （2）函数的定义域为，， 函数图象如图所示： 由函数图象可知，， 函数在上的值域为． 17．解关于的不等式：，． 【答案】 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 【分析】讨论、，并应用含参的一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，， 当时，， 若，即，可得或， 时，则，可得或， 时，则，可得， 若，即，则，可得， 若，即，则，可得或， 综上， 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 18．设一个矩形长为，宽为． (1)当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． (2)当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． (3)当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 【答案】(1)4 (2)9 (3) 【分析】（1）表达出矩形面积，配方后求出最大值； （2）表达出矩形周长，变形后，利用基本不等式求出最小值； （3）由题意得到，由基本不等式得到，求出答案. 【详解】（1）该矩形面积为，， 故当时，取得最大值，最大值为4； （2）该矩形周长， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故该矩形周长的最小值为9； （3）由题意得，即， 因为，由基本不等式得，故， 即，解得或（舍去）， 故， 该矩形面积的取值范围为. 19．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $