第一章 丰富的图形世界（七大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“丰富的图形世界”核心内容，涵盖几何体分类、顶点棱面数量关系、点线面体关系、三视图、展开图及截面六大知识范畴，搭建从概念辨析到规律应用再到实践操作的递进式学习支架。 清单以“知识点梳理+易错点警示+对点训练”三维架构呈现知识体系，如正方体展开图总结11种有效形式并标注“田字凹字禁型”，用“Z字形两端为对面”口诀强化记忆，培养空间观念。设计欧拉公式验算、三视图“俯视图定位置”等实用工具，帮助学生发展几何直观，教师可据此精准设计教学，提升复习效率。

第一章 丰富的图形世界 知识点一 常见几何体的分类 1. 按柱、锥、球划分 柱体包含棱柱、圆柱；锥体包含棱锥、圆锥；球体单独一类。 棱柱所有侧棱平行且相等，侧面都是平行四边形；圆柱上下底面是全等圆形，侧面是曲面。 棱锥只有一个底面，侧面为三角形，共一个公共顶点；圆锥底面圆形，侧面曲面。 1. 按平面、曲面划分 棱柱、棱锥所有面都是平面，称为多面体；圆柱、圆锥、球含有曲面。 1. 旋转体 长方形绕一边旋转得圆柱；直角三角形绕直角边旋转得圆锥；半圆绕直径旋转得球。 知识点二 棱柱与棱锥顶点、棱、面数量关系 1. n 棱柱：底面为 n 条边的多边形 面数 ，顶点 ，棱 ； 例：四棱柱 ，6 个面，8 个顶点，12 条棱。 1. n 棱锥：底面为 n 边形 面数 ，顶点 ，棱 ； 例：四棱锥 ，5 个面，5 个顶点，8 条棱。 1. 欧拉公式 适用于所有简单多面体，顶点数 + 面数 − 棱数 = 2，可验算数量是否正确。 知识点三 点、线、面、体的关系 1. 静态构成 几何体（体）由面围成；面和面相交形成线；线和线相交形成点。 1. 动态变化 点运动形成线，线运动形成平面或曲面，平面/曲面旋转平移形成立体图形。 1. 实例 车轮旋转成圆面、旋转门长方形旋转成圆柱。 知识点四 从不同方向看几何体（三视图） 1. 视图定义 主、左、俯三个视图，分别对应正面、左面、上面观察。 1. 画图规范 长对正（主、俯长相等），高平齐（主、左高相等），宽相等（左、俯宽相等）；看不到的棱用虚线绘制。 1. 常考题型 堆积小正方体画三视图；已知三视图反推小正方体总个数。 知识点五 正方体的展开图 1. 展开形式 总计 11 种有效展开形式，四类固定结构，熟记一四一为最常见类型。 1. 排除型 田字、凹字结构一定不能折成正方体。 1. 相对面判断 同行隔一个、异行隔一列、Z 字形两端为对面，折叠后不相邻。 知识点六 常见几何体的展开图 1. 棱柱与棱锥 棱柱：两个相同多边形 + 平行四边形侧面；棱锥：一个多边形 + 多个三角形。 1. 圆柱与圆锥 圆柱侧面展开长方形，一边长等于底面圆周长；圆锥侧面扇形，弧长等于底面圆周长。 1. 球体 球体无平面展开图，不能剪开平铺成平面。 知识点七 几何体的截面 1. 决定因素 截面形状由平面截取角度、相交面数量决定。 1. 正方体截面 最多六边形，只能截出锐角三角形，不存在直角、钝角三角形。 1. 其他几何体 球体任意截取截面都是圆；竖直截圆柱、圆锥可得矩形、等腰三角形。 1. 核心规律 平面与几个面相交，截面就是几边形。 易错点1 混淆点与棱、面的从属关系 易错提醒 易错点总结 1. 分不清几何构成逻辑：记错“面交成线、线交成点”的基本关系。 2. 记错棱柱、棱锥的顶点、棱、面数量公式，乱用数据。 3. 混淆侧棱与总棱、侧面与总面，算题时常少算、多算。 4. 不会使用欧拉公式检验，数量算错不自知。 注意事项总结 1. 牢记层级关系：点组成线、线组成面、面组成体；面与面相交得棱，棱与棱相交得顶点。 2. 熟记公式：n 棱柱（面 n+2、顶点 2n、棱 3n）；n 棱锥（面 n+1、顶点 n+1、棱 2n）。 3. 区分概念：侧棱 ≠ 总棱，侧面 ≠ 所有面。 4. 数量题做完可用欧拉公式：顶点数 + 面数 - 棱数 =2 快速验算。 【对点训练】1．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 易错点2 根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 易错提醒 易错点总结 1. 只看俯视图、主视图，忽略后排、下层隐藏正方体，总数算少。 2. 只会算最多个数、不会算最少个数，漏讨论遮挡部分。 3. 分不清看得见、看不见的方块，多层堆叠容易漏层、漏列。 注意事项总结 1. 万能做题顺序：俯视图定位置、主视图定层数、左视图补隐藏。 2. 求最少个数：能叠则只叠最高，空位尽量不补。 3. 求最多个数：每一列全部堆满最高层数。 4. 遮挡位置一定存在隐藏立方体，不可直接省略。 【对点训练】2．一个几何体由几个棱长均为的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数． (1)请在图2的方格纸中画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图． (2)根据从三个方向看到的几何体的形状图，请你计算该几何体的表面积（包含底面）． (3)若小正方体的总数不变，从上面看到的几何体的形状图不变，几何体各位置的小正方体的个数可以改变，求搭成这样的几何体的最大表面积（包含底面）． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，解题的关键是掌握不同方向看几何体． （1）根据不同方向看几何体的方法画出图形即可； （2）判断出表面小正方形的个数可得结论； （3）先确定要使表面积最大，只需第二和第三层的小正方体侧面不重叠，画出表面积最大时从上面看到的平面图的情形，可得结论． 【详解】（1）解：根据题意画图如下： （2）解：该几何体的表面积， 答：该几何体的表面积为； （3）解：由从上面看到的几何体的形状图不变， 所以各个小正方体上下表面积计算时不变，且第一层的小正方体不能动， 要使表面积最大，则只需第二和第三层的小正方体侧面不重叠， 可得表面积最大时的一种情况，如图所示： 此时这个几何体的表面积． 故搭成这样的几何体的最大表面积为． 易错点3 几何体展开图问题 易错提醒 易错点总结 1. 正方体展开图误判：把“田字形、凹字形、长条形四连以上叠块”当成可折叠图形。 2. 找相对面出错，分不清相邻面、相对面。 3. 混淆圆柱、圆锥展开图：记错圆锥侧面是扇形、不是圆；记错圆柱侧面边长对应关系。 4. 球体误以为有平面展开图。 注意事项总结 1. 正方体禁型：田字、凹字、超长连排、拐角叠块一律不能围成正方体。 2. 相对面口诀：同行隔一个、异行隔一列、Z 字两端是对面。 3. 圆柱展开：两个圆 + 长方形（长 = 底面周长）。 4. 圆锥展开：一个圆 + 扇形（扇形弧长 = 底面圆周长）；球体无展开图。 【对点训练】3．张超在学习正方体展开图，将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，然后将各面向外展开，那么展开后的图是（    ）（单位：厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力、分析判断能力和空间想象能力． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：沿题图剪开，展开后的图是 故选：C． 易错点4 几何体截面问题 易错提醒 易错点总结 1. 误以为正方体可以截出直角三角形、钝角三角形（实际绝对截不出）。 2. 乱猜截面边数，不知道“相交几个面就是几边形”。 3. 圆柱、圆锥截面混淆，分不清圆、椭圆、矩形、三角形。 4. 忘记球体截面永远是圆。 注意事项总结 1. 正方体截面铁律：只能截锐角三角形，无直角、无钝角三角形，最多六边形。 2. 截面规律：平面与几何体几个面相交，截面就是几边形。 3. 圆柱：横截圆、竖截矩形、斜截椭圆。 4. 圆锥：横截圆、竖截等腰三角形、斜截椭圆。 5. 球体：任意截取，截面一定是圆。 【对点训练】4．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 一、单选题 1．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 【答案】A 【分析】根据立体图形可知两个长方体左右摆放，左矮右高，结合图的形状特征进行判断即可. 【详解】解：由前两个图形可知，该几何体由两个左右并排的长方体组成，且左矮右高， 若从左面看，能看到左边矮长方体的侧面，且右边高长方体高出部分可见，组合起来为一个矩形中间有一条横线，A选项符合题意； 若从右面看，视线被右边高长方体遮挡，只能看到一个矩形，B选项不符合题意； 若从上面看，应看到左右两个矩形，C选项不符合题意； 若从后面看，应看到右边高、左边矮的图形，D选项不符合题意． 2．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 3．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 4．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 5．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 二、填空题 6．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 7．如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 【答案】想 【分析】本题主要考查了正方体的相对两个面上的字， 先将展开图折叠成正方体，再确定各相对面上的字，即可得出答案． 【详解】解：将展开图折叠为正方体上面的字是“追”，下面的字是“梦”，前面的字是“想”，后面的字是“勇”，左面的字是“敢”，右面的字是“逐”， 所以与“勇”相对的字是“想”． 故答案为：想． 8．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为，，，，，或，，，，，，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为，，，，，或，，，，，； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，（7与10相邻，不合题意，舍去） ，， 故可能为，，，，，，其和为． 故答案为：． 9．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 10．把正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，每种颜色对应的分值各不相同，各面上的颜色和对应的价值如表所示：将上述大小相等，颜色和对应价值分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面价值______分． 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 分值 1 2 3 4 5 6 【答案】17 【分析】本题主要考查正方体的面的关系，以及通过已知条件推理出相对面，熟练掌握以上知识点是做题的关键．由图中显示的规律，可分别求出各个正方体下底面的颜色，再计算即可． 【详解】解：由题意可得，红色相邻的面有黄、白、蓝、紫，故红色相对的面为绿色；黄色相邻的面有红、蓝、白，且红色相对的面为绿色，故黄色相对的面为紫色；剩下白色相对的面为蓝色， 由此规律可知，右二的正方体的下底面为绿色，右三的正方体下底面为黄色，左一的正方体下底面为紫色，右一的正方体下底面为白色， 则长方体的下底面价值为（分）． 故答案为：17． 三、解答题 11．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 【答案】（1）①③（2）见解析，周长为 【分析】（1）根据有盖长方体纸盒的面数和构成求解即可； （2）要使外围周长最小，则尽量从棱长较小的边剪开，将棱长较大的边尽量多的保留在展开图内部参考图1的展开图样式，长方体的每个展开图中均有五条棱保留在内部，因此设计将边长为的棱保留3条，边长为的棱保留2条在展开图内部，此时外围周长最小，据此画图求解即可． 【详解】解：（1）能通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①③． （2）如图所示， 最小周长为cm． 12．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 13．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】(1)② (2)①2000，②1000 (3)70cm，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、长方体的体积计算及长方体表面展开图的外周长计算． （1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据正方体的表面展开图得出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； ②根据折叠的方法求出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； （3）画出它的表面展开图，尽可能沿着棱长为的棱剪开，棱长为的棱不剪开． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②． （2）解：①按照图1的方式折叠可得到底是边长为的正方形，高为的长方体，即底面边长为，高为， ∴体积为， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为，宽为，高为的长方体， ∴体积为， 故答案为：1000． （3）解：将一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该展开图的最大外围周长如图所示： ∴最大周长为， 即这个展开图的最大周长为． 14．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 15．综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 【答案】（1）①③；（2）①40；②294； （3）利用边长为的正方形纸板，按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒．图3的体积为，图4的体积为： 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①③， 故答案为：①③； （2）①图2中的正方体的底面是边长为的正方形， 因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图3中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）图3的体积为： ， 图4的体积为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界 知识点一 常见几何体的分类 1. 按柱、锥、球划分 柱体包含_______、_______；锥体包含_______、_______；球体单独一类。 棱柱所有侧棱_______且_______，侧面都是_______；圆柱上下底面是全等_______，侧面是_______。 棱锥只有一个_______，侧面为_______，共一个公共顶点；圆锥底面_______，侧面_______。 1. 按平面、曲面划分 棱柱、棱锥所有面都是平面，称为多面体；圆柱、圆锥、球含有曲面。 1. 旋转体 长方形绕一边旋转得_______；直角三角形绕直角边旋转得_______；半圆绕直径旋转得_______。 知识点二 棱柱与棱锥顶点、棱、面数量关系 1. n 棱柱：底面为 n 条边的多边形 面数_______，顶点 _______，棱 _______； 例：四棱柱 ，6 个面，8 个顶点，12 条棱。 1. n 棱锥：底面为 n 边形 面数_______，顶点_______，棱 _______； 例：四棱锥 ，5 个面，5 个顶点，8 条棱。 1. 欧拉公式 适用于所有简单多面体，顶点数 + 面数 − 棱数 = 2，可验算数量是否正确。 知识点三 点、线、面、体的关系 1. 静态构成 几何体（体）由面围成；面和面相交形成线；线和线相交形成点。 1. 动态变化 点运动形成_______，线运动形成_______或_______，平面/曲面旋转平移形成_______。 1. 实例 车轮旋转成圆面、旋转门长方形旋转成圆柱。 知识点四 从不同方向看几何体（三视图） 1. 视图定义 主、左、俯三个视图，分别对应_______、_______、_______观察。 1. 画图规范 长对正（主、俯长相等），高平齐（主、左高相等），宽相等（左、俯宽相等）；看不到的棱用虚线绘制。 1. 常考题型 堆积小正方体画三视图；已知三视图反推小正方体总个数。 知识点五 正方体的展开图 1. 展开形式 总计 11 种有效展开形式，四类固定结构，熟记一四一为最常见类型。 1. 排除型 田字、凹字结构一定不能折成正方体。 1. 相对面判断 同行隔一个、异行隔一列、Z 字形两端为对面，折叠后不相邻。 知识点六 常见几何体的展开图 1. 棱柱与棱锥 棱柱：两个相同多边形 + _______侧面；棱锥：一个多边形 + 多个三角形。 1. 圆柱与圆锥 圆柱侧面展开_______，一边长等于底面圆周长；圆锥侧面_______，弧长等于底面圆周长。 1. 球体 球体无平面展开图，不能剪开平铺成平面。 知识点七 几何体的截面 1. 决定因素 截面形状由平面截取角度、相交面数量决定。 1. 正方体截面 最多六边形，只能截出锐角三角形，不存在直角、钝角三角形。 1. 其他几何体 球体任意截取截面都是_______；竖直截圆柱、圆锥可得_______、_______。 1. 核心规律 平面与几个面相交，截面就是几边形。 易错点1 混淆点与棱、面的从属关系 易错提醒 易错点总结 1. 分不清几何构成逻辑：记错“面交成线、线交成点”的基本关系。 2. 记错棱柱、棱锥的顶点、棱、面数量公式，乱用数据。 3. 混淆侧棱与总棱、侧面与总面，算题时常少算、多算。 4. 不会使用欧拉公式检验，数量算错不自知。 注意事项总结 1. 牢记层级关系：点组成线、线组成面、面组成体；面与面相交得棱，棱与棱相交得顶点。 2. 熟记公式：n 棱柱（面 n+2、顶点 2n、棱 3n）；n 棱锥（面 n+1、顶点 n+1、棱 2n）。 3. 区分概念：侧棱 ≠ 总棱，侧面 ≠ 所有面。 4. 数量题做完可用欧拉公式：顶点数 + 面数 - 棱数 =2 快速验算。 【对点训练】1．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 易错点2 根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 易错提醒 易错点总结 1. 只看俯视图、主视图，忽略后排、下层隐藏正方体，总数算少。 2. 只会算最多个数、不会算最少个数，漏讨论遮挡部分。 3. 分不清看得见、看不见的方块，多层堆叠容易漏层、漏列。 注意事项总结 1. 万能做题顺序：俯视图定位置、主视图定层数、左视图补隐藏。 2. 求最少个数：能叠则只叠最高，空位尽量不补。 3. 求最多个数：每一列全部堆满最高层数。 4. 遮挡位置一定存在隐藏立方体，不可直接省略。 【对点训练】2．一个几何体由几个棱长均为的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数． (1)请在图2的方格纸中画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图． (2)根据从三个方向看到的几何体的形状图，请你计算该几何体的表面积（包含底面）． (3)若小正方体的总数不变，从上面看到的几何体的形状图不变，几何体各位置的小正方体的个数可以改变，求搭成这样的几何体的最大表面积（包含底面）． 易错点3 几何体展开图问题 易错提醒 易错点总结 1. 正方体展开图误判：把“田字形、凹字形、长条形四连以上叠块”当成可折叠图形。 2. 找相对面出错，分不清相邻面、相对面。 3. 混淆圆柱、圆锥展开图：记错圆锥侧面是扇形、不是圆；记错圆柱侧面边长对应关系。 4. 球体误以为有平面展开图。 注意事项总结 1. 正方体禁型：田字、凹字、超长连排、拐角叠块一律不能围成正方体。 2. 相对面口诀：同行隔一个、异行隔一列、Z 字两端是对面。 3. 圆柱展开：两个圆 + 长方形（长 = 底面周长）。 4. 圆锥展开：一个圆 + 扇形（扇形弧长 = 底面圆周长）；球体无展开图。 【对点训练】3．张超在学习正方体展开图，将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，然后将各面向外展开，那么展开后的图是（    ）（单位：厘米） A． B． C． D． 易错点4 几何体截面问题 易错提醒 易错点总结 1. 误以为正方体可以截出直角三角形、钝角三角形（实际绝对截不出）。 2. 乱猜截面边数，不知道“相交几个面就是几边形”。 3. 圆柱、圆锥截面混淆，分不清圆、椭圆、矩形、三角形。 4. 忘记球体截面永远是圆。 注意事项总结 1. 正方体截面铁律：只能截锐角三角形，无直角、无钝角三角形，最多六边形。 2. 截面规律：平面与几何体几个面相交，截面就是几边形。 3. 圆柱：横截圆、竖截矩形、斜截椭圆。 4. 圆锥：横截圆、竖截等腰三角形、斜截椭圆。 5. 球体：任意截取，截面一定是圆。 【对点训练】4．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 一、单选题 1．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 2．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 3．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 4．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 5．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 7．如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 8．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 9．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 10．把正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，每种颜色对应的分值各不相同，各面上的颜色和对应的价值如表所示：将上述大小相等，颜色和对应价值分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面价值______分． 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 分值 1 2 3 4 5 6 三、解答题 11．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 12．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 13．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 14．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 15．综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $