第二章 有理数及其运算（十四考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“有理数及其运算”全章内容，涵盖正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值、四则运算、乘方及混合运算、科学记数法等核心知识点，构建了从概念定义到运算规则再到实际应用的递进式学习支架。 清单采用“知识点梳理+易错点突破”双模块设计，通过“口诀铁律”（如“非负=正数+0”）、几何意义解析（如|x-a|表示数轴距离）等特色呈现知识体系，培养学生抽象能力与运算能力。配套“对点训练”和分层练习，助力学生精准突破难点，教师可据此设计针对性教学，提升课堂效率。

第二章 有理数及其运算 知识点一 正数和负数的定义 1. 正数：比 0 大的数，前面”+“可省略，如 ； 1. 负数：在正数前添加负号”“，小于 0，负号不能省略，如 ； 1. 0 特殊规定：既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； 1. 实际应用：用正负数表示一对具有相反意义的量，规定一方为正，另一方为负。 知识点二 有理数 1. 定义：整数和分数统称为有理数； 1. 分类方式 1（按定义） 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数；有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数； 1. 分类方式 2（按正负符号） 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）； 1. 注意：无限不循环小数（如 ）不能写成分数，不属于有理数。 知识点三 数轴 1. 三要素：原点（0 点）、正方向（一般向右）、统一单位长度，三者缺一不可； 1. 大小规律：数轴上右边的数永远大于左边的数； 1. 分布：原点右侧全部是正数，左侧全部是负数； 1. 用途：直观比较有理数大小、找相反数、理解绝对值几何含义。 知识点四 相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0； 1. 代数表达：任意数 的相反数是 ； 1. 几何意义：在数轴上，互为相反数的两点到原点距离相等，分居原点两侧； 1. 核心性质：若 互为相反数，则 。 知识点五 绝对值 1. 几何定义：数轴上表示数 的点与原点之间的距离，记作 ；距离不可能为负； 1. 分段化简规则 当 ，；当 ，；当 ，； 1. 重要性质：（绝对值非负性）；互为相反数两数绝对值相等； 1. 大小比较：两个负数比较，绝对值越大，数值本身越小。 知识点六 有理数加法法则 1. 同号相加：符号不变，绝对值相加； 1. 异号两数相加，绝对值不等：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； 1. 互为相反数的两数相加：和为 0； 1. 一个数加 0：结果仍为这个数。 知识点七 有理数加法运算律 1. 加法交换律：，交换加数位置，和不变； 1. 加法结合律：，改变相加顺序，和不变； 1. 简便计算常用组合：相反数结合凑 0、同分母分数结合、整数凑整、正负分开相加。 知识点八 有理数减法法则 1. 统一法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 1. 公式：； 1. 计算两步变形：减号变加号，减数变为它的相反数，再按加法运算。 知识点九 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 1. 任意数与 0 相乘：积等于 0； 1. 多个有理数相乘：先定符号，负因数个数偶数则积正，奇数则积负；式子中只要有一个 0，乘积直接为 0。 知识点十 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：； 1. 乘法结合律：； 1. 乘法分配律：，是去括号、简便运算最常用公式。 知识点十一 有理数除法 1. 倒数定义：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数；非零数 倒数为 ； 1. 除法转化法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数 ； 1. 直接相除符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除； 1. 0 除以任何不为 0 的数：结果都是 0。 知识点十二 有理数乘方 1. 概念： 个相同因数 相乘，记作 ； 是底数， 是指数，整体叫幂； 1. 符号判定 正数任意次乘方结果都是正数； 负数偶次幂为正，负数奇次幂为负； 0 的正整数次幂等于 0； 1. 易混区分： 表示 的相反数； 表示 个 相乘，二者符号常不同。 知识点十三 有理数混合运算 1. 优先级从高到低：乘方 → 乘除（同级，从左至右） → 加减（同级，从左至右）； 1. 括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号→中括号→大括号； 1. 计算技巧：灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算，减少通分、大数计算。 知识点十四 科学记数法与近似数 1. 科学记数法 标准形式：，满足 ， 为整数； ① 大数表示： 原数整数位数减 1； ② 小于 1 的小数： 为负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有 0 的个数。 2. 近似数 （1）区分准确数（完全精确）、近似数（四舍五入得到）； （2）精确度：精确到某一数位； （3）有效数字：从左边第一个不为 0 的数字开始，到末尾全部数字都是有效数字。 易错点1 带“非”字的有理数 易错提醒 易错点总结 1. 对非正数、非负数、非正整数、非负整数概念理解模糊，容易漏掉数字 0。 2. 误以为“非负数”就是正数、“非正数”就是负数，直接排除 0，导致答案不全。 3. 混淆整数与有理数范围，把小数、分数误归入整数范畴。 注意事项总结 1. 口诀铁律：非负 = 正数 + 0；非正 = 负数 + 0。 2. 非负整数 = 自然数（正整数+0）；非正整数 = 负整数+0。 3. 看到“非”字，第一时间必须优先考虑 0，0 是最大坑点。 【对点训练】1．把下列各数分别填入相应的集合里． 1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004． 非正数集合：{                     …}； 非负数集合：{                       }； 非正整数集合：{                   …}； 非负整数集合：{                     }； 非正有理数集合：{                 …}； 非负有理数集合：{                   }． 【答案】-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0， 0.618；－789，0，－2004；1，325， 0；-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0，0.618 【分析】根据有理数的分类分别进行填写即可． 【详解】解：非正数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}； 非负数集合：{1，，325，0， 0.618，…}； 非正整数集合：{－789，0，－2004…}； 非负整数集合：{1，325， 0，…}； 非正有理数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}； 非负有理数集合：{1，，325，0， 0.618，…}． 故答案为：-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0， 0.618；－789，0，－2004；1，325， 0；-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0，0.618 【点睛】此题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 易错点2 绝对值的几何意义 易错提醒 易错点总结 1. 只会代数计算，不会几何意义：|x-a| 表示数轴上两点距离，经常看不懂题型。 2. 解 |x|=a 只写一个正解，漏掉负数解。 3. 忽略绝对值非负性，出现 |a|<0 仍求解。 4. 多个绝对值化简，不分类讨论正负，直接去括号出错。 注意事项总结 1. 几何意义：|x-a| 数轴上 x 与 a 的距离，恒 ≥0。 2. 若 |x|=a(a>0)，则 x=±a，一定双解。 3. 绝对值式子一定非负，遇绝对值小于 0 直接无解。 4. 去绝对值先判正负：正直接去，负变相反数。 【对点训练】2．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 易错点3 数轴上的动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用含 t 的式子表示动点位置，左右移动符号写反。 2. 两点距离公式乱用，忘记大数减小数、加绝对值。 3. 相遇、追及问题列式错误，分不清同向、相向运动。 4. 漏分类：点在左、点在右两种情况，导致漏解。 注意事项总结 1. 动点万能公式：初始位置 ± 速度×时间（左减右加）。 2. 两点距离：|A-B|，必须带绝对值，避免符号出错。 3. 数轴动点题必须分类讨论：谁在左、谁在右。 4. 求出 t 后检验：必须符合运动时间范围，舍去不合理解。 【对点训练】3．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【答案】(1)，， (2)，， (3)5 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可． 【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 易错点4 含乘方的有理数的混合运算问题 易错提醒 易错点总结 1. 最大易错：混淆和，符号直接算反。 2. 运算顺序混乱：先算乘除后算乘方、先算加减后算乘除。 3. 负号、括号、底数范围看错，奇偶次幂符号判断错误。 4. 分数乘方、负数乘方习惯性漏括号，整题全错。 注意事项总结 1. 铁律区分： 2. 运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减，有括号先括号。 3. 负数偶次幂正、奇次幂负，严格先定符号，再算数值。 【对点训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 易错点5 有理数的混合运算中的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 不读题、不按新定义公式，直接套用常规四则运算。 2. 代入顺序错乱，新定义前后数字位置替换错误。 3. 多层新定义运算，不按从内到外顺序计算。 4. 忽略括号优先级，导致整体算式错误。 注意事项总结 1. 新定义题：先抄公式、再对号入座、最后代数运算。 2. 严格区分前后位置，新定义不满足交换律，不能乱换数字。 3. 多层运算：先算内层新定义，再算外层。 4. 绝不自创规则，一切以题目定义为准。 【对点训练】5．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)新运算不具有结合律；见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 易错点6 有理数的混合运算中规律探究问题 易错提醒 易错点总结 只看前几项表面规律，总结通项公式错误。 符号规律、数字规律分开找，容易漏符号、错位。 奇偶项规律不同，不分类，统一公式写错。 求第 n 项时代入数值错误，不会归纳符号模型。 注意事项总结 找规律两步走：先找数字规律、再找符号规律。 符号交替：用、统一表示。 奇偶项规律不一致，必须分类总结。 写出通项后，代回前 3 项验证，确认无误再使用。 【对点训练】6．观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 3．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二、填空题 4．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 5．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 学生从处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， 所以6名学生的校车行驶时间和为， 总时间和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小， 6．通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据昼长的计算规律，日出日落时刻与经纬度的关系，结合天安门广场升旗的实际规律，逐个判断各说法的正误即可． 【详解】① 一天中，正午时刻处于日出与日落的中间，日出到正午的时长等于正午到日落的时长，因此总白昼时长为（正午时刻日出时刻），说法正确． ② 北京天安门广场升旗时刻与日出时刻同步，夏至日出最早，升旗时刻最早约为，冬至日出最晚，升旗时刻最晚约为，符合实际规律，说法正确． ③ 北半球二十四节气体系下，夏至日太阳直射北回归线，同经度不同纬度的北半球地区，夏至白昼时长为一年最长，冬至日太阳直射南回归线，冬至白昼时长为一年最短，说法正确． ④ 白昼时长由纬度和太阳直射点位置决定，同纬度同一日期的白昼长度几乎一致，经度不影响白昼时长，仅影响日出日落的时刻，说法正确． ⑤ 越向东地方时越早，因此同一日期日出、日落的时刻都更早，说法正确． 7．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 【答案】 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选个，类别Ⅱ选个，满足，，得仅或两种情况，再结合特殊规则分别计算目标值． 【详解】解：整理已知：类别Ⅰ共个项目，积分分别为，，；类别Ⅱ共个项目，积分分别为，，，，，规则为：B与H不能同时选，C与D必须同时选或不选． （1）该同学已选B和C，因此类别Ⅰ已选个，即，得． ∵C已选， ∴D必须选，类别Ⅱ已确定选D，还需再选个类别Ⅱ项目． ∵B已选， ∴H不能选，剩余可选项目为E，F，G，要总积分最大，选积分最大的F，G． 总积分为：． （2）求积分差的最大值，即求最高总积分减去最低总积分． ①求最高总积分： 若，最大总积分为（第一问结果）； 若，要积分最大，选最高积分组合：选C，则必须选D，剩余个类别Ⅱ选积分最高的F，G，H， 总积分为：，比大， 因此最高总积分为． ②求最低总积分： 若，要积分最小，选类别Ⅰ积分最小的A,C， ∵C已选， ∴D必须选，剩余个类别Ⅱ选积分最小的E，F， 总积分为：； 若，总积分为，比大， 因此最低总积分为． ③积分差的最大值为：． 8．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】先根据点B到原点的距离确定点B表示的数，再根据平移规律得到点A表示的数，最后根据点C到点A和原点距离相等，确定点C是点A与原点所连线段的中点，计算即可得到结果． 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或； ∵点沿数轴向右移动个单位后到达点， ∴点表示的数为或； ∵点到点和到原点的距离相等， ∴点是点A与原点所连线段的中点， 当点表示的数为时，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为． 综上所述，点C表示的数为或． 三、解答题 9．对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：由在数轴上位置可知，且， ， 则； （3）解：∵， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10．观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 11．【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 【答案】（1）点B表示的数为5，点C表示的数为；（2），点M表示的数为；（3）点表示的数是，见解析 【分析】（1）根据题意得到点表示的数为5，两点间的距离求出点C表示的数； （2）根据时间等于路程除以速度求出，进而求出点表示的数即可； （3）根据题意，得到点每移动2次，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，且点B与点A到原点的距离相等， 所以点B表示的数为5．                 又因为点C在原点的左侧，且到点B的距离为7， 所以点C表示的数为．                     （2）当M、N相遇前，且相距1个单位长度时， 则， 此时点M表示的数为．                   （3）根据题意可知，动点P第2024次运动后向右运动个单位长度，      即此时点P表示的数为，               又因为第2025次点P是向左运动2025个单位长度， 所以点表示的数是． 12．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 14．阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 【答案】(1)；；5 (2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值 (3)不适用 【分析】（1）参照示例，运算求解； （2）根据示例，分符号和绝对值两部分总结法则； （3）根据运算，举例验证说明． 【详解】（1）解：；；． （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值； （3）解：不适用，举例说明：如 ， ∴ ∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用． 【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；转化思想是解决问题的关键． 15．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的计算： （1）先计算出，再根据乘方的逆运算法则求解即可； （2）观察可知等式左边第一个乘数为序号，第二个乘数为序号加2，加数为1，等式右边为序号加1的平方，据此规律求解即可； （3）先把括号内的式子通分，再根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 知识点一 正数和负数的定义 1. 正数：比_______大的数，前面”+“可省略，如 ； 1. 负数：在正数前添加负号”_______“，小于_______，负号不能省略，如 ； 1. 0 特殊规定：既不是_______，也不是_______，是正数与负数的分界； 1. 实际应用：用正负数表示一对具有相反意义的量，规定一方为正，另一方为负。 知识点二 有理数 1. 定义：_______和_______统称为有理数； 1. 分类方式 1（按定义） 整数：_______、_______、_______； 分数：_______、_______；_______、______________都能化为分数，属于有理数； 1. 分类方式 2（按正负符号） _______（正整数、正分数）、_______、_______（负整数、负分数）； 1. 注意：无限不循环小数（如 ）不能写成分数，不属于有理数。 知识点三 数轴 1. 三要素：_______（0 点）、______________（一般向右）、统一______________，三者缺一不可； 1. 大小规律：数轴上_______的数永远大于_______的数； 1. 分布：原点右侧全部是正数，左侧全部是负数； 1. 用途：直观比较有理数大小、找相反数、理解绝对值几何含义。 知识点四 相反数 1. 定义：只有_______不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0； 1. 代数表达：任意数 的相反数是 ； 1. 几何意义：在数轴上，互为相反数的两点到原点距离相等，分居原点两侧； 1. 核心性质：若 互为相反数，则 。 知识点五 绝对值 1. 几何定义：数轴上表示数 的点与_______之间的距离，记作_______；距离不可能为负； 1. 分段化简规则 当 ，；当 ，；当 ，； 1. 重要性质：（绝对值非负性）；互为相反数两数绝对值相等； 1. 大小比较：两个负数比较，绝对值越大，数值本身越小。 知识点六 有理数加法法则 1. 同号相加：符号_______，绝对值相加； 1. 异号两数相加，绝对值不等：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； 1. 互为相反数的两数相加：和为 0； 1. 一个数加 0：结果仍为这个数。 知识点七 有理数加法运算律 1. 加法交换律：，交换加数位置，和不变； 1. 加法结合律：，改变相加顺序，和不变； 1. 简便计算常用组合：相反数结合凑 0、同分母分数结合、整数凑整、正负分开相加。 知识点八 有理数减法法则 1. 统一法则：减去一个数，等于加上这个数的_______； 1. 公式：； 1. 计算两步变形：减号变加号，减数变为它的相反数，再按加法运算。 知识点九 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得_______，异号得_______，再把_______相乘； 1. 任意数与 0 相乘：积等于_______； 1. 多个有理数相乘：先定符号，负因数个数偶数则积正，奇数则积负；式子中只要有一个 0，乘积直接为 0。 知识点十 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：； 1. 乘法结合律：； 1. 乘法分配律：，是去括号、简便运算最常用公式。 知识点十一 有理数除法 1. 倒数定义：乘积为_______的两个数互为倒数；_______没有倒数；非零数 倒数为 ； 1. 除法转化法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数 ； 1. 直接相除符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除； 1. 0 除以任何不为 0 的数：结果都是 0。 知识点十二 有理数乘方 1. 概念： 个相同因数 相乘，记作 _______； 是底数， 是指数，整体叫幂； 1. 符号判定 正数任意次乘方结果都是正数； 负数偶次幂为_______，负数奇次幂为_______； 0 的正整数次幂等于 0； 1. 易混区分： 表示_______的相反数； 表示_______ 个_______ 相乘，二者符号常不同。 知识点十三 有理数混合运算 1. 优先级从高到低：乘方 → 乘除（同级，从左至右） → 加减（同级，从左至右）； 1. 括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号→中括号→大括号； 1. 计算技巧：灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算，减少通分、大数计算。 知识点十四 科学记数法与近似数 1. 科学记数法 标准形式：_______，满足 ______________， 为整数； ① 大数表示： 原数整数位数减 1； ② 小于 1 的小数： 为负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有 0 的个数。 2. 近似数 （1）区分准确数（完全精确）、近似数（四舍五入得到）； （2）精确度：精确到某一数位； （3）有效数字：从左边第一个不为 0 的数字开始，到末尾全部数字都是有效数字。 易错点1 带“非”字的有理数 易错提醒 易错点总结 1. 对非正数、非负数、非正整数、非负整数概念理解模糊，容易漏掉数字 0。 2. 误以为“非负数”就是正数、“非正数”就是负数，直接排除 0，导致答案不全。 3. 混淆整数与有理数范围，把小数、分数误归入整数范畴。 注意事项总结 1. 口诀铁律：非负 = 正数 + 0；非正 = 负数 + 0。 2. 非负整数 = 自然数（正整数+0）；非正整数 = 负整数+0。 3. 看到“非”字，第一时间必须优先考虑 0，0 是最大坑点。 【对点训练】1．把下列各数分别填入相应的集合里． 1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004． 非正数集合：{                     …}； 非负数集合：{                       }； 非正整数集合：{                   …}； 非负整数集合：{                     }； 非正有理数集合：{                 …}； 非负有理数集合：{                   }． 易错点2 绝对值的几何意义 易错提醒 易错点总结 1. 只会代数计算，不会几何意义：|x-a| 表示数轴上两点距离，经常看不懂题型。 2. 解 |x|=a 只写一个正解，漏掉负数解。 3. 忽略绝对值非负性，出现 |a|<0 仍求解。 4. 多个绝对值化简，不分类讨论正负，直接去括号出错。 注意事项总结 1. 几何意义：|x-a| 数轴上 x 与 a 的距离，恒 ≥0。 2. 若 |x|=a(a>0)，则 x=±a，一定双解。 3. 绝对值式子一定非负，遇绝对值小于 0 直接无解。 4. 去绝对值先判正负：正直接去，负变相反数。 【对点训练】2．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 易错点3 数轴上的动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用含 t 的式子表示动点位置，左右移动符号写反。 2. 两点距离公式乱用，忘记大数减小数、加绝对值。 3. 相遇、追及问题列式错误，分不清同向、相向运动。 4. 漏分类：点在左、点在右两种情况，导致漏解。 注意事项总结 1. 动点万能公式：初始位置 ± 速度×时间（左减右加）。 2. 两点距离：|A-B|，必须带绝对值，避免符号出错。 3. 数轴动点题必须分类讨论：谁在左、谁在右。 4. 求出 t 后检验：必须符合运动时间范围，舍去不合理解。 【对点训练】3．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 易错点4 含乘方的有理数的混合运算问题 易错提醒 易错点总结 1. 最大易错：混淆和，符号直接算反。 2. 运算顺序混乱：先算乘除后算乘方、先算加减后算乘除。 3. 负号、括号、底数范围看错，奇偶次幂符号判断错误。 4. 分数乘方、负数乘方习惯性漏括号，整题全错。 注意事项总结 1. 铁律区分： 2. 运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减，有括号先括号。 3. 负数偶次幂正、奇次幂负，严格先定符号，再算数值。 【对点训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 易错点5 有理数的混合运算中的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 不读题、不按新定义公式，直接套用常规四则运算。 2. 代入顺序错乱，新定义前后数字位置替换错误。 3. 多层新定义运算，不按从内到外顺序计算。 4. 忽略括号优先级，导致整体算式错误。 注意事项总结 1. 新定义题：先抄公式、再对号入座、最后代数运算。 2. 严格区分前后位置，新定义不满足交换律，不能乱换数字。 3. 多层运算：先算内层新定义，再算外层。 4. 绝不自创规则，一切以题目定义为准。 【对点训练】5．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 易错点6 有理数的混合运算中规律探究问题 易错提醒 易错点总结 只看前几项表面规律，总结通项公式错误。 符号规律、数字规律分开找，容易漏符号、错位。 奇偶项规律不同，不分类，统一公式写错。 求第 n 项时代入数值错误，不会归纳符号模型。 注意事项总结 找规律两步走：先找数字规律、再找符号规律。 符号交替：用、统一表示。 奇偶项规律不一致，必须分类总结。 写出通项后，代回前 3 项验证，确认无误再使用。 【对点训练】6．观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 3．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 5．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 6．通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 7．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 8．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 三、解答题 9．对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 10．观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 11．【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 12．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 15．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $