第四章 基本平面图形（四大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“基本平面图形”单元内容，涵盖线段射线直线、角、多边形及正多边形、圆及扇形四大知识范畴，搭建了从概念定义到性质应用的递进式学习架构。 清单通过“易错点分类剖析+动态问题探究”构建知识体系，如将“线段角分类讨论多解问题”设为重点，结合旋转、动点实例培养几何直观与推理意识。特别设计“易错提醒+对点训练”模块，如“射线端点与延伸方向辨析”配有图形辨析题，帮助学生精准突破难点，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

第四章 基本平面图形 知识点一 线段、射线、直线 1. 定义与区别 · 直线：没有端点，向两方无限延伸，不可度量；表示：两个大写字母或一个小写字母。 · 射线：1个端点，向一方无限延伸，不可度量；表示：端点字母写在前。 · 线段：2个端点，不能延伸，可以度量长度；表示：两个端点大写字母或小写字母。 1. 基本事实 ① 两点确定一条直线； ② 两点之间线段最短。 1. 两点间距离 两点之间线段的长度叫两点的距离（注意：距离是数值，不是线段本身）。 1. 线段中点 把一条线段分成两条相等线段的点；若 是 中点，则 。 知识点二 角 1. 定义 ① 静态：有公共端点的两条射线组成的图形； ② 动态：一条射线绕端点旋转形成的图形。公共端点叫顶点，两条射线叫角的两边。 1. 表示方法 · 三个大写字母 · 一个大写字母（顶点唯一时） · 数字 · 希腊字母（如 ） 1. 单位换算 ，（度分秒为60进制）。 1. 角的分类 · 锐角： · 直角： · 钝角： · 平角： · 周角： 1. 角平分线 从角顶点出发，把角分成两个相等角的射线；若 平分 ，则 。 1. 钟面角 钟表一圈 ，时针每小时转 ，分针每分钟转 。 知识点三 多边形及正多边形 1. 多边形定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。 1. 相关概念 · 边：组成多边形的各条线段； · 顶点：相邻两边公共端点； · 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 · 边形从一个顶点可作 条对角线； · 边形对角线总条数：。 1. 内角和与外角 · 边形内角和公式：； · 任意多边形外角和恒等于 。 1. 正多边形 各边相等且各内角也相等的多边形。 注意：仅边相等 正多边形；仅角相等 正多边形，两者要同时满足。 知识点四 圆及扇形 1. 圆 平面上，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点形成的封闭曲线。固定端点叫圆心，线段长叫半径。 1. 相关概念 · 弧：圆上两点之间的部分； · 扇形：由一条弧和经过弧两个端点的两条半径组成的图形； · 圆心角：顶点在圆心的角。 1. 公式 ① 扇形面积：（ 为圆心角度数， 为半径） ② 弧长公式： 1. 性质 同一个圆中，扇形面积、弧长大小由圆心角大小决定。 易错点1 线段、射线、直线概念易错问题 易错提醒 易错点总结 混淆三者端点数量、延伸方向；射线容易看错端点，把不同端点的射线当成同一条射线；直线、射线不能度量长度，做题时误进行长度大小比较；数直线、射线、线段条数时漏数、重复计数。 注意事项总结 1. 直线：无端点，向两方无限延伸；射线：1个端点，向一端无限延伸；线段：2个端点，可以度量。 2. 判断两条射线是否为同一条，必须满足 端点相同、延伸方向相同 两个条件。 3. 直线、射线不存在长度，不能参与长短比较。 4. 数条数按照顺序标记点，逐个列举，避免漏数重数。 【对点训练】1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 易错点2 分类讨论求线段多解易错问题 易错提醒 易错点总结 题目没有给出图形，点的位置不确定，直接默认点在线段上，忽略点在线段延长线上的情况，只算一种结果，漏掉其中部分解。 注意事项总结 1. 无图题一定要优先考虑点在线段上、点在线段的延长线两种位置。 2. 每一种情况画出对应草图，结合线段和差列式计算。 3. 算出多组结果后，检验结果是否符合线段长度为正数，舍去不合理答案。 【对点训练】2．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 易错点3 分类讨论求角多解易错问题 易错提醒 易错点总结 没有给出图形，角内部、外部位置不确定，直接默认射线在角的内部，忽略射线在角外部的情形，丢失部分答案。 注意事项总结 1. 无图求角度，要分射线在角内部、射线在角外部两类讨论。 2. 每一类单独画图，利用角的和差运算求解。 3. 最终答案有多个，全部写出来，不要自行舍去符合题意的解。 【对点训练】3. 新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 易错点4 分类讨论求角中旋转多解易错问题 易错提醒 易错点总结 射线绕顶点旋转，没有考虑旋转一周过程中会出现多次满足条件的时刻，只计算第一次满足条件的解，漏掉后续旋转得到的解；角度超过360°不会做取模处理。 注意事项总结 1. 旋转问题注意区分顺时针、逆时针旋转方向。 2. 旋转过程中，重合、夹角为定值会出现多次，要把所有符合条件时刻全部找出。 3. 角度大于360°时减去360°转化为0–360°范围内角度。 4. 计算结束检验角度取值是否符合题目给定范围。 【对点训练】4．数学活动课上，小明将一副三角板（和）按如图①方式摆放在同一平面内，其中边都在直线上，，． (1)求图①中的度数； (2)将两块三角板由图①开始，同时绕点B以相同的速度开始旋转，按顺时针方向旋转，按逆时针方向旋转，如图②所示．在旋转过程中始终保持旋转角，． ①当平分时，求的度数； ②试探究：在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，②当在内部时，；当在内部，． 【分析】本题考查了与三角板有关的计算题，与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （2）①理解题意，作图，结合角平分线以及几何图形的角度关系进行列式计算，即可作答． ②理解题意，进行分类讨论且逐个情况作图，运用几何图形的角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，． ∴； （2）解：①依题意，∵平分，， ∴， ∴， 设运动时间为，每秒运动速度为 依题意，得， ∵， ∴， ∴， 解得， 即； ②设运动时间为，每秒运动速度为， ∴， 当在内部时，且在内部，如图所示： 则， 则， 当在内部时，且在内部时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 当在内部且在内部时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 当在内部时，如图所示： 则， 则， 综上：当在内部时，；当在内部，． 易错点5 线段上动点探究易错问题 易错提醒 易错点总结 动点没有区分运动方向，忽略动点运动到线段延长线上的情况；时间取值范围不加限制，算出时间为负数或者超出运动总时长的无效解；线段表达式书写错误，距离不加绝对值。 注意事项总结 1. 看清动点起点、运动方向、速度、运动总时间。 2. 两点之间距离需要用绝对值表示，避免漏绝对值导致符号出错。 3. 求出时间后，必须检验时间大于0，且不超过动点最大运动时间，舍去无效解。 4. 动点运动到线段外也要纳入讨论。 【对点训练】5．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 易错点6 角中旋转探究易错问题 易错提醒 易错点总结 旋转过程中不区分两条射线的前后位置关系，夹角计算直接用两角相减，不考虑大小反转；只算第一次达到条件，忽略旋转一周内其他解；求出时间不检验是否在运动时间范围内。 注意事项总结 1. 旋转夹角需要分两种情况：射线A在B前方、射线B在A前方。 2. 注意旋转周期，0~360°范围内找出全部满足条件的时间。 3. 解出时间之后，必须判断时间是否在题目规定运动区间，舍去负数、超出总时长的解。 4. 可以借助草图，标记不同时刻射线位置辅助分析。 【对点训练】6. 已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ； （2）解：∵从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒， ∵ 与第一次重合的时间为：； ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：； （3）解：旋转时，，， ， ， ． ． 一、单选题 1．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，设，，则，得到，进而得到，可判断A，由线段中点的意义和线段的和差可得，可判断B，由和可判断C，由和，可判断D，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：A、设，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， 又∵ ∴，故选项不符合题意； D、∵， 又∵， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 3．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 4．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键； 根据线段之间的关系求得，，从而得出规律，进而可以代入求值，即可求解． 【详解】解：∵，、分别是线段和的中点， ∴； ∵、分别是线段和的中点， ∴， 根据规律得到； ∴， 故选：B． 5．如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段的中点性质．根据已知得出，，结合图形得出，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题 6．如图，射线平分，射线平分，射线在内部，下列四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义以及角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案． 【详解】解：设，①正确； ，②正确； ③若，即， ∴，∴，③不正确； ④若，∴（1）， 又（2）， 将（1）式代入（2），得， ∴，④正确． 故答案为：①②④． 7．如图，点P在定长线段上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以/秒、/秒的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），且C、D运动到任一时刻，总有．如果在C、D运动过程中，M、N分别是的中点，运动时间t秒时，恰好有，那么此时的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和差倍分，线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．设，则，根据题意列方程可求得；设，则，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】解：设运动了t秒，则，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ， ，， ①当点在线段上时，， ， ， 解得：， ，， ； ②当点在线段的延长线上时，， ， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 8．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【答案】1或7 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 9．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是___________． 【答案】406 【分析】设，则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为，先得到三种分法中无同时重合情况，再看每两种分法重合情况，从而得出的内部射线总数量为条，即可得解． 【详解】解：设， 第1种是将分成10等份，中间有9条射线，每个小角度数为， 第2种是将分成12等份，中间有11条射线，每个小角度数为， 第3种是将分成15等份，中间有14条射线，每个小角度数为， 则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为， 若3种射线同时重合，则， 此时，除、外没有重合； 若第1种射线和第2种射线重合，则， 此时，即第1种第5条射线和第2种第6条射线重合，共重合1条射线； 若第1种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合4条射线； 若第2种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合2条射线； 则在的内部共有射线条， 所有这些射线连同､可组成的角的个数是． 10．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 三、解答题 11．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 12．如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1) 图形补充完整如图， ； (2)①， 理由：如图， ∵，由（1）得，， 设运动的时间为t秒， ∴，， ∴. ②或． 【分析】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出的长，进而求出运动时间，求出、的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴CA＝， 故答案为：； （2）解：①略 ②当时， ∵， ， ∴， ∴， ， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 当时， ∵， ， ∴， ∴， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 综上，的长是或． 13．【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， （1）先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据得出答案； （2）①，先表示出，再根据角平分线定义得，即可得出； ②由已知得，结合角平分线定义得，然后根据得出答案； ③先表示出，再根据角平分线定义得，然后根据得出答案 【详解】（1）解：， ． ∵分别平分和， ， ； （2）解：①若，其他条件不变， ， ， 分别平分和， ， ； ②若，其他条件不变， 分别平分和， ， ， ； ③通过①、②可以得到； 若其他条件不变， ， 分别平分和， ， ． 14．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 15．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【答案】(1)120 (2) 解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出的度数； （2）根据，判断出与之间满足什么等量关系即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 知识点一 线段、射线、直线 1. 定义与区别 · 直线：______端点，向两方无限延伸，______度量；表示：两个______字母或一个______字母。 · 射线：______端点，向一方无限延伸，______度量；表示：端点字母写在前。 · 线段：______端点，不能延伸，______度量长度；表示：两个端点大写字母或小写字母。 1. 基本事实 ① 两点确定一条____________； ② 两点之间____________最短。 1. 两点间距离 两点之间线段的____________叫两点的距离（注意：距离是数值，不是线段本身）。 1. 线段中点 把一条线段分成____________相等线段的点；若 是 中点，则 。 知识点二 角 1. 定义 ① 静态：有公共端点的两条____________线组成的图形； ② 动态：一条射线绕端点____________形成的图形。公共端点叫______，两条射线叫角的两边。 1. 表示方法 · 三个大写字母 · 一个大写字母（顶点唯一时） · 数字 · 希腊字母（如 ） 1. 单位换算 ，（度分秒为60进制）。 1. 角的分类 · 锐角：__________________ · 直角：__________________ · 钝角：__________________ · 平角：__________________ · 周角：__________________ 1. 角平分线 从角顶点出发，把角分成两个相等角的射线；若 平分 ，则 。 1. 钟面角 钟表一圈 ，时针每小时转 ，分针每分钟转 。 知识点三 多边形及正多边形 1. 多边形定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。 1. 相关概念 · 边：组成多边形的各条线段； · 顶点：相邻两边公共端点； · 对角线：连接多边形____________两个顶点的线段。 · 边形从一个顶点可作____________ 条对角线； · 边形对角线总条数：。 1. 内角和与外角 · 边形内角和公式：； · 任意多边形外角和恒等于 。 1. 正多边形 各边相等且各内角也相等的多边形。 注意：仅边相等 正多边形；仅角相等 正多边形，两者要同时满足。 知识点四 圆及扇形 1. 圆 平面上，一条线段绕固定端点____________一周，另一个端点形成的封闭曲线。固定端点叫____________，线段长叫____________。 1. 相关概念 · 弧：圆上两点之间的部分； · 扇形：由一条弧和经过弧两个端点的两条半径组成的图形； · 圆心角：顶点在圆心的角。 1. 公式 ① 扇形面积：（ 为圆心角度数， 为半径） ② 弧长公式： 1. 性质 同一个圆中，扇形面积、弧长大小由圆心角大小决定。 易错点1 线段、射线、直线概念易错问题 易错提醒 易错点总结 混淆三者端点数量、延伸方向；射线容易看错端点，把不同端点的射线当成同一条射线；直线、射线不能度量长度，做题时误进行长度大小比较；数直线、射线、线段条数时漏数、重复计数。 注意事项总结 1. 直线：无端点，向两方无限延伸；射线：1个端点，向一端无限延伸；线段：2个端点，可以度量。 2. 判断两条射线是否为同一条，必须满足 端点相同、延伸方向相同 两个条件。 3. 直线、射线不存在长度，不能参与长短比较。 4. 数条数按照顺序标记点，逐个列举，避免漏数重数。 【对点训练】1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 易错点2 分类讨论求线段多解易错问题 易错提醒 易错点总结 题目没有给出图形，点的位置不确定，直接默认点在线段上，忽略点在线段延长线上的情况，只算一种结果，漏掉其中部分解。 注意事项总结 1. 无图题一定要优先考虑点在线段上、点在线段的延长线两种位置。 2. 每一种情况画出对应草图，结合线段和差列式计算。 3. 算出多组结果后，检验结果是否符合线段长度为正数，舍去不合理答案。 【对点训练】2．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 易错点3 分类讨论求角多解易错问题 易错提醒 易错点总结 没有给出图形，角内部、外部位置不确定，直接默认射线在角的内部，忽略射线在角外部的情形，丢失部分答案。 注意事项总结 1. 无图求角度，要分射线在角内部、射线在角外部两类讨论。 2. 每一类单独画图，利用角的和差运算求解。 3. 最终答案有多个，全部写出来，不要自行舍去符合题意的解。 【对点训练】3. 新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 易错点4 分类讨论求角中旋转多解易错问题 易错提醒 易错点总结 射线绕顶点旋转，没有考虑旋转一周过程中会出现多次满足条件的时刻，只计算第一次满足条件的解，漏掉后续旋转得到的解；角度超过360°不会做取模处理。 注意事项总结 1. 旋转问题注意区分顺时针、逆时针旋转方向。 2. 旋转过程中，重合、夹角为定值会出现多次，要把所有符合条件时刻全部找出。 3. 角度大于360°时减去360°转化为0–360°范围内角度。 4. 计算结束检验角度取值是否符合题目给定范围。 【对点训练】4．数学活动课上，小明将一副三角板（和）按如图①方式摆放在同一平面内，其中边都在直线上，，． (1)求图①中的度数； (2)将两块三角板由图①开始，同时绕点B以相同的速度开始旋转，按顺时针方向旋转，按逆时针方向旋转，如图②所示．在旋转过程中始终保持旋转角，． ①当平分时，求的度数； ②试探究：在旋转过程中，与的数量关系． 易错点5 线段上动点探究易错问题 易错提醒 易错点总结 动点没有区分运动方向，忽略动点运动到线段延长线上的情况；时间取值范围不加限制，算出时间为负数或者超出运动总时长的无效解；线段表达式书写错误，距离不加绝对值。 注意事项总结 1. 看清动点起点、运动方向、速度、运动总时间。 2. 两点之间距离需要用绝对值表示，避免漏绝对值导致符号出错。 3. 求出时间后，必须检验时间大于0，且不超过动点最大运动时间，舍去无效解。 4. 动点运动到线段外也要纳入讨论。 【对点训练】5．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 易错点6 角中旋转探究易错问题 易错提醒 易错点总结 旋转过程中不区分两条射线的前后位置关系，夹角计算直接用两角相减，不考虑大小反转；只算第一次达到条件，忽略旋转一周内其他解；求出时间不检验是否在运动时间范围内。 注意事项总结 1. 旋转夹角需要分两种情况：射线A在B前方、射线B在A前方。 2. 注意旋转周期，0~360°范围内找出全部满足条件的时间。 3. 解出时间之后，必须判断时间是否在题目规定运动区间，舍去负数、超出总时长的解。 4. 可以借助草图，标记不同时刻射线位置辅助分析。 【对点训练】6. 已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 一、单选题 1．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 5．如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，射线平分，射线平分，射线在内部，下列四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是___________（填写序号）． 7．如图，点P在定长线段上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以/秒、/秒的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），且C、D运动到任一时刻，总有．如果在C、D运动过程中，M、N分别是的中点，运动时间t秒时，恰好有，那么此时的值是______． 8．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 9．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是___________． 10．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 三、解答题 11．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 12．如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 13．【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 14．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 15．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $