第五单元 相交与平行（知识清单）数学青岛版四年级上册（新教材）

该小学数学“相交与平行”单元知识清单系统梳理了平行、垂直的定义、性质、画法及应用，涵盖概念认知、操作技能、实际应用三大知识范畴，搭建了从基础定义到动手操作再到生活实践的递进式学习支架。 清单通过“关键提醒”标注易错点（如平行需“同一平面内”），结合生活实例（黑板、斑马线等）建立数学与现实的联系，题型设计例练结合（如画垂线步骤分解），培养学生的几何直观和应用意识。特别设置实际应用题目（如路线最短问题），帮助不同学生巩固技能，教师可直接用于课堂教学或分层辅导，提升学习效率。

第五单元 相交与平行单元知识清单讲义 知识点一：平行 1.定义 ：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线 ，也可以说这两条直线互相平行 。 2.关键提醒 ： 必须是「同一平面内」，不在同一平面的两条直线即使不相交也不叫平行； 平行是两条直线的位置关系，不能单独说某一条直线是平行线； 直线可以无限延长，所以看起来不相交的直线延长后如果相交就不是平行。 3. 表示方法 ：直线m与直线n互相平行，记作 ，读作「m平行于n」。 4.生活实例 ：黑板的上下两条边、秋千架的两根吊绳、斑马线、铁路轨道。 知识点二：垂直 1.定义 ： 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 ，这两条直线的交点叫做垂足 。 2.关键提醒 ： 垂直是相交的特殊情况，判断垂直只需要看是否相交成直角，和两条直线的放置方向无关； 垂线是两条直线的关系，不能单独说某条直线是垂线； 垂足是一个点，是两条互相垂直直线的交点。 3.表示方法 ：直线a与直线b互相垂直，记作 ，读作「a垂直于b」。 4.生活实例 ：黑板的邻边、门框的邻边、三角尺的两条直角边、十字路口的道路。 知识点三：画垂线 1.过直线上一点画已知直线的垂线 ： （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； （3）从直角顶点起，沿三角尺的另一条直角边画一条射线，这条射线就是已知直线的垂线。 2.过直线外一点画已知直线的垂线 ： （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； （3）沿三角尺的另一条直角边画一条经过已知点的直线，这条直线就是已知直线的垂线。 规律 ：过一点（直线上或直线外），只能画出1条已知直线的垂线。 知识点四：点到直线的距离 1.核心性质 ：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 ，它的长度叫做这点到直线的距离。 2.平行线间的距离 ：两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等，也就是说：平行线之间的距离处处相等 。 知识点五：画平行线 用直尺和三角尺画平行线的步骤： 放 ：把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 靠 ：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边； 移 ：沿直尺平移三角尺到合适位置； 画 ：沿三角尺的直角边画出另一条直线，这条直线就和已知直线平行。 规律 ：过直线外一点，只能画出1条已知直线的平行线。 题型一：平行 【例1】．写出下面图形中各有几组互相平行的线段。                          ( )组            ( )组          ( )组            ( )组 【练1】下面图形中各有几组互相平行的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 （    ）组    （    ）组    （    ）组    （    ）组 题型二：垂直 【例2】下面每组中的两条线，互相垂直的在括号里画“√”，不垂直的在括号里画“×”。 ( )     ( )      ( )      ( )   ( )    ( ) 【练2】下图中，一共有( )组互相垂直的线段。 题型三：画垂线 【例3】．过点A作直线y的平行线m，过B点作直线y的垂线n。 【练3】过点画已知直线的垂线和平行线。 题型四：点到直线的距离 【例4】．天天家到五一大街有4条路线，长度分别是900米、1千米、1千米800米和2000米。根据下图可以判断路线②的长度是（    ）。 A．900米 B．1千米 C．1千米800米 D．2000米 【练4】亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 题型五：画平行线 【例5】在图中的方格图中画出一组互相平行的线。 【练5】画3条直线，使，，直线b、c分别在直线a的两侧，且a与b的距离为1厘米，b与c的距离为1.5厘米。 一、填空题 1．下面各组线中，线段有( )，平行的有( )，相交的有( )。（填序号） 2．看一看，填一填。 上图有( )组平行线，有( )组垂线。 3．在同一平面内有a、b、c三条直线，直线a与直线b相交成直角，直线b与直线c也相交成直角，则直线a与直线c的位置关系是( )。 4．在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是( )米。 5．选词填空，每个选项只能填一次。 相交    垂直    平行 直线a与b互相( )； 直线c与b互相( )； 直线a与d( )。 6．两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线d的距离是6厘米，那么这个长方形的周长是( )厘米。 7．为助力乡村建设，需修建一条与友谊路互相平行的乡村道路，下图A、B、C是三种不同的设计方案，方案( )不符合要求。 8．在一个长方形中，有( )组线段互相平行。 二、选择题 9．能准确表示出同一平面内两条直线位置关系的是（    ）。 A． B． C． 10．利用直角三角板作直线MN的垂线，下列作图方法正确的是（    ）。 A．B．C． D． 11．下面选项中，能用“直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短”来解释的是（    ）。 A． B． C． D． 12．下面是人行横道线平面图。如果从点A穿过马路，最短的路线是（    ）。 A．① B．② C．③ 13．幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（    ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 14．工人在砌墙时用铅锤的目的是（    ）。 A．测量墙的高矮 B．检验墙与地面是否垂直   C．看墙面砌得是否平整 15．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 三、作图题 16．过直线外一点O画直线L的垂线和平行线。 17．将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 18．下图是某国道旁的几个村的位置示意图。 (1)请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。 (2)请找到互相平行的线，在图中圈一圈。 (3)计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。这样修的原因是（                                                 ）。 四、解答题 19．如图，从公园的广场到文尚路修了A、B两条路，两条路中间是草坪，但人们总喜欢在草坪上走出C这样一条路。 请你利用所学的知识解释产生这一现象的原因。如果你是草坪管理员，你会给设计师提出什么建议？ 20．笑笑家的画挂歪了（如图），她想把画挂正，淘气说：“只要将挂画的两根绳子调成一样长就可以了。”淘气的方法可行吗？请你说明理由。 21．如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？ （1）请在图中表示出合理的测量方法。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相（    ）。 22．先在下面正方形中画一个点，使这个点到每条边的距离都相等，再量一量，到每条边的距离是（    ）厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 相交与平行单元知识清单讲义 知识点一：平行 1.定义 ：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线 ，也可以说这两条直线互相平行 。 2.关键提醒 ： 必须是「同一平面内」，不在同一平面的两条直线即使不相交也不叫平行； 平行是两条直线的位置关系，不能单独说某一条直线是平行线； 直线可以无限延长，所以看起来不相交的直线延长后如果相交就不是平行。 3. 表示方法 ：直线m与直线n互相平行，记作 ，读作「m平行于n」。 4.生活实例 ：黑板的上下两条边、秋千架的两根吊绳、斑马线、铁路轨道。 知识点二：垂直 1.定义 ： 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 ，这两条直线的交点叫做垂足 。 2.关键提醒 ： 垂直是相交的特殊情况，判断垂直只需要看是否相交成直角，和两条直线的放置方向无关； 垂线是两条直线的关系，不能单独说某条直线是垂线； 垂足是一个点，是两条互相垂直直线的交点。 3.表示方法 ：直线a与直线b互相垂直，记作 ，读作「a垂直于b」。 4.生活实例 ：黑板的邻边、门框的邻边、三角尺的两条直角边、十字路口的道路。 知识点三：画垂线 1.过直线上一点画已知直线的垂线 ： （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； （3）从直角顶点起，沿三角尺的另一条直角边画一条射线，这条射线就是已知直线的垂线。 2.过直线外一点画已知直线的垂线 ： （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； （3）沿三角尺的另一条直角边画一条经过已知点的直线，这条直线就是已知直线的垂线。 规律 ：过一点（直线上或直线外），只能画出1条已知直线的垂线。 知识点四：点到直线的距离 1.核心性质 ：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 ，它的长度叫做这点到直线的距离。 2.平行线间的距离 ：两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等，也就是说：平行线之间的距离处处相等 。 知识点五：画平行线 用直尺和三角尺画平行线的步骤： 放 ：把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 靠 ：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边； 移 ：沿直尺平移三角尺到合适位置； 画 ：沿三角尺的直角边画出另一条直线，这条直线就和已知直线平行。 规律 ：过直线外一点，只能画出1条已知直线的平行线。 题型一：平行 【例1】．写出下面图形中各有几组互相平行的线段。                         ( )组            ( )组          ( )组            ( )组 【答案】 1 5 6 3 【分析】在同一平面内永不相交的两条直线互相平行，据此分析解答。 【详解】 有1组互相平行的线段； 有5组互相平行的线段； 有6组互相平行的线段； 有3组互相平行的线段。 【练1】下面图形中各有几组互相平行的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 （    ）组    （    ）组    （    ）组    （    ）组 【答案】2；2；1；3；图见详解 【分析】同一平面内永不相交的两条直线互相平行，据此来找平行线，据此解答。 【详解】如图： 题型二：垂直 【例2】下面每组中的两条线，互相垂直的在括号里画“√”，不垂直的在括号里画“×”。 ( )     ( )      ( )      ( )   ( )    ( ) 【答案】 × √ √ √ × √ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此可进行判断。 （1）相交，但是未成直角，不是互相垂直； （2）相交，有直角符号，是互相垂直； （3）相交，用三角尺的直角对比后确定是直角，是互相垂直； （4）相交，用三角尺的直角对比后确定是直角，是互相垂直； （5）相交，用三角尺的直角对比后确定不是直角，不是互相垂直； （6）相交，用三角尺的直角对比后确定是直角，是互相垂直。 【详解】根据分析： 【练2】下图中，一共有( )组互相垂直的线段。 【答案】2 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，只要数出直角的个数，即互相垂直线段的组数；据此数出即可。 【详解】因为有2个直角，所以一共有2组互相垂直的线段。 题型三：画垂线 【例3】．过点A作直线y的平行线m，过B点作直线y的垂线n。 【答案】 【分析】画平行线时，三角尺的一条直角边与已知直线y重合，直尺的一条边紧靠三角尺另一条直角边，移动三角尺到点A，过这个点A，沿三角尺的直角边画平行线m。 画垂线时，使得三角尺的一条直角边与已知直线y重合，将三角尺沿着直线移动，使得三角尺另一条直角边与点B重合，过点B，沿三角尺的另一条直角边画垂线n。 【详解】略 【练3】过点画已知直线的垂线和平行线。 【答案】 【分析】画垂线： 把三角板的一条直角边和已知直线完全对齐重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点A，沿着这条经过A点的直角边画直线，这条新直线就是已知直线的垂线，最后在两条直线的相交位置标上直角符号。 画平行线： 先把直尺的一条边和刚才画好的垂线对齐靠紧，固定住直尺不动，沿着直尺的这条边平移三角板，直到三角板原本和已知直线重合的那条边刚好经过点A，沿着这条过A点的边画直线，这条新直线就是已知直线的平行线。 【详解】略 题型四：点到直线的距离 【例4】．天天家到五一大街有4条路线，长度分别是900米、1千米、1千米800米和2000米。根据下图可以判断路线②的长度是（    ）。 A．900米 B．1千米 C．1千米800米 D．2000米 【答案】A 【分析】根据1千米＝1000米，先把不同长度单位转换成相同长度单位。因为②路线与五一大街互相垂直，因此可以根据点到直线的距离的性质：垂直线段最短。即可解答本题。 【详解】1千米＝1000米，1千米800米＝1800米； 因为2000米＞1800米＞1000米＞900米，那么2000米＞1千米800米＞1千米＞900米； 所以路线②的长度是900米。 【练4】亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【答案】 【分析】从直线外一点到这条直线的所有连线里，和这条直线垂直的线段长度是最短的。观察图里A点的位置，它离左侧的岸边最近，所以只要从A点向左边的岸边画垂直线段，沿着这条线游上岸，路程就是最短的。 【详解】略 题型五：画平行线 【例5】在图中的方格图中画出一组互相平行的线。 【答案】（答案不唯一） 【分析】永不相交的两条直线叫做平行线，在方格图里，最简单的方法就是：要么都是水平的；要么都是竖直的；要么它们的“倾斜程度”完全一样（比如都向右上走1格、向上走1格）。 【详解】略 【练5】画3条直线，使，，直线b、c分别在直线a的两侧，且a与b的距离为1厘米，b与c的距离为1.5厘米。 【答案】 【分析】先画一条任意的直线，标记为直线a；在直线a的一侧，用三角尺的一条直角边贴紧直线a，沿另一条直角边量出1厘米的长度，再用直尺平移三角尺，画出直线b，此时a∥b，a与b的距离为1厘米；因为a∥b，b∥c，所以a∥c，且直线b、c分别在直线a的两侧，所以先计算a与c的距离，1.5－1＝0.5（厘米），在直线a的另一侧，用同样的方法作它的平行线c，使a与c之间的垂直距离为0.5厘米，此时b∥c，b与c的距离为1.5厘米。据此画图。 【详解】略 一、填空题 1．下面各组线中，线段有( )，平行的有( )，相交的有( )。（填序号） 【答案】 ① ④⑤ ② 【分析】有两个端点的线叫做线段，所以①是线段，在同一个平面内不相交的两条直线是平行线，也可以说这两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交。由图可知，图④和图⑤中的两条直线不会相交，所以图④和图⑤中的两条直线互相平行；图②中的两条直线已经相交，据此解答。 【详解】线段有①，平行的有④⑤，相交的有②。 2．看一看，填一填。 上图有( )组平行线，有( )组垂线。 【答案】 3 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，据此解答。 【详解】 由图可知，AF和BC互相平行，EF和DC互相平行，AB和DE互相平行，共3组平行线； AF和EF互相垂直，BC和CD互相垂直，共2组垂线。 3．在同一平面内有a、b、c三条直线，直线a与直线b相交成直角，直线b与直线c也相交成直角，则直线a与直线c的位置关系是( )。 【答案】互相平行 【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。 【详解】如图： 同一平面内有a、b、c三条直线，直线a与直线b相交成直角，直线b与直线c也相交成直角，则直线a与直线c互相平行。 4．在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是( )米。 【答案】194 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。题目中指出有一条小路与公路垂直，说明这条小路是点点家到公路的垂线段，因此它的长度应该是三条小路中最短的。解题时只需比较三个长度数据的大小，找出最小值即可。 【详解】从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。 194＜202＜287 在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（194）米。 5．选词填空，每个选项只能填一次。 相交    垂直    平行 直线a与b互相( )； 直线c与b互相( )； 直线a与d( )。 【答案】 平行 垂直 相交 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；相交是指在同一平面内，两条直线有一个公共点，据此进行解答即可。 【详解】直线a与b不相交，所以直线a与b互相平行； 直线c与b相交成直角，所以直线c与b互相垂直； 直线a与d有一个公共点，所以直线a与d相交。 6．两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线d的距离是6厘米，那么这个长方形的周长是( )厘米。 【答案】44 【分析】直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，垂线段的长度叫点到直线的距离，点O到直线a的距离是5厘米，则O点到直线a的垂线段长度是5厘米，因为点O在长方形的正中间，则O点到直线b的垂线段长度也是5厘米，长方形的宽是（5＋5）厘米；点O到直线d的距离是6厘米，则O点到直线d和直线c的垂线段长度是6厘米，长方形的长是（6＋6）厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此代入数字即可计算出周长。 【详解】 宽：5＋5＝10（厘米） 长：6＋6＝12（厘米） （12＋10）×2 ＝22×2 ＝44（厘米） 7．为助力乡村建设，需修建一条与友谊路互相平行的乡村道路，下图A、B、C是三种不同的设计方案，方案( )不符合要求。 【答案】B 【分析】根据平行线的定义：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。观察图片中三种方案的路线方向，判断即可。 【详解】图中友谊路是水平走向，方案A、C的走向和友谊路一致，与友谊路互相平行；方案B是竖直走向，会和友谊路相交，不满足平行的要求，因此方案B不符合要求。 8．在一个长方形中，有( )组线段互相平行。 【答案】2/两 【分析】长方形是特殊的平行四边形，根据定义，长方形的两组对边分别互相平行。 【详解】长方形有四条边，相对的两条边称为对边。长方形的对边互相平行且相等。长方形中，上下两条边互相平行，构成第一组平行线段； 左右两条边互相平行，构成第二组平行线段。 二、选择题 9．能准确表示出同一平面内两条直线位置关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】在同一平面内的两条直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况，据此即可解答。 【详解】根据分析可知： 能准确表示出同一平面内两条直线位置关系的是。 10．利用直角三角板作直线MN的垂线，下列作图方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用三角板画垂线，关键是让三角板的一条直角边贴合直线MN，沿着另一条直角边画线，两条直角边夹角是90°，才能保证垂直。 【详解】A．三角板直角边没有对齐直线MN，画不出直角，错误。 B．三角板的一条直角边贴合直线MN，但没有沿着另一条直角边画线，错误。 C．三角板直角边没有贴合直线MN，错误。 D．三角板一条直角边紧紧贴住直线MN，沿着另一条直角边画线，夹角是直角，正确。 11．下面选项中，能用“直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短”来解释的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。 【详解】A．图中展示了从起点到终点的路线。选择直的路线是因为在两点之间，线段的长度最短，不符合题意。 B．图中测量跳远距离时，是从身体接触沙坑的最近点向起跳线画了一条垂线，这是因为在连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂直于直线的线段长度是最短的，这个长度是点到直线的距离，符合题目要求。 C．把墙上的画挂正，通常是指画框的上边沿与地面平行，或者画框的左右边与地面垂直，与“垂直线段最短”无关。 D．用两个图钉固定纸条，是因为经过两点有且只有一条直线，与题目要求的原理不符。 12．下面是人行横道线平面图。如果从点A穿过马路，最短的路线是（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】A 【分析】直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，据此找出最短的路线即可。 【详解】最短的路线是①。 13．幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（    ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】幸福村是直线外一点，国道是已知直线。观察题图中公路与国道的位置关系，存在直角符号，说明所修公路是幸福村到国道的垂线段。因为要找直线外一点到直线的最短路径，所以对应垂线段最短的相关几何性质，再匹配选项内容即可。 【详解】A．图里修的是从幸福村到国道的垂直线段，对应的数学知识是：过直线外一点到这条直线的垂直线段最短，符合题意。 B．平行线之间的距离处处相等。平行线的相关性质，本题没有涉及平行线，不符合题意； C．两点之间线段最短，本题是点到直线的最短距离问题，不是两点间连线，不符合题意； D．两点确定一条直线，是确定直线的规则，和“路最近”的要求无关，不符合题意； 14．工人在砌墙时用铅锤的目的是（    ）。 A．测量墙的高矮 B．检验墙与地面是否垂直   C．看墙面砌得是否平整 【答案】B 【分析】重锤线是利用重物静止时线总是竖直下垂的原理制造的仪器。工人砌墙将铅锤悬挂靠近墙面，若墙面和铅垂线完全平行，说明墙体垂直、砌得端正；若两者存在缝隙，代表墙体倾斜，需要调整砖块。 【详解】由分析铅锤的原理，可知工人在砌墙时用铅锤的目的是检验墙与地面是否垂直。 15．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 【答案】B 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可。 【详解】小丽觉得行人沿垂直方向行走时距离最短，这一想法体现的数学依据是垂线段最短。 三、作图题 16．过直线外一点O画直线L的垂线和平行线。 【答案】 【分析】过直线外一点作垂线：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合。再沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 画已知直线的平行线：先把三角尺的一条直角边与已知直线L重合，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，沿直尺平移三角尺，使三角尺原来与L重合的直角边经过点O，沿该直角边画出直线即为所求平行线。 【详解】略 17．将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【答案】 【分析】两点之间线段距离最短，把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，从A点出发到点P喝水，然后到位于B点的军营的距离最短。据此画图。 【详解】把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，因为B'是B关于河岸的对称点，所以PB＝PB'，路线“A→P →B”的长度等于AP＋PB＝AP＋PB'，也就是A和B'之间的线段长度。根据两点之间线段距离最短，此时路线是最短的。 图略。 18．下图是某国道旁的几个村的位置示意图。 (1)请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。 (2)请找到互相平行的线，在图中圈一圈。 (3)计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。这样修的原因是（                                                 ）。 【答案】(1) (2) (3)；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】两条线相交成直角，这两条直线互相垂直； 永不相交的两条直线互相平行； 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【详解】（1）垂直于下面水平线段，右边竖直线段也垂直于下面水平线段，在点、点位置标注直角符号，图略。 （2）线段和线段右侧上方竖直的线段互相平行，图略。 （3）过点向国道这条直线作垂线段，这条垂线段就是最短路线，因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，图略。 四、解答题 19．如图，从公园的广场到文尚路修了A、B两条路，两条路中间是草坪，但人们总喜欢在草坪上走出C这样一条路。 请你利用所学的知识解释产生这一现象的原因。如果你是草坪管理员，你会给设计师提出什么建议？ 【答案】原因是从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短；建议在垂线段C位置修建一条步行道。（答案不唯一） 【分析】这一现象可以用数学原理解释：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段的长度是最短的。根据这个数学原理设计即可。 【详解】答：根据垂线段最短的数学原理，从广场到文尚路的所有线段中，路线C是垂线段，长度比A、B两条路更短，所以人们会更愿意走这条捷径。 建议：可以在广场到文尚路之间，沿着垂线段C的位置修建一条正式的步行小路，既满足人们抄近路的需求，也能保护草坪不被踩踏。（答案不唯一） 20．笑笑家的画挂歪了（如图），她想把画挂正，淘气说：“只要将挂画的两根绳子调成一样长就可以了。”淘气的方法可行吗？请你说明理由。 【答案】可行。理由：挂画的两根绳子一样长时，画框上下边与墙面平行，画就挂正了。 【分析】根据两平行线间的距离处处相等且平行解答。 【详解】方法可行。理由：挂画的两根绳子一样长时，画框上下边与墙面平行，画就挂正了。 21．如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？ （1）请在图中表示出合理的测量方法。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相（    ）。 【答案】（1） （2）平行 【分析】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。 （2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。 【详解】（1）画图略。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相平行。 22．先在下面正方形中画一个点，使这个点到每条边的距离都相等，再量一量，到每条边的距离是（    ）厘米。 【答案】见详解；1 【分析】正方形四条边都相等，四个角都是直角。将正方形沿一条边对折，展开后沿这条边的邻边再对折，找到两次折痕的交点，该点到正方形各边的距离都相等；直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，这条线段也叫点到直线的距离，据此先过中心点画出到每条边的垂线段后量出长度即可。 【详解】 到每条边的距离是1厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $