专题26.4 二次函数的应用《知识解读·题型专练》-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过7类典型题型系统训练建模能力，强化从现实问题抽象函数关系的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|4题|利润与售价/销量关系|建立利润=（售价-成本）×销量的二次函数模型| |拱门/投球/拱桥/喷水问题|4+4+5+7题|物理轨迹与几何图形|根据坐标系确定抛物线顶点、交点求解析式| |图形问题|5题|几何图形面积最值|用二次函数表示矩形等图形面积并求最值| |情境问题|5题|综合实际场景|抽象排队人数、刹车距离等情境中的函数关系|

专题26.4 二次函数的应用（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1·销售问题 1 题型 2·拱门问题 5 题型 3·投球问题 10 题型 4·拱桥问题 16 题型 5·喷水问题 22 题型 6·图形问题 32 题型 7·情境问题 36 题型 1·销售问题 1．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 2．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 3．为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如下图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式； （2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ，解得， 即y与x之间的函数关系式是； （2）设客栈每天获得的利润为m元， ， ， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时， 答：房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元． 4．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． 题型 2·拱门问题 5．校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，某校在设计校门时使用了拱形校门，图1是其效果图，该校门由墙壁、拱形钢架和电动推拉门组合而成．图2是其正面示意图，校门两侧是边长均为的正方形和正方形的墙壁，在墙壁的顶点B，F处设计了一个拱形钢架（呈抛物线型）．如图2以水平地面为x轴，过点O，且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时拱形门的最高点M距离地面，与y轴的水平距离为． (1)求该拱形钢架所在抛物线的函数表达式； (2)学校在钢架拱门内壁悬挂一个平行于地面的矩形横幅，点P，Q分别为悬挂点，悬挂点P与y轴的水平距离为，横幅的宽为，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，得顶点M的坐标为，设该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为，根据正方形的性质可知点B的坐标为，代入求解即可； （2）将代入求出y的值，进而减去横幅的宽即可． 【详解】（1）解：由题意，得顶点M的坐标为， ∴设该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴点B的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为； （2）解：将代入，得， ∵横幅的宽为， ∴， ∴横幅最低点离地面的距离为． 6．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】(1)； (2)落水点到喷头立柱的水平距离为米； (3)不能，喷头至少向上调整高度米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【详解】（1）解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 7．为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． （2）解：令，可得， 解得，， （m）， ∴这两根支柱之间的距离为m． 8．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)该拱门的高度为，跨度为， (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由表格得当时，，当时，，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解； （2）先把代入中，求出h的值，则可求出，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当，， ∴该拱门的高度为， ∵， ∴跨度为； 设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：把代入中得，解得或（舍去）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． 题型 3·投球问题 9．如图，是篮球队员的一次投球，在图中的平面直角坐标系中，篮球运动的路线（抛物线）解析式为．    (1)求篮球运行过程中的最大高度； (2)如果没有篮板、篮桩的阻挡，求篮球落地时所运行的水平距离； (3)若篮圈的中心高度是3m，到投球点的水平距离是7m，则这次投球是否能命中？ 【答案】(1)篮球运行过程中的最大高度是； (2)篮球落地时所运行的水平距离为； (3)这次投球能命中 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是利用二次函数的性质解答． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数的性质求最值； （2）令，解方程即可； （3）把代入解析式求出的值即可判断． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 答：篮球运行过程中的最大高度是； （2）解：令，则， 整理得：， 解得（舍去），， 答：篮球落地时所运行的水平距离为； （3）解：当时，， 点在抛物线上， 答：这次投球能命中． 10．篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 【答案】(1) (2) 解：由（1）知函数解析式为， 将代入函数，得， ， 这名防守队员不能成功拦截小宇的这次投球． 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式为，则篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）将代入函数解析式得，据此判断这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球即可． 【详解】（1）解：由顶点坐标为，可设函数解析式为， 将点，代入函数解析式， 得 解得 函数解析式为， 篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）略 11．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 12．仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． (2)判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． (3)如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 【答案】(1) (2)解：． 将代入，得． ， 机器人不能顺利越过障碍物． 设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为． 将代入，得， 解得，． ， 机器人水平向右至少移动才能顺利越过障碍物． (3) 【分析】（1）根据图象可知，机器人运动路线的最高点为，设出函数表达式的顶点式，再将点代入函数表达式求解即可． （2）由于，把代入函数表达式求出函数值，与的高度比较即可判断机器人不能顺利越过障碍物．设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为，将点代入求解； （3）机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为，把点代入，求得机器人要越过障碍物，需满足．再分别将点，代入，综合p的取值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过原点， ∴，解得， ∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为． （2）略 （3）解：∵机器人从点处起跳， ∴机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为， ∵当机器人恰好越过障碍物，此时抛物线过点， ∴，解得， ∴机器人要越过障碍物，需满足， ∵，， ∴，， 当机器人落在E点时，将代入可得，， 解得， 当机器人落在F点时，将代入可得，， 解得， 综上，当机器人顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点）时，的取值范围为． 题型 4·拱桥问题 13．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 14．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 15．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 16．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 17．远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 题型 5·喷水问题 18．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 19．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 20．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 21．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)水流运行轨迹的顶点坐标为__________； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架水平距离12米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3) 不会，理由如下： 当时， 水流不会碰到这棵果树． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、顶点坐标的理解、求二次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的顶点式以及利用已知点求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据题目中“当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米”，即可确定顶点坐标； （2）设顶点式，再利用已知点代入求出a的值，从而确定函数解析式． （3）将代入已求出的函数解析式，计算出对应y的值，与果树高度米比较，即可判断是否碰到果树． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为． 故答案为：． （2）解：设水流形成的抛物线为 将点代入得 ， 水流形成的函数解析式为． （3）略 22．某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． (1)求圆形喷水池的半径． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 【答案】(1)圆形喷水池的半径为 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键． （1）通过顶点坐标求得二次函数解析式；再令，解一元二次方程，得出，保留符合题意的值，即解得答案； （2）根据题意，令，解一元二次方程求出，保留符合题意的值，即解得答案． 【详解】（1）解：以为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为． 设第一象限抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ． 令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 圆形喷水池的半径为． （2）解：令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过． 23．如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 【答案】(1) (2)水柱喷射的最大高度为22m (3)喷口高度的可调节范围为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与不等式的结合，根据题意进行平面直角坐标系的建模是解题关键． （1）根据题意可得抛物线的三个点为，，，采用待定系数法即可求出解析式． （2）将抛物线解析式化为顶点式求出最值即可． （3）设喷口高度为h，重新建立抛物线解析式，利用抛物线分别经过，，建立不等式求解． 【详解】（1）解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． （2）解： ． ，∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为22m． 答：水柱喷射的最大高度为22m． （3）解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得，解得， 将代入，得，解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 24．根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ；任务二，；任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：,． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． 25．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2) 行人会被洒水车淋到水， 理由：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）略 题型 6·图形问题 26．用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 【答案】窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是 【分析】因为窗框的宽为，则高为：，设面积为S，根据长方形面积公式建立函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设窗框的宽为，则高为：，设面积为S， 根据题意可得：． ∵ ∴当时，， 此时高为 答：窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是． 27．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【答案】(1)米或米 (2)米，米 【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可； （2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 依题意得， 解得，， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米； （2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米， ， 墙的最大可用长度为米， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米． 28．把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； （3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 29．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）根据题意，可设点的坐标为，因为点在直线的图象上，可得 ； （2）因为的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． （2）因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 30．学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 题型 7·情境问题 31．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 32．综合与实践 为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究． 【数学模型】 如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 【实践操作】 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； 第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 【问题解决】： (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式； (2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ (3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：小明能顺利通过，理由如下： 由条件可知，小明同学进入跳绳位置的横坐标为， 当时，， ， ∴小明能顺利通过． (3)绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案：这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），如：可按，，，，的顺序排成一列 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，进一步与进行比较即可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论． 【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点，顶点坐标为， ∴设该抛物线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 即． （2）略 （3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下： 这位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一）， 如：可按，，，，的顺序排成一列． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高同学的头顶． ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶， ∵将代入得， ∴绳子能顺利甩过和两位同学的头顶， ∴按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶． 33．某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 【答案】(1) (2)钢架的高度为3米 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解决本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，根据顶点为，则抛物线的解析式为，再将代入求解即可； （2）设点的横坐标为，根据矩形的性质和二次函数的性质得出的长度为（米），的长度为（米），再结合钢架总长度为8米进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，抛物线与x轴的一个交点为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为， ∵四边形是矩形，且抛物线对称轴为， ∴点的横坐标为（关于对称轴对称）， ∴的长度为（米）， 的长度为A的纵坐标，即（米）， ∵钢架总长度为8米， ∴， ∴ ， 解得或． 若，则，不符合“矩形”的实际意义，舍去； 若，代入得：（米）， ∴钢架的高度为3米． 34．某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 【答案】(1)， (2)①公交车刹车后行驶才能停下来；②当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法，结合表格数据求解即可； （2）①求得时的t值即可解答； ②先求得时的速度v，进而可求得t值； （3）设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车，由题意，得，利用二次函数的性质求得s的最大值即可解答． 【详解】（1）解：由表格可设v关于t的函数解析式为， ， 解得：， ∴v关于t的函数解析式为； 由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， 答：关于的函数解析式为； （2）解：①令，由得， 答：公交车刹车后行驶才能停下来； ②令，由得，（不合题意，舍去）， 当时，， 答：当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为； （3）解：设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车， 由题意，得， ∵， ∴当时，s最大，最大值为72， 故公交车至少在距离电瓶车处开始刹车． 35．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为，求出a，b的值； (2)在（1）问的条件下，火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入抛物线和直线，即可求出a，b的值； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）知，， ∴ ∴最大值， 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次级 解得 ∴这两个位置之间的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 二次函数的应用（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1·销售问题 1 题型 2·拱门问题 3 题型 3·投球问题 5 题型 4·拱桥问题 7 题型 5·喷水问题 9 题型 6·图形问题 14 题型 7·情境问题 17 题型 1·销售问题 1．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 2．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 3．为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如下图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？ 4．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 题型 2·拱门问题 5．校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，某校在设计校门时使用了拱形校门，图1是其效果图，该校门由墙壁、拱形钢架和电动推拉门组合而成．图2是其正面示意图，校门两侧是边长均为的正方形和正方形的墙壁，在墙壁的顶点B，F处设计了一个拱形钢架（呈抛物线型）．如图2以水平地面为x轴，过点O，且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时拱形门的最高点M距离地面，与y轴的水平距离为． (1)求该拱形钢架所在抛物线的函数表达式； (2)学校在钢架拱门内壁悬挂一个平行于地面的矩形横幅，点P，Q分别为悬挂点，悬挂点P与y轴的水平距离为，横幅的宽为，请你计算横幅最低点离地面的距离． 6．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 7．为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 8．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2) 在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 题型 3·投球问题 9．如图，是篮球队员的一次投球，在图中的平面直角坐标系中，篮球运动的路线（抛物线）解析式为．    (1)求篮球运行过程中的最大高度； (2)如果没有篮板、篮桩的阻挡，求篮球落地时所运行的水平距离； (3)若篮圈的中心高度是3m，到投球点的水平距离是7m，则这次投球是否能命中？ 10．篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 11．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 12．仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． (2)判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． (3)如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 题型 4·拱桥问题 13．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 14．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 15．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 16．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 17．远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 题型 5·喷水问题 18．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 19．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 20．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 21．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)水流运行轨迹的顶点坐标为__________； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架水平距离12米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 22．某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． (1)求圆形喷水池的半径． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 23．如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 24．根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 25．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 题型 6·图形问题 26．用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 27．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 28．把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 29．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 30．学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 题型 7·情境问题 31．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 32．综合与实践 为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究． 【数学模型】 如图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 【实践操作】 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； 第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 【问题解决】： (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式； (2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ (3)现有位同学身高如下（单位：米）：，，，，，并按如图将这位同学与两位摇绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由． 33．某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 34．某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 35．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为，求出a，b的值； (2)在（1）问的条件下，火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $