第五章 一元一次方程（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学第五章一元一次方程知识清单系统梳理了方程概念、等式性质、解法步骤及实际应用，涵盖概念辨析、性质运用、解法流程、应用建模四大知识范畴，为学生搭建了从基础定义到解题实践的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，将“等式性质”“解法五步”等核心内容结构化，培养学生的抽象能力与运算能力。特别设计6类易错点专项分析，如“实际应用问题”强调单位统一与实际意义检验，配套“行程问题公式”“利润计算模型”等应用工具，助力学生高效掌握，教师可直接用于专题复习与学情诊断。

第五章 一元一次方程 知识点一 一元一次方程的概念 1. 方程：含有未知数的等式。 1. 一元一次方程定义：只含有一个未知数（未知数的次数都是1），等号两边都是整式的方程。 1. 三个条件（缺一不可） ① 只含1个未知数； ② 未知数最高次数为1； ③ 分母不含未知数（整式方程）。 1. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 1. 解方程：求方程解的过程。 知识点二 等式的基本性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 若 ，则 。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 若 ，则 ； 若 且 ，则 。 ⚠ 易错提醒：两边做除法时，除数不能为0；等式变形必须两边同时操作，不能只改一边。 知识点三 一元一次方程的解法 一般步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 1. 去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数；每一项都要乘，不含分母项不能漏乘。 1. 去括号：括号前是负号，括号内各项全部变号；运用乘法分配律。 1. 移项：把某一项改变符号，从等式一边移到另一边；移项必变号，不移不变号。 1. 合并同类项：将方程化为 形式。 1. 系数化为1：两边同时除以未知数系数 ，得 。 检验：把求得的 代入原方程左右两边，看两边是否相等。 知识点四 一元一次方程的应用解题思路 1. 审题：读懂题意，找出已知量、未知量。 1. 设未知数：直接设（问什么设什么）、间接设。 1. 找等量关系（核心）：题目中的相等语句，列出等式。 1. 列一元一次方程。 1. 解方程。 1. 检验：① 检验方程解；② 检验结果是否符合实际意义。 1. 写出答。 知识点五 实际问题常见类型 1. 和差倍分问题：抓关键词：多、少、几倍、几分之几。 1. 行程问题 · 基本公式：路程 = 速度 × 时间 · 相遇：路程和 = 总路程 · 追及：路程差 = 初始距离 1. 工程问题：总工作量一般看作1；工作量 = 工作效率 × 工作时间。 1. 利润销售问题 · 利润 = 售价 - 进价 · 利润率 · 售价 = 标价 × 折扣 1. 配套问题：按配套比例找等量关系。 1. 数字问题：两位数 十位数字 个位数字。 1. 积分问题：总积分 = 答对得分 - 答错扣分。 1. 方案选择问题：分别算出不同方案结果，对比选出最优。 易错点1 利用一元一次方程的定义求参数 易错提醒 易错点总结 1. 只关注未知数的次数为 1，忽略一次项系数不等于0的关键条件； 2. 求出参数候选值后不检验，产生错误解； 3. 审题不清混淆一元一次方程、整式的条件。 注意事项总结 一元一次方程两个必备条件：未知数最高次数为 1，一次项系数 ≠0。 1. 先根据次数算出参数，再代入一次项系数进行检验，舍去使系数为0的取值。 2. 仔细读题，区分是方程还是整式，条件不一样。 【对点训练】1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据题意得，，由此计算m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 易错点2 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 易错提醒 易错点总结 1. 将解代入方程时符号处理出错； 2. 一味求出参数，不会使用整体代入简化计算； 3. 参数求出后，往代数式代换时计算失误。 注意事项总结 1. 方程的解代入原方程：等式成立，代入负数、分数时注意添加括号。 2. 优先观察是否可以整体代入求代数式的值，不必强行解出参数。 3. 得到参数后回代验算，确认等式成立。 【对点训练】2．若关于x的方程的解为，则 _______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程解的定义将代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴， ∴． 易错点3 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 易错提醒 易错点总结 1. 整理方程得到未知数表达式后，因数分析不全，漏掉负因数； 2. 忽略分母不能为0； 3. 求出参数后不验证解是否为整数。 注意事项总结 1. 将方程整理为标准形式：把方程整理为 ax=b 的形式，把未知数用含参数的式子表示。 2. 解为整数，分子要能被分母整除，正负因数全部列举出来。 3. 排除使分母等于0的参数；求出参数后带回原式检验解是否为整数。 【对点训练】3．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ______． 【答案】，，， 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 易错点4 一次方程的实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 审题抓不准等量关系，列方程错误； 2. 单位不统一直接列式； 3. 解出未知数忽略实际意义，出现负数、小数不符合现实的解； 4. 答句遗漏对应问题。 注意事项总结 1. 读题标记关键量：找准题目中的等量关系再列方程。 2. 统一单位后再计算。 3. 求出结果必须检验是否符合实际情境，舍去不符合题意的解。 4. 答题要对应题目所求量，不要直接写未知数的值。 【对点训练】4．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答， （2）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列方程求解，即可作答． 【详解】解：（1）用水量在第二档范围内（）， ∴水费为（元）， 故该户水费为元， 故答案为：1040． （2）水费元， 先判断档位：第一档最大水费元， 第二档最大水费元，由于，故属第三档， 第三档水费公式为， 解得， 故用水量为． 故答案为：290． 易错点5 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用常规运算规则，不按照题目给出的新定义运算； 2. 分不清定义中前后两个对应数； 3. 列等式时漏括号，列出错误方程。 注意事项总结 1. 严格按照题目给出的运算规则计算：不自己更改运算法则。 2. 分清新定义里第一个数、第二个数分别对应题中哪个量。 3. 根据题意转化为一元一次方程求解，做完代入新定义验算。 【对点训练】5．定义☆运算，观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 特别地，和任何数进行☆运算，或任何数和进行☆运算，________________． (2)计算：______． (3)若，求的值． 【答案】(1)取正号；取负号；相加；等于非零那个数的绝对值 (2)33 (3)3或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）观察上述计算，归纳☆运算的法则即可； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号取正号，异号取负号，并把绝对值相加， 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于非零那个数的绝对值； 故答案为；取正号；取负号；相加；等于非零那个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：①当时，左边，右边，左边右边，所以； ②当时，， 解得，符合题意； ③当时，， 解得，符合题意， 综上所述，a为3或． 易错点6 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 易错提醒 易错点总结 1. 不能把陌生的新定义条件转化成普通方程； 2. 忽略题目附加的取值、整数等限制条件； 3. 解完直接写答案，不判断解是否满足新定义约束。 注意事项总结 1. 读懂新定义：把题目文字条件转化为标准等式。 2. 留意题目附加限制条件，如取值范围、整数要求。 3. 化为一元一次方程求解后，把解带回新定义条件检验，舍去不符合条件的解。 【对点训练】6．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）将“对立方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴． 故答案为：1． （2）解：将写成的形式， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴， 解得：． （3）解：关于的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， 解得：或． 一、单选题 1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程概念的应用，根据一元一次方程的定义，需满足未知数的最高次数为1且一次项系数不为0，据此列条件求解m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 2．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 3．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 4．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程及根据解的性质反推参数的取值．关键在于正确解方程，理解“非负整数解”的含义，结合分数形式分析分母与分子的关系，找出满足条件的整数，并验证每个解是否符合条件．最终求和得出结果． 【详解】解： 题目要求是非负整数，即且为整数． ，且为整数． ∴是的负因数，即或或， 解得或或， 所以的可能取值为： 整数的所有可能的取值的和为： 故选：A 5．已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 二、填空题 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题考查换元法解方程，通过变量替换求解一元一次方程，将原方程变形后利用解的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， 令 ，则方程化为， ∵原方程解为， ∴，即方程的解为， ∵与上述方程同解， ∴其解为； 故答案为： 7．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，满足．若，则有理数x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义的运算规则，对进行分类讨论：当时，方程为；当时，方程为．分别求解并验证条件，得到符合条件的值即可． 【详解】解：由定义，， 当时，， 解得，满足； 当时，， 解得，但，不满足，故舍去， 故答案为：． 8．若有理数与分别对应数轴上的点与点，则为点与点的距离．我们定义：为点与点之间的三等分距离，记作．例如：数轴上表示与3的点之间的三等分距离是．（1）数轴上表示2与4的点之间的三等分距离______；（2）若是的2倍，则的值为______． 【答案】 3或 【分析】本题主要考查了新定义运算，绝对值方程，绝对值意义． （1）根据三等分距离的定义进行求解即可； （2）根据是的2倍，得出，分类讨论求出或，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示2与4的点之间的三等分距离为： ； 故答案为：； （2）∵是的2倍， ∴， 整理得：， 当时，，解得：； 当时，，解得，不符合的条件，故此种情况无解； 当时，，解得：； 当时，； 当时，． 故答案为：3或． 9．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是多项式的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、绝对值方程的求解，关键是先根据多项式系数、负整数定义、单项式次数的相关知识确定点、所表示的数，再设出点的坐标，利用距离关系建立方程求解． 【详解】解：∵多项式的一次项系数为，一次项是， ； ∵是最大的负整数， ； ∵单项式的次数为， ； 设点表示的数为，则，； 根据题意，可得； 解，解得， 解，解得， 综上，点表示的数是或； 故答案为：或． 10．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 三、解答题 11．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． 12．在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一同学给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下： 一元一次方程：同学：同学：同学：同学：同学：． (1)任务一： 填空：①A同学计算的依据是 ； ②计算出现了错误的同学有 ． (2)任务二：请直接写出本题的正确结果． 解： ． 【答案】(1) ①等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立）；②A同学、C同学 (2) 【详解】（1）解：①A同学对原方程两边同时乘4去分母，该操作的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； ②原方程为， 去分母时方程每一项都要乘最小公倍数4，正确结果应为， A同学的结果中常数项漏乘4，计算错误； 对A同学的式子去括号可得，B同学计算正确； 对B同学的结果移项时，左边的移到右边需要变为，正确结果应为，C同学的结果中没有变号，计算错误， 因此计算出错的同学是A同学和C同学； （2）解： 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 13．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 14．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 【答案】(1)“分” (2) (3)“整” 【分析】本题考查解一元一次方程、“整m”方程和“分m”方程的定义，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确理解“整m”方程和“分m”方程的新定义是解题的关键． （1）解方程得，根据题意给出的新定义得出方程是“分”方程； （2）把代入方程得：，解出的值即可； （3）根据题意得到，根据方程化简得到，据此得到方程的解为，据此解答即可． 【详解】（1）解：解方程得，不是整数， 则方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：根据题意得：方程是“整”方程， 把代入方程得：， 解得； （3）解：根据题意得：关于的方程是“分”方程， 则将代入方程得：， 即， 根据方程得：， 即， 将代入上式得： 解得， 因此方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 15．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 知识点一 一元一次方程的概念 1. 方程：含有_______的______。 1. 一元一次方程定义：只含有______未知数（未知数的次数都是1），等号两边都是整式的方程。 1. 三个条件（缺一不可） ① 只含______未知数； ② 未知数最高次数为______； ③ ______不含未知数（整式方程）。 1. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 1. 解方程：求方程解的过程。 知识点二 等式的基本性质 性质1：等式两边同时______（或______）同一个数（或式子），结果仍相等。 若 ，则 __________________。 性质2：等式两边同时______同一个数，或除以同一个不为______的数，结果仍相等。 若 ，则 __________________； 若 且 ，则 __________________。 ⚠ 易错提醒：两边做除法时，除数不能为0；等式变形必须两边同时操作，不能只改一边。 知识点三 一元一次方程的解法 一般步骤：____________ → ____________ →______ → ____________ → 系数化为1 1. 去分母：等式两边同乘所有分母的____________；每一项都要乘，不含分母项不能漏乘。 1. 去括号：括号前是负号，括号内各项全部____________；运用乘法分配律。 1. 移项：把某一项改变符号，从等式一边移到另一边；移项必变号，不移不变号。 1. 合并同类项：将方程化为 形式。 1. 系数化为1：两边同时除以未知数系数 ，得 。 检验：把求得的 代入原方程左右两边，看两边是否相等。 知识点四 一元一次方程的应用解题思路 1. 审题：读懂题意，找出已知量、未知量。 1. 设未知数：直接设（问什么设什么）、间接设。 1. 找等量关系（核心）：题目中的相等语句，列出等式。 1. 列一元一次方程。 1. 解方程。 1. 检验：① 检验方程解；② 检验结果是否符合实际意义。 1. 写出答。 知识点五 实际问题常见类型 1. 和差倍分问题：抓关键词：多、少、几倍、几分之几。 1. 行程问题 · 基本公式：路程 = ____________ × ____________ · 相遇：路程和 = 总路程 · 追及：路程差 = 初始距离 1. 工程问题：总工作量一般看作1；工作量 = 工作效率 × 工作时间。 1. 利润销售问题 · 利润 = ____________ - ____________ · 利润率 · 售价 = 标价 × 折扣 1. 配套问题：按配套比例找等量关系。 1. 数字问题：两位数 十位数字 个位数字。 1. 积分问题：总积分 = 答对得分 - 答错扣分。 1. 方案选择问题：分别算出不同方案结果，对比选出最优。 易错点1 利用一元一次方程的定义求参数 易错提醒 易错点总结 1. 只关注未知数的次数为 1，忽略一次项系数不等于0的关键条件； 2. 求出参数候选值后不检验，产生错误解； 3. 审题不清混淆一元一次方程、整式的条件。 注意事项总结 一元一次方程两个必备条件：未知数最高次数为 1，一次项系数 ≠0。 1. 先根据次数算出参数，再代入一次项系数进行检验，舍去使系数为0的取值。 2. 仔细读题，区分是方程还是整式，条件不一样。 【对点训练】1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为__________． 易错点2 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 易错提醒 易错点总结 1. 将解代入方程时符号处理出错； 2. 一味求出参数，不会使用整体代入简化计算； 3. 参数求出后，往代数式代换时计算失误。 注意事项总结 1. 方程的解代入原方程：等式成立，代入负数、分数时注意添加括号。 2. 优先观察是否可以整体代入求代数式的值，不必强行解出参数。 3. 得到参数后回代验算，确认等式成立。 【对点训练】2．若关于x的方程的解为，则 _______． 易错点3 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 易错提醒 易错点总结 1. 整理方程得到未知数表达式后，因数分析不全，漏掉负因数； 2. 忽略分母不能为0； 3. 求出参数后不验证解是否为整数。 注意事项总结 1. 将方程整理为标准形式：把方程整理为 ax=b 的形式，把未知数用含参数的式子表示。 2. 解为整数，分子要能被分母整除，正负因数全部列举出来。 3. 排除使分母等于0的参数；求出参数后带回原式检验解是否为整数。 【对点训练】3．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ______． 易错点4 一次方程的实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 审题抓不准等量关系，列方程错误； 2. 单位不统一直接列式； 3. 解出未知数忽略实际意义，出现负数、小数不符合现实的解； 4. 答句遗漏对应问题。 注意事项总结 1. 读题标记关键量：找准题目中的等量关系再列方程。 2. 统一单位后再计算。 3. 求出结果必须检验是否符合实际情境，舍去不符合题意的解。 4. 答题要对应题目所求量，不要直接写未知数的值。 【对点训练】4．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 易错点5 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用常规运算规则，不按照题目给出的新定义运算； 2. 分不清定义中前后两个对应数； 3. 列等式时漏括号，列出错误方程。 注意事项总结 1. 严格按照题目给出的运算规则计算：不自己更改运算法则。 2. 分清新定义里第一个数、第二个数分别对应题中哪个量。 3. 根据题意转化为一元一次方程求解，做完代入新定义验算。 【对点训练】5．定义☆运算，观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 特别地，和任何数进行☆运算，或任何数和进行☆运算，________________． (2)计算：______． (3)若，求的值． 易错点6 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 易错提醒 易错点总结 1. 不能把陌生的新定义条件转化成普通方程； 2. 忽略题目附加的取值、整数等限制条件； 3. 解完直接写答案，不判断解是否满足新定义约束。 注意事项总结 1. 读懂新定义：把题目文字条件转化为标准等式。 2. 留意题目附加限制条件，如取值范围、整数要求。 3. 化为一元一次方程求解后，把解带回新定义条件检验，舍去不符合条件的解。 【对点训练】6．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 一、单选题 1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 2．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 3．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 4．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为____________． 7．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，满足．若，则有理数x的值为_______． 8．若有理数与分别对应数轴上的点与点，则为点与点的距离．我们定义：为点与点之间的三等分距离，记作．例如：数轴上表示与3的点之间的三等分距离是．（1）数轴上表示2与4的点之间的三等分距离______；（2）若是的2倍，则的值为______． 9．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是多项式的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是_____． 10．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 三、解答题 11．解下列方程： (1)． (2)． 12．在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一同学给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下： 一元一次方程：同学：同学：同学：同学：同学：． (1)任务一： 填空：①A同学计算的依据是 ； ②计算出现了错误的同学有 ． (2)任务二：请直接写出本题的正确结果． 解： ． 13．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 14．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 15．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $