3.4 一元一次不等式组（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理概念（含同一未知数的不等式组、解集）、解法（求各不等式解集、数轴找公共部分、四种解集类型）及实际应用（行程、工程、经济等问题），辅以与单个不等式的区别对比和高频易错点分析，构建完整学习支架。 资料通过分层设计（知识点-拓展-题型）、易错提醒与随学随练结合，培养学生抽象能力（概念辨析）、推理意识（解法逻辑）、模型意识（实际问题转化），课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

第三章 一元一次不等式 3.4 一元一次不等式组 课标要点 1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念。 2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会求解每个不等式并利用数轴确定公共解集。 3.熟记一元一次不等式组四种解集情况，能快速判断有解、无解情形。 4.能结合实际问题列不等式组求解，会根据实际条件取舍整数解、合理取值。 学习重难点 重点： 1.掌握一元一次不等式组的解法； 2.利用数轴准确找公共解集； 3.会解基础含不等式组的题型与简单实际问题。 难点： 1.准确区分四种解集类型，判断不等式组无解、有解情况； 2.借助数轴规范找公共部分，避免解集取值错误； 3.结合实际情境对不等式组解集进行合理取舍。 知识点 一元一次不等式组的概念 1. 一元一次不等式组：一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 2. 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，称这个不等式组无解。 易错提醒 1）未知数必须统一，含不同未知数的不等式不能组成不等式组； 2）单个不等式不能叫不等式组； 3）误认为不等式组一定有解，部分不等式组无解（无公共区域）。 随学随练 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 解一元一次不等式组（重点） 1. 解一元一次不等式组的一般步骤： ①求出不等式组中各不等式的解集； ②将各不等式的解集在数轴上表示出来； ③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 2. 一元一次不等式组的解集确定方法如下表所示： 不等式组 设 解集 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 无解 大大小小无处找 大小，小大中间找 易错提醒 1）解单个不等式时，乘除负数忘记变号，导致整体解集错误； 2）不用数轴，仅凭口诀容易判断错含参、边界复杂题型； 3）公共部分判断失误，混淆空心、实心边界； 4）求整数解时多取、漏取边界数值。 随学随练 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·青海玉树·期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 知识点 一元一次不等式组的实际应用 用一元一次不等式组解决实际问题与一元一次不等式解决实际问题的步骤、方法一致。 易错提醒 1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程； 2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）； 3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值； 4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小； 5）设未知数语句不规范。 随学随练 1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 拓展 解不等式组与解单个不等式区别对比 对比维度 单个一元一次不等式 一元一次不等式组 式子构成 仅含一个不等式 由多个同未知数的一元一次不等式组成 解集逻辑 直接求解，结果唯一范围，不存在无解情况 需取多个解集的公共部分，无公共部分则无解 解题关键 掌握不等式性质，重点注意变号规则 先单独求解，再借助数轴找公共重叠区域 活学活用 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期末）解不等式组 拓展 不等式组高频易错点归纳 1. 解集公共区域易错：解不等式组核心是取公共部分，不可直接套用单个不等式解集，容易忽略重叠范围导致解集偏大或偏小。 2. 无解判定易错：混淆“大大小小无解”和“大小小大有解”模型，记错口诀，错误判定不等式组解集情况。 3. 临界符号易错：忽略不等号是否带等号，混淆实心、空心端点，导致区间取值范围出错。 4. 概念易错：不等式组无解不代表不等式无解，是指多个不等式的解集无公共重合区域，单个不等式本身有解集。 活学活用 1．已知关于的不等式组 (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求的取值范围． 2．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 3．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 题型 识别一元一次不等式组 解题贴士 由两个及以上一元一次不等式组成的整体即为一元一次不等式组，核心满足：只含一个未知数、未知数次数为1、整式不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型 解一元一次不等式组 解题贴士 1）分别解出组内每个不等式的解集； 2）借助数轴或口诀确定公共解集； 3）最终写出不等式组解集。 ▌例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·江西上饶·期末）解不等式组，并将解集表示在数轴上． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东清远·期末）不等式组解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）解不等式组． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广西河池·期末）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解不等式组 ▌对点练1-5．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 题型 由一元一次不等式组的解集求参数 解题贴士 1）先解含参数的不等式组，得到带参数的解集； 2）结合题目给出的已知解集，通过对应相等、边界匹配列等式或不等式，求解参数范围，重点验证端点能否取等。 ▌例1．（25-26七年级下·山东东营·期末）不等式组解集为，则取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·山东德州·二模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 题型 根据一元一次不等式组解集的情况求参数 解题贴士 易错：①有解、无解的临界边界搞反；②整数解个数题型，漏卡临界值导致范围偏大/偏小；③端点等号取舍错误，是高频扣分点；④忽略参数为整数、实数的题干限制。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是_________． ▌例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）不等式组无解，则m的取值范围是（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的积大于10，则实数a的取值范围是__________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的的偶数解的个数为________． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组有个整数解，求的取值范围； (3)若不等式组无解，直接写出的取值范围． 题型 不等式组与方程组结合 解题贴士 先解二元一次方程组，用参数表示未知数的解；再将解代入不等式组，得到关于参数的不等式，求解参数取值范围，必要时取整数解。 ▌例1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”，且该不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·四川达州·期末）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是_______． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， (1)解这个不等式组，得 ． (2)请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)方程①，②中，___________（只填序号）是不等式组的“友好方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有且仅有3个整数解，直接写出的取值范围． 题型 一元一次不等式组的实际应用——行程与工程问题 解题贴士 根据行程、工程公式，提炼双重限制条件（时间、速度、工作量的上下限），列出两个不等式构成不等式组；求解范围后，结合实际取合理数值。 ▌例1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． ▌对点练1-2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 题型 一元一次不等式组的实际应用——经济问题 解题贴士 梳理成本、售价、利润、销量、优惠等关系，根据成本上限、利润下限、销量限制列双重不等关系，组建不等式组，求解定价、进货量、降价范围。 ▌例1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4元，每件乙文具进价6元．若购进甲、乙共80件，总进价380元． (1)求购进甲、乙文具各多少件； (2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100件，甲不少于30件，总进价不超过520元，求甲文具最多采购多少件． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广东阳江·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？ ▌对点练1-4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 题型 一元一次不等式组的实际应用——分配问题 解题贴士 根据物资分配的“有余、不足、不空、不超”双重约束，列出两个不等式组成不等式组；求解后取正整数解，确定分配数量。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）学校给七年级男生安排宿舍，若每间安排人，则还剩人安排不下；若每间安排人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？若设学校给七年级男生分配的宿舍有间，则可列不等式组为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 题型 一元一次不等式组的实际应用——方案问题 解题贴士 1）设未知数表示分配、采购、生产数量，根据题干多重限制条件列不等式组； 2）求出整数解，每一组整数解对应一套可行方案，最后枚举所有方案并择优选择。 ▌例1.（25-26八年级上·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． ▌对点练1-1.（25-26八年级下·河南安阳·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景：学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品． 素材一：购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费275元； 素材二：购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费285元； 素材三：学校计划购买甲、乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． ▌对点练1-2.为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ ▌对点练1-3.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；第二次采购：购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元． (1)求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元． (2)学校计划第三次采购两种商品共40件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的．若设本次采购牛肉干袋，试通过计算说明所有符合条件的采购方案并写出来． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 题型 一元一次不等式组的实际应用——其他问题 解题贴士 提取题干多重数量约束，将两类及以上限制条件转化为不等关系，构建不等式组求解，结合生活实际（人数、物品数为正整数）取舍结果。 ▌例1．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，用长为45米的栅栏网一边靠墙围成两个长方形菜园（靠墙部分不使用栅栏网），墙的长度米，要求靠墙的边不小于20米且不超过30米，设与墙垂直的一边的长度为米，则的取值范围为______． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）学校在思维运动会中开展“数字寻宝”游艺实践项目，数学组策划游戏规则：制作张数字卡片，分别标注~的不重复正整数．参与者随机抽取张卡片，按摆放顺序记为A，B，C，D，E．为增加游戏趣味性，采用信息隐藏式推理模式：工作人员仅记录并公布相邻两张卡片的数字和，隐藏所有原始数字，要求参与者通过分析有限数据，推理出原始数字并完成项目探究．本次测试采集到的有效数据为，，，． 【约束条件】A，B，C，D，E为~之间互不相等的正整数． 【实践探究任务】 (1)根据相邻和的数量关系，统一变量，用含字母A的代数式表示B，C，D，E； (2)结合正整数定义、数字不重复的约束条件，通过不等式推理求出字母A的合法取值； (3)在A，B，C，D，E五张卡片中，直接判断最大值对应的卡片是哪张． 题型 一元一次不等式组的其他应用 解题贴士 易错：①多条件联立出现矛盾，不会判断无解情况；②区间临界值取舍模糊；③不会利用不等式组求最值，盲目取值；④混淆单一不等式与不等式组的约束精度。 ▌例1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是________． ▌对点练1-1．a、b、c是三个非零的自然数，它们的平均数为25，其中最大的数比最小的数大11，那么这三个数中最大的是（   ） A．25 B．33 C．32 D．36 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．三角形的三边分别是，，，则的取值范围________________． 基础通关 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如果不等式组的解集有2个偶数解，则的取值范围是__________． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）不等式组的所有整数解的和是__________． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）小华用零花钱在超市购买了价值30元的东西，剩余的零花钱不超过10元，则小华原有的零花钱可能是_______元．（写出一个即可） 8．（25-26八年级下·山东淄博·期末）请写出满足不等式组的一个解______． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组，并画数轴表示解集，写出不等式组整数解． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示． (1)求m的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围． 12．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式组：；并写出该不等式组的非负整数解． 13．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若关于不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，求满足条件的所有整数． 素养提升 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）记表示不超过的最大整数．例如，．若，则的取值范围是________． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，进价分别为元，元．近两周销售情况如下： 销售时段 甲型号数量 乙型号数量 销售收入 第一周 个 个 元 第二周 个 个 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价； (2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过元的金额再采购这两种型号智能手环共个，求甲型号智能手环最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这个智能手环的利润能否超过元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读理解：我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”． 初步感知： (1)组合是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）； 问题解决： (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求m的取值范围； (3)若关于x的组合是“无缘组合”，求n的取值范围． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 迁移创新 1．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期末）当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.4 一元一次不等式组 课标要点 1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念。 2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会求解每个不等式并利用数轴确定公共解集。 3.熟记一元一次不等式组四种解集情况，能快速判断有解、无解情形。 4.能结合实际问题列不等式组求解，会根据实际条件取舍整数解、合理取值。 学习重难点 重点： 1.掌握一元一次不等式组的解法； 2.利用数轴准确找公共解集； 3.会解基础含不等式组的题型与简单实际问题。 难点： 1.准确区分四种解集类型，判断不等式组无解、有解情况； 2.借助数轴规范找公共部分，避免解集取值错误； 3.结合实际情境对不等式组解集进行合理取舍。 知识点 一元一次不等式组的概念 1. 一元一次不等式组：一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 2. 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，称这个不等式组无解。 易错提醒 1）未知数必须统一，含不同未知数的不等式不能组成不等式组； 2）单个不等式不能叫不等式组； 3）误认为不等式组一定有解，部分不等式组无解（无公共区域）。 随学随练 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 知识点 解一元一次不等式组（重点） 1. 解一元一次不等式组的一般步骤： ①求出不等式组中各不等式的解集； ②将各不等式的解集在数轴上表示出来； ③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 2. 一元一次不等式组的解集确定方法如下表所示： 不等式组 设 解集 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 无解 大大小小无处找 大小，小大中间找 易错提醒 1）解单个不等式时，乘除负数忘记变号，导致整体解集错误； 2）不用数轴，仅凭口诀容易判断错含参、边界复杂题型； 3）公共部分判断失误，混淆空心、实心边界； 4）求整数解时多取、漏取边界数值。 随学随练 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，对应选出正确选项． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ∴不等式组的解集为． 2．（25-26七年级下·青海玉树·期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为，数轴表示略． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示略． 知识点 一元一次不等式组的实际应用 用一元一次不等式组解决实际问题与一元一次不等式解决实际问题的步骤、方法一致。 易错提醒 1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程； 2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）； 3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值； 4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小； 5）设未知数语句不规范。 随学随练 1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 拓展 解不等式组与解单个不等式区别对比 对比维度 单个一元一次不等式 一元一次不等式组 式子构成 仅含一个不等式 由多个同未知数的一元一次不等式组成 解集逻辑 直接求解，结果唯一范围，不存在无解情况 需取多个解集的公共部分，无公共部分则无解 解题关键 掌握不等式性质，重点注意变号规则 先单独求解，再借助数轴找公共重叠区域 活学活用 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】； 【详解】解：去分母，得，     移项、合并同类项，得，     系数化为1，得， ∴不等式的解集为．     2．（25-26八年级下·广东茂名·期末）解不等式组 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，取解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 拓展 不等式组高频易错点归纳 1. 解集公共区域易错：解不等式组核心是取公共部分，不可直接套用单个不等式解集，容易忽略重叠范围导致解集偏大或偏小。 2. 无解判定易错：混淆“大大小小无解”和“大小小大有解”模型，记错口诀，错误判定不等式组解集情况。 3. 临界符号易错：忽略不等号是否带等号，混淆实心、空心端点，导致区间取值范围出错。 4. 概念易错：不等式组无解不代表不等式无解，是指多个不等式的解集无公共重合区域，单个不等式本身有解集。 活学活用 1．已知关于的不等式组 (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式（组），会解一元一次不等式是解答本题的关键； （1）求出第一个不等式的解集，由解集相同得到，求出a的值即可； （2）根据第二个不等式的解都是第一个不等式的解，可得到，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由，得 ， ∵不等式组中的两个不等式的解集相同， ∴， 解得． （2）∵不等式组第二个不等式的解都是第一个不等式的解， ∴， 解得． 2．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，用数轴表示如下： 【分析】先分别解两个不等式，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集． 【详解】解： 解①得，， 解②得，， 所以不等式组的解集为， 用数轴表示略． 3．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 【答案】不等式组的解是，整数解是、、0，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为，整数解是、、0， 数轴表示略． 题型 识别一元一次不等式组 解题贴士 由两个及以上一元一次不等式组成的整体即为一元一次不等式组，核心满足：只含一个未知数、未知数次数为1、整式不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． ▌对点练1-1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． ▌对点练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解： 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 题型 解一元一次不等式组 解题贴士 1）分别解出组内每个不等式的解集； 2）借助数轴或口诀确定公共解集； 3）最终写出不等式组解集。 ▌例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解得：； 解得：； ∴， 在数轴上表示如下： ▌例2．（25-26七年级下·江西上饶·期末）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】 ； 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东清远·期末）不等式组解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分． 【详解】解：解不等式， 可得， 解不等式， 可得， 故不等式组的解集为． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）解不等式组． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广西河池·期末）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为， 【详解】解：由不等式①得： ， 由不等式②得： ， 不等式组的解集为 ． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解不等式组 【答案】 【详解】解：解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集是． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示略． 题型 由一元一次不等式组的解集求参数 解题贴士 1）先解含参数的不等式组，得到带参数的解集； 2）结合题目给出的已知解集，通过对应相等、边界匹配列等式或不等式，求解参数范围，重点验证端点能否取等。 ▌例1．（25-26七年级下·山东东营·期末）不等式组解集为，则取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同小取小”原则，结合已知解集确定n的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴． ▌例2．（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，结合已知解集得到和的值，再计算即可． 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴， ∴． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． ▌对点练1-2．（2026·山东德州·二模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则“同大取大”，推导得到的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】根据题意可得， 取满足的一个值即可， 故答案为（答案不唯一）． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 题型 根据一元一次不等式组解集的情况求参数 解题贴士 易错：①有解、无解的临界边界搞反；②整数解个数题型，漏卡临界值导致范围偏大/偏小；③端点等号取舍错误，是高频扣分点；④忽略参数为整数、实数的题干限制。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴． ▌例2．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 不等式组有解，即两个不等式的解集存在公共部分， ． ▌例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解两个不等式，再根据使都成立，可得，进一步求解即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 依题意，得， 解得：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）不等式组无解，则m的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解意味着两个不等式的解集没有公共部分，结合解集规律即可推导的范围， 【详解】∵不等式组无解， ∴与没有公共解集， 当时，不等式组的解集为，存在解，不符合要求， 当时，不等式组变为，无公共解集，符合无解的要求， 当时，不存在同时满足和的，无解，符合要求， 综上可得的取值范围是． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的积大于10，则实数a的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据所有整数解的积大于10的条件，确定符合要求的整数解，进而得到关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解得， 解得， 因此不等式组的解集为， 若整数解中包含，则所有整数解的乘积为，不满足乘积大于的条件，因此整数解中不含， 若最大整数解小于等于，则整数解为，，乘积为，满足条件，故， 解得， 若最大整数解小于等于，则整数解为，，，乘积为，不满足条件， 若最大整数解小于等于，则整数解为，，，，乘积为，满足条件，故， 解得； 综上所述的取值范围为或． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的的偶数解的个数为________． 【答案】3 【分析】先解不等式组得到的取值范围，再根据不等式组有且只有2个偶数解确定的取值范围，最后找出范围内的偶数个数即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为 不等式组有且只有个偶数解， ∴中的两个偶数为 不等式两边同乘得 其中满足的偶数为，共个． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组有个整数解，求的取值范围； (3)若不等式组无解，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解问题以及不等式组无解的条件，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，理解整数解和无解的含义是解答本题的关键． （1）将代入不等式组，分别解两个一元一次不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集； （2）先求出不等式组的解集，再根据“有个整数解”确定整数解的具体值，进而反推出的取值范围； （3）根据不等式组无解的条件“两个不等式的解集没有公共部分”，直接确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解①得，， 解②得，， 综上所述，不等式组的解集为； （2）解：， 解①得，， 解②得，， 不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 个整数解为， ； （3）解：由（2）得，不等式组的解集为， 不等式组无解， ． 题型 不等式组与方程组结合 解题贴士 先解二元一次方程组，用参数表示未知数的解；再将解代入不等式组，得到关于参数的不等式，求解参数取值范围，必要时取整数解。 ▌例1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． ▌例2．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”，且该不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是， 理由：解方程得：， 解不等式得：， 不在范围内， 方程的解不是不等式的“内含解”． (2) (3)的取值范围为 【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可； （2）先得出方程组的解为，然后根据题意可得，进而求解即可； （3）先得出方程和不等式组的解分别为，然后根据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 方程组的解是不等式的“内含解”， ， ． （3）解：， 由①可得：， 由②可得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有4个整数解，且该4个整数解分别为0，1，2，3， ， 解得：， 解方程可得， ∵方程的解是不等式组的“内含解”， ， 解得：， 综上所述：的取值范围为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，代入不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 得， 由条件得 解得． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·四川达州·期末）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，关于的表达式，根据，得到的初步范围，再结合和确定的最终范围，将变形后即可求出其取值范围． 【详解】解：， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵， ， ∵， ， 解得， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，再根据整数解的个数，列不等式求解． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； （2）解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解得，   ，， ； （3）解：由方程得， 解不等式组得， ∵不等式组的正整数解有4个， ∴不等式组的正整数解为1、2、3、4， ， ，   又∵关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”， ， ， 综上：的取值范围为． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， (1)解这个不等式组，得 ． (2)请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可确定不等式组的解集； （2）①解方程组得，继而得到，求出这个不等式的解集即可； ②设，得到方程组，解得，继而得到，求出这个不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴这个不等式组的解集为； （2）解：①解得：， ∵， ∴， 解得：； ②设， 构成方程组， 解得：， ∵，， ∴， 解得：， ∴． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)方程①，②中，___________（只填序号）是不等式组的“友好方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有且仅有3个整数解，直接写出的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程的解和不等式组的解集，再由定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据定义得到不等式求解即可； （3）先求出不等式组的解集，然后根据整数解的个数列出不等式组求解，再解一元一次方程，然后根据新定义得到不等式组求解，最后取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解方程得； 解方程得，； ， 由①得； 由②得 ∴不等式组的解集为， ∵在范围内，不在范围内， ∴①符合题意； （2）解：由（1）可知不等式组的解集为， 解方程，得， ∵方程是该不等式组的“友好方程”， ∴， 解得； （3）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 解方程得，， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得， 综上：． 题型 一元一次不等式组的实际应用——行程与工程问题 解题贴士 根据行程、工程公式，提炼双重限制条件（时间、速度、工作量的上下限），列出两个不等式构成不等式组；求解范围后，结合实际取合理数值。 ▌例1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． ▌对点练1-2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 题型 一元一次不等式组的实际应用——经济问题 解题贴士 梳理成本、售价、利润、销量、优惠等关系，根据成本上限、利润下限、销量限制列双重不等关系，组建不等式组，求解定价、进货量、降价范围。 ▌例1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4元，每件乙文具进价6元．若购进甲、乙共80件，总进价380元． (1)求购进甲、乙文具各多少件； (2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100件，甲不少于30件，总进价不超过520元，求甲文具最多采购多少件． 【答案】(1)甲50件，乙30件 (2)甲最多100件 【分析】（1）设购进甲x件，则购进乙件，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设采购甲m件，则采购乙件，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进甲x件，则购进乙件， 由题意，， ； ； 答：购进甲50件，乙30件； （2）解：设采购甲m件，则采购乙件， 由题意，， 解得：， ∴甲最多100件， 当时成本，符合题意； 故甲最多100件． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 【答案】政府补贴至少应为0.93元/千克 【分析】先根据与应满足等式，变形得到，然后再根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：； ， ∵要使市场价格不高于9元/千克，由题意得：， 解之得， ∴政府补贴至少应为0.93元/千克． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广东阳江·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； (2)最少应购进甲型头盔80个． 【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元． 根据题意，得， 解得； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个， 根据题意，得：， 解得：． 为正整数， 的最小值为80． 答：最少应购进甲型头盔80个． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)商品的进价是100元/件，商品的进价是60元/件 (2)购进商品的件数最多为20件 【分析】（1）设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件，根据“购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元”列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进件A商品，则购进件B商品，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】（1）解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件． 根据题意， 解得， 故A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件； （2）解：设购进件A商品，则购进件B商品， 根据题意得， 解得， 的最大值为20． 故购进A商品的件数最多为20件． 题型 一元一次不等式组的实际应用——分配问题 解题贴士 根据物资分配的“有余、不足、不空、不超”双重约束，列出两个不等式组成不等式组；求解后取正整数解，确定分配数量。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）学校给七年级男生安排宿舍，若每间安排人，则还剩人安排不下；若每间安排人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？若设学校给七年级男生分配的宿舍有间，则可列不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据第一种住宿方案表示出七年级男生总人数，再根据第二种住宿方案中最后一间宿舍有人住但未住满的人数范围列出不等式组即可． 【详解】解：设学校分配的宿舍有间， ∵每间安排人，剩人安排不下， ∴七年级男生总人数为人， ∵每间安排人时，有一间宿舍未住满且有人住， ∴有间宿舍住满，住满的总人数为人， 最后一间未住满宿舍的人数为， ∵最后一间宿舍有人住，所以人数大于，又未住满，所以人数小于， ∴可得不等式组． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【答案】6 【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则住宿生总人数为人 根据题意，得 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， 故取整数，那么安排住宿的房间有间． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 题型 一元一次不等式组的实际应用——方案问题 解题贴士 1）设未知数表示分配、采购、生产数量，根据题干多重限制条件列不等式组； 2）求出整数解，每一组整数解对应一套可行方案，最后枚举所有方案并择优选择。 ▌例1.（25-26八年级上·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】(1)沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 (2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． ▌对点练1-1.（25-26八年级下·河南安阳·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景：学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品． 素材一：购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费275元； 素材二：购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费285元； 素材三：学校计划购买甲、乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为45元，乙种奖品的单价为25元， (2)购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3180元． 【分析】（1）根据购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费275元；购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费285元，设甲单价元，乙单价元即可得二元一次方程组； （2）根据购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，和乙数量大于0即可得出取值范围，列出费用式子，根据一次函数的性质即可得出最少费用． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 根据题意得，解得， 答：甲种奖品的单价为45元，乙种奖品的单价为25元． （2）解：设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件， 根据题意得， 解得， 根据题意得， ， 随的增大而增大． 为正整数， 当取最小值34时，取得最小值，此时，． 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3180元． ▌对点练1-2.为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． ▌对点练1-3.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；第二次采购：购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元． (1)求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元． (2)学校计划第三次采购两种商品共40件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的．若设本次采购牛肉干袋，试通过计算说明所有符合条件的采购方案并写出来． 【答案】(1)每袋牛肉干的单价为20元，每瓶豆腐乳的单价为13元； (2)共有6种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10袋，豆腐乳30瓶；②采购牛肉干11袋，豆腐乳29瓶；③采购牛肉干12袋，豆腐乳28瓶；④采购牛肉干13袋，豆腐乳27瓶；⑤采购牛肉干14袋，豆腐乳26瓶；⑥采购牛肉干15袋，豆腐乳25瓶． 【分析】（1）设每袋牛肉干的单价为x元，每瓶豆腐乳的单价为y元，根据：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元建立方程组求解即可； （2）根据学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的列出不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设每袋牛肉干的单价为x元，每瓶豆腐乳的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每袋牛肉干的单价为20元，每瓶豆腐乳的单价为13元； （2）解：由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有6种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10袋，豆腐乳30瓶；②采购牛肉干11袋，豆腐乳29瓶；③采购牛肉干12袋，豆腐乳28瓶；④采购牛肉干13袋，豆腐乳27瓶；⑤采购牛肉干14袋，豆腐乳26瓶；⑥采购牛肉干15袋，豆腐乳25瓶． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 题型 一元一次不等式组的实际应用——其他问题 解题贴士 提取题干多重数量约束，将两类及以上限制条件转化为不等关系，构建不等式组求解，结合生活实际（人数、物品数为正整数）取舍结果。 ▌例1．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，用长为45米的栅栏网一边靠墙围成两个长方形菜园（靠墙部分不使用栅栏网），墙的长度米，要求靠墙的边不小于20米且不超过30米，设与墙垂直的一边的长度为米，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边的长度为米，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设与墙垂直的一边的长度为米，根据题意，得四边形，四边形都是长方形， 米， 米， ， 解得， 故的取值范围为． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）学校在思维运动会中开展“数字寻宝”游艺实践项目，数学组策划游戏规则：制作张数字卡片，分别标注~的不重复正整数．参与者随机抽取张卡片，按摆放顺序记为A，B，C，D，E．为增加游戏趣味性，采用信息隐藏式推理模式：工作人员仅记录并公布相邻两张卡片的数字和，隐藏所有原始数字，要求参与者通过分析有限数据，推理出原始数字并完成项目探究．本次测试采集到的有效数据为，，，． 【约束条件】A，B，C，D，E为~之间互不相等的正整数． 【实践探究任务】 (1)根据相邻和的数量关系，统一变量，用含字母A的代数式表示B，C，D，E； (2)结合正整数定义、数字不重复的约束条件，通过不等式推理求出字母A的合法取值； (3)在A，B，C，D，E五张卡片中，直接判断最大值对应的卡片是哪张． 【答案】(1)；；； (2)A的合法取值为，，，，，，，，（，数字重复，剔除） (3)C一定最大 【分析】（1）根据等式的基本性质以及整式的加减运算法则逐步运算即可； （2）先根据题意列不等式组确定A的取值范围，然后逐一列举合法取值（正整数）并验证，从而确定A的合法取值； （3）根据作差法比较整式的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：由题意可得：，解得：， 逐一列举合法取值（正整数）：可取：，，，，，，，，，，． 以为例：，，，，； 以为例：，，，，； 以为例：，，，，（舍去，，重复）； 以为例：，，，，（舍去，，重复）； 以此类推，可筛选出所有无重复数字的组合，的合法取值为，，，，，，，，（，数字重复，剔除）． （3）解：∵；；；， ∴，， ∴在A，B，C，D，E五张卡片中，C一定最大． 题型 一元一次不等式组的其他应用 解题贴士 易错：①多条件联立出现矛盾，不会判断无解情况；②区间临界值取舍模糊；③不会利用不等式组求最值，盲目取值；④混淆单一不等式与不等式组的约束精度。 ▌例1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． ▌例2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出输入的x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， ∴输入的的取值范围为． ▌对点练1-1．a、b、c是三个非零的自然数，它们的平均数为25，其中最大的数比最小的数大11，那么这三个数中最大的是（   ） A．25 B．33 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．根据三个数的平均数为25，可得总和为75．设最小数为，中间数为，则最大数为，且，通过建立方程并分析中间数的取值范围，确定符合条件的最大数，即可． 【详解】解：∵三个数的平均数为25， ∴总和为 ，即 ， 设最小数为，中间数为，则最大数为，且， ∴， 整理得：，即， ∵，代入得： ， 解得：， ∵m为自然数， ∴m最大取21， 此时三个数为21、22、32，满足总和为75且中间数在范围内． 所以三个数中最大的是32， 故选：C． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，可列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-3．三角形的三边分别是，，，则的取值范围________________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．据此列出不等式组并求解． 【详解】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组解集的判断规则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”逐一判断即可． 【详解】解：A选项 ，根据同小取小，解集为，有解，不符合要求； B选项 ，根据大小小大中间找，解集为，有解，不符合要求； C选项 ，根据同大取大，解集为，有解，不符合要求； D选项 ， ∵没有数同时满足且，∴不等式组无解，符合要求． 2．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式组有解，说明两个不等式的解集存在公共部分，据此判断的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组有解， ∴需要两个不等式的解集存在公共部分，即存在同时满足和， ∴． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如果不等式组的解集有2个偶数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】得到不等式组的解集，再根据偶数解的个数确定端点的取值范围，进而得到a的取值范围． 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集有个偶数解， ∴符合条件的两个偶数解为和， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）不等式组的所有整数解的和是__________． 【答案】2 【分析】先求解不等式组得到解集，再找出解集内的所有整数，计算所有整数的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 因此不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为， 所有整数解的和为． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）小华用零花钱在超市购买了价值30元的东西，剩余的零花钱不超过10元，则小华原有的零花钱可能是_______元．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】设小华原有的零花钱为元，根据题意结合剩余零花钱非负，列出不等式，求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：设小华原有的零花钱为元． 由题意可知，购买商品后剩余零花钱为元，剩余零花钱不超过元且不为负数，可得不等式： 解得： 故答案为（答案不唯一，满足即可）． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期末）请写出满足不等式组的一个解______． 【答案】（答案不唯一，只要即可） 【详解】解：不等式组的解集为， 故（答案不唯一，只要即可）． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组，并画数轴表示解集，写出不等式组整数解． 【答案】 不等式组的解集为，整数解为， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为 所以整数解为， 数轴表示见答案． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示如下： 【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集即可得出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下：略 11．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示． (1)求m的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出不等式的解为，然后根据数轴上不等式的解集求解； （2）根据解集为得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 由数轴可得，关于x的不等式组的解集为， ∴； （2）解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴m的取值范围为． 12．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式组：；并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，非负整数解是0，1，2 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为，非负整数解是0，1，2． 13．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若关于不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，求满足条件的所有整数． 【答案】满足条件的所有整数有和 【分析】先解不等式组求出，则，解得到，再根据解的情况讨论即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得． ∵关于的不等式组有解， ． ． 解，得． ∵关于的方程的解为正整数， ∴a为6的倍数，且， ∴当时，， 符合题意， 当时，， 符合题意， 当时，， 应舍去， 当时，，不符合条件， 满足条件的所有整数有和． 素养提升 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入，其结果；第二次输入，其结果，据此建立一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：第一次输入，其结果；第二次输入，其结果， 即， 解得． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）记表示不超过的最大整数．例如，．若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ， 解不等式，移项得，即，解得， 解不等式，移项得，即，解得， 的取值范围是． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【答案】 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【详解】解：设宿舍有x间，寄宿学生的人数为人， 由题意可得． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，进价分别为元，元．近两周销售情况如下： 销售时段 甲型号数量 乙型号数量 销售收入 第一周 个 个 元 第二周 个 个 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价； (2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过元的金额再采购这两种型号智能手环共个，求甲型号智能手环最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这个智能手环的利润能否超过元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)甲型号智能手环销售单价为元，乙型号智能手环销售单价为元 (2)甲型号智能手环最多能采购个 (3)能实现利润超过元的目标，采购方案如下： 甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元； 当甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元． 【分析】（1）由等量关系：甲型号智能手环的数量甲型号智能手环单价乙型号智能手环的数量乙型号智能手环单价销售总收入，列方程组求解即可； （2）由不等关系：甲型号智能手环采购的数量甲型号智能手环的进价（甲型号智能手环采购的数量） 乙型号智能手环的进价，列不等式求解即可； （3）由不等关系：甲型号智能手环的销售数量甲型号智能手环单件商品的利润+（甲型号智能手环采购的数量）乙型号智能手环单件商品的利润，结合第（2）小问即可求得． 【详解】（1）解：设甲型号的智能手环的销售单价为元，乙型号的智能手环的销售单价为元， ， 解得， 答：甲型号的智能手环的销售单价为元，乙型号的智能手环的销售单价为元； （2）解：设甲型号智能手环采购个，则乙型号智能手环采购个， 解得 答：甲型号智能手环最多能采购30个； （3）解：设甲型号智能手环采购个，则乙型号智能手环采购个， 解得 当，为正整数时，能实现利润超过元的目标， 采购方案如下：甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元； 当甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 【答案】(1) (2) (3) 一套桌椅定价范围为不少于元，不超过元 【分析】（1）先表示出，再结合可得，然后得出，接下来根据可得，则此题可解； （2）先表示出，再根据可得，然后整理得出，进而得出，则此题可解； （3）先设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意得出不等式组，并求出解集，再得出一套桌椅的定价为，并求出取值范围即可得出答案． 【详解】（1）解：已知，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 由， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由， ∴， ∴， ∴t的最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的差为； （3）解：设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意，得 ， 解得， 一套桌椅的定价为， ∵， ∴， ∴， 所以出售一套桌椅的定价的范围不少于280元，不超过340元． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读理解：我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”． 初步感知： (1)组合是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）； 问题解决： (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求m的取值范围； (3)若关于x的组合是“无缘组合”，求n的取值范围． 【答案】(1)无缘组合 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程及不等式，再根据题意判断即可； （2）先解方程得，解不等式得，然后根据“有缘组合”可得，再解不等式即可； （3）先解方程得，解不等式得，然后根据“无缘组合”可得，再解不等式即可； 【详解】（1）解：，解得， ，解得， 则一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， 故组合是“无缘组合”； （2）解：解方程，得， 解关于x的不等式，得， 因为，关于x的组合是“有缘组合”， 所以，方程的解，也是关于x的不等式的解， 所以，，所以，解得， 所以，m的取值范围是． （3）解：解关于x的方程，得， 解关于x的不等式，得， 因为，关于x的组合是“无缘组合”， 所以，关于x的方程的解，不是关于x的不等式的解， 所以，，解得， 所以，n的取值范围是． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，，； (2)货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； (3)． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解：，， 原不等式组化为：， 不等式组的解集为． 不等式组有且只有2个整数解，大于的最小两个连续整数为， ， 解不等式组得． 2．（25-26七年级下·北京·期末）当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为． （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $