第五章 二元一次方程组（七大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“二元一次方程组”单元内容，涵盖方程（组）概念、解法（代入/加减消元）、解的情况、与一次函数的联系及实际应用，搭建了从基础概念到解法技巧再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，如明确“消元”核心思想，总结“忽略未知数次数”等易错点，结合数形结合将方程组解与函数交点关联，培养抽象能力和模型意识。特别设计“解题步骤口诀”和“实际应用双重检验提示”，不同基础学生可高效巩固，教师能据此精准设计教学活动。

第五章 二元一次方程组 知识点一 二元一次方程的概念 1. 定义：含有________未知数，含有未知数的项的次数都是_____，等号两边都是整式的方程。 1. 三个必备条件（缺一不可） ① 一共_____未知数； ② 含未知数项次数为_____； ③ 整式方程，_____不含未知数。 1. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一组未知数的值；二元一次方程有无数组解。 知识点二 二元一次方程组的概念 1. 定义：由_____或两个以上整式一次方程组成，整个方程组一共含有_____未知数。 1. 要点： 每个方程不必都同时出现两个未知数，例如 也属于二元一次方程组。 1. 要求：全部为整式方程，未知数项次数均为1。 知识点三 二元一次方程组的解 1. 定义：同时满足方程组中每一个方程的一组未知数的值。 1. 书写格式：__________。 1. 检验方法：将 代入方程组的每一个方程，全部等式成立才是解。 1. 区分：二元一次方程有无数组解；方程组的解需要同时满足全部方程。 知识点四 二元一次方程组的解法 核心思想：__________，二元转化为一元一次方程。 ① __________消元法 步骤： 1. 变形：把其中一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数； 2. 代入：代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求第一个未知数； 4. 回代：代入变形后的式子，求出第二个未知数； 5. 写出方程组的解。 ② __________消元法 步骤： 1. 化系数：把同一个未知数的系数化为相等或者互为相反数； 2. 加减：系数相等做减法；互为相反数做加法，消元； 3. 解一元一次方程； 4. 回代求另一个未知数； 5. 写解。 知识点五 二元一次方程组解的情况 对于 1. ：_______________；对应两条直线相交。 1. ：_______________；对应两条直线平行，无交点。 1. ：_______________；对应两条直线完全重合。 知识点六 二元一次方程与一次函数 1. 任意二元一次方程都可以化为一次函数 的形式；方程的所有解对应函数图象上所有点的坐标。 1. 二元一次方程组 方程组的解 两个一次函数图象交点的坐标。 1. 数形结合： · 唯一解 两直线__________，_____个交点； · 无解 两直线__________，_____交点； · 无数解 两直线__________，_____公共点。 知识点七 二元一次方程组的应用 1. 解题步骤 审题 找出两个独立等量关系 设两个未知数 列方程组 解方程组 双重检验（检验方程、检验结果符合实际） 写答。 1. 常见题型 ① 和差倍分、鸡兔同笼； ② 行程：相遇、追及、顺水逆水航行； ③ 工程问题：工作量 = 效率 时间； ④ 配套问题：利用配套比例建立等量； ⑤ 销售利润：进价、售价、利润、折扣； ⑥ 数字问题。 易错点1 二元一次方程与二元一次方程组的定义 易错提醒 易错点总结 1. 判断二元一次方程时，忽略未知数次数为1，误把含有 xy 乘积项、未知数在分母的方程当成二元一次方程。 2. 误解“二元”，误认为两个未知数必须同时出现在同一个等式中，不会识别二元一次方程组。 3. 求参数时，只看未知数次数，忽略未知数系数不能为0的条件，产生错误参数值。 4. 混淆二元一次方程与二元一次方程组概念，一个方程、一组方程分辨不清。 注意事项总结 1. 二元一次方程条件：含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，整式方程，未知数系数不为0。 2. 二元一次方程组：一共两个未知数，两个整式方程，方程不必每个都同时含有两个未知数。 3. 不含 xy、这类高次项，未知数不能出现在分母。 4. 求参数求出候选值后，检验未知数系数不等于0。 【对点训练】1． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 易错点2 由二元一次方程（组）的解求参数 易错提醒 易错点总结 1. 将解代入方程时符号运算出错，括号遗漏，计算失误。 2. 多组解代入方程组，代错对应未知数，参数算错。 3. 不会使用整体代入，盲目解复杂方程组，增大计算错误概率。 4. 求出参数后不回代检验，无法发现计算错误。 注意事项总结 1. 方程组的解要同时满足方程组里每一个方程。 2. 代入负数、分数务必加上括号，防止符号出错。 3. 优先观察能否整体代入求值，减少计算量。 4. 参数算出后，把解、参数重新代回原式验证等式成立。 【对点训练】2．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 易错点3 方程组同解问题 易错提醒 易错点总结 1. 不理解同解含义，混淆已知方程组与含参方程组；直接把参数方程的解当作已知数。 2. 不会先联立不含参数的方程组求出公共解，直接带入含参方程，列式混乱。 3. 求出公共解后代入含参方程时代入错误，参数求解出错。 注意事项总结 1. 同解：两组方程组拥有完全相同的一组 x、y。 2. 解题固定步骤：先联立 不含参数的两个方程，求出 x、y；再将 x、y 代入含参数方程，求参数。 3. 得到参数后，回代验证两组方程组解确实一致。 【对点训练】3．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 易错点4 二元一次方程（组）的实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 审题找不准两组等量关系，只找到一个等量关系，列不出方程组。 2. 单位没有统一直接列式。 3. 忽略实际背景，解出小数、负数解，没有舍去不符合现实的解。 4. 设未知数与答句所求量不对应，答非所问。 注意事项总结 1. 应用题找两组独立等量关系，列出二元一次方程组。 2. 列式前统一题目所有单位。 3. 解出结果结合实际意义检验，人数、物品数量要取正整数，舍去不合理的解。 4. 设什么未知数，作答对应所求量。 【对点训练】4．列方程解应用题：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物 (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案 易错点5 二元一次方程与一次函数综合 易错提醒 易错点总结 1. 不理解：二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图像交点坐标，概念脱节。 2. 不会把二元一次方程转化成 y=kx+b 函数形式，移项符号出错。 3. 图像看错交点坐标，直接读错 x、y 数值。 4. 混淆方程无数组解和函数图像上点的对应关系。 注意事项总结 1. 二元一次方程可以转化为一次函数；方程组的解，对应两直线交点 (a,b)。 2. 移项变形函数解析式，注意移项变号。 3. 图像读取交点，横坐标对应 x，纵坐标对应 y。 4. 一个二元一次方程有无数组解，对应一次函数图像上全部点。 【对点训练】5．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 一、单选题 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 3．若关于x，y的方程组无解，则下列结论正确的是（     ） A．直线交y轴于正半轴 B．直线不经过第一象限 C．直线与直线的交点为 D．直线与直线的交点在第二象限 4．已知一次函数与（）的图象交于点，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（     ） A． B．4 C． D．2 5．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 7．我们知道，定期交换汽车前后轮胎，可降低汽车维护成本．某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，后轮胎行驶6万公里时报废．我们可以将轮胎报废的时候磨损程度看为1，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，前后轮胎同时报废．根据以上信息，可求得汽车行驶_________万公里，需要进行换胎． 8．在数学游园会上，小金负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有数字，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小金依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最小．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．则这五张卡片中，数字最小的一张是________． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 9．一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么一等奖的奖金金额是________元． 10．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 三、解答题 11．解方程组 (1) (2) 12．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 13．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 14．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 15．如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组 知识点一 二元一次方程的概念 1. 定义：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 1. 三个必备条件（缺一不可） ① 一共两个未知数； ② 含未知数项次数为1； ③ 整式方程，分母不含未知数。 1. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一组未知数的值；二元一次方程有无数组解。 知识点二 二元一次方程组的概念 1. 定义：由两个或两个以上整式一次方程组成，整个方程组一共含有两个未知数。 1. 要点： 每个方程不必都同时出现两个未知数，例如 也属于二元一次方程组。 1. 要求：全部为整式方程，未知数项次数均为1。 知识点三 二元一次方程组的解 1. 定义：同时满足方程组中每一个方程的一组未知数的值。 1. 书写格式：。 1. 检验方法：将 代入方程组的每一个方程，全部等式成立才是解。 1. 区分：二元一次方程有无数组解；方程组的解需要同时满足全部方程。 知识点四 二元一次方程组的解法 核心思想：消元，二元转化为一元一次方程。 ① 代入消元法 步骤： 1. 变形：把其中一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数； 2. 代入：代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求第一个未知数； 4. 回代：代入变形后的式子，求出第二个未知数； 5. 写出方程组的解。 ② 加减消元法 步骤： 1. 化系数：把同一个未知数的系数化为相等或者互为相反数； 2. 加减：系数相等做减法；互为相反数做加法，消元； 3. 解一元一次方程； 4. 回代求另一个未知数； 5. 写解。 知识点五 二元一次方程组解的情况 对于 1. ：有唯一一组解；对应两条直线相交。 1. ：无解；对应两条直线平行，无交点。 1. ：无数组解；对应两条直线完全重合。 知识点六 二元一次方程与一次函数 1. 任意二元一次方程都可以化为一次函数 的形式；方程的所有解对应函数图象上所有点的坐标。 1. 二元一次方程组 方程组的解 两个一次函数图象交点的坐标。 1. 数形结合： · 唯一解 两直线相交，1个交点； · 无解 两直线平行，无交点； · 无数解 两直线重合，无数公共点。 知识点七 二元一次方程组的应用 1. 解题步骤 审题 找出两个独立等量关系 设两个未知数 列方程组 解方程组 双重检验（检验方程、检验结果符合实际） 写答。 1. 常见题型 ① 和差倍分、鸡兔同笼； ② 行程：相遇、追及、顺水逆水航行； ③ 工程问题：工作量 = 效率 时间； ④ 配套问题：利用配套比例建立等量； ⑤ 销售利润：进价、售价、利润、折扣； ⑥ 数字问题。 易错点1 二元一次方程与二元一次方程组的定义 易错提醒 易错点总结 1. 判断二元一次方程时，忽略未知数次数为1，误把含有 xy 乘积项、未知数在分母的方程当成二元一次方程。 2. 误解“二元”，误认为两个未知数必须同时出现在同一个等式中，不会识别二元一次方程组。 3. 求参数时，只看未知数次数，忽略未知数系数不能为0的条件，产生错误参数值。 4. 混淆二元一次方程与二元一次方程组概念，一个方程、一组方程分辨不清。 注意事项总结 1. 二元一次方程条件：含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，整式方程，未知数系数不为0。 2. 二元一次方程组：一共两个未知数，两个整式方程，方程不必每个都同时含有两个未知数。 3. 不含 xy、这类高次项，未知数不能出现在分母。 4. 求参数求出候选值后，检验未知数系数不等于0。 【对点训练】1． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 易错点2 由二元一次方程（组）的解求参数 易错提醒 易错点总结 1. 将解代入方程时符号运算出错，括号遗漏，计算失误。 2. 多组解代入方程组，代错对应未知数，参数算错。 3. 不会使用整体代入，盲目解复杂方程组，增大计算错误概率。 4. 求出参数后不回代检验，无法发现计算错误。 注意事项总结 1. 方程组的解要同时满足方程组里每一个方程。 2. 代入负数、分数务必加上括号，防止符号出错。 3. 优先观察能否整体代入求值，减少计算量。 4. 参数算出后，把解、参数重新代回原式验证等式成立。 【对点训练】2．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 【答案】 【分析】先把方程组的解代入看错的方程组，解方程组求出，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ∴． 易错点3 方程组同解问题 易错提醒 易错点总结 1. 不理解同解含义，混淆已知方程组与含参方程组；直接把参数方程的解当作已知数。 2. 不会先联立不含参数的方程组求出公共解，直接带入含参方程，列式混乱。 3. 求出公共解后代入含参方程时代入错误，参数求解出错。 注意事项总结 1. 同解：两组方程组拥有完全相同的一组 x、y。 2. 解题固定步骤：先联立 不含参数的两个方程，求出 x、y；再将 x、y 代入含参数方程，求参数。 3. 得到参数后，回代验证两组方程组解确实一致。 【对点训练】3．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 易错点4 二元一次方程（组）的实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 审题找不准两组等量关系，只找到一个等量关系，列不出方程组。 2. 单位没有统一直接列式。 3. 忽略实际背景，解出小数、负数解，没有舍去不符合现实的解。 4. 设未知数与答句所求量不对应，答非所问。 注意事项总结 1. 应用题找两组独立等量关系，列出二元一次方程组。 2. 列式前统一题目所有单位。 3. 解出结果结合实际意义检验，人数、物品数量要取正整数，舍去不合理的解。 4. 设什么未知数，作答对应所求量。 【对点训练】4．列方程解应用题：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物 (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． (2)最省钱的租车方案为租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元． 【分析】（1）根据题干给出的两种运货数量关系，列出二元一次方程组求解，即可得到1辆A型车和B型车的单次运货量． （2）根据总货物吨数得到A型车、B型车辆数的等量关系，求出所有符合要求的正整数解，分别计算每种方案的租车费用，比较后得到最省钱的方案，考查二元一次方程组的实际应用知识． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 依题意列方程组得∶ 解方程组，得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）解：租用A型车辆，B型车辆，结合题意和（1）的结果得 整理得 因为，都是正整数， 因此得到所有可行租车方案：，， 方案一：(元) 方案二：(元) 方案三：(元) 因为 所以方案三的租车费用最低 答：最省钱的租车方案是租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元． 易错点5 二元一次方程与一次函数综合 易错提醒 易错点总结 1. 不理解：二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图像交点坐标，概念脱节。 2. 不会把二元一次方程转化成 y=kx+b 函数形式，移项符号出错。 3. 图像看错交点坐标，直接读错 x、y 数值。 4. 混淆方程无数组解和函数图像上点的对应关系。 注意事项总结 1. 二元一次方程可以转化为一次函数；方程组的解，对应两直线交点 (a,b)。 2. 移项变形函数解析式，注意移项变号。 3. 图像读取交点，横坐标对应 x，纵坐标对应 y。 4. 一个二元一次方程有无数组解，对应一次函数图像上全部点。 【对点训练】5．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，然后根据图象法解方程组即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点， ∴二元一次方程组的解是． 一、单选题 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 2．已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消去后整理出含的式子，因为为定值，因此的系数为，即可推得与的关系． 【详解】解： 得 ， ， 为定值， ， ． 3．若关于x，y的方程组无解，则下列结论正确的是（     ） A．直线交y轴于正半轴 B．直线不经过第一象限 C．直线与直线的交点为 D．直线与直线的交点在第二象限 【答案】D 【分析】方程组无解对应两条直线平行，先根据平行求出的值，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行， ∴， 解得； A、在中，当时，，则直线交y轴于点，即直线交y轴于负半轴，原说法错误，不符合题意； B、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线没有交点，原说法错误，不符合题意； D、， 联立，解得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴这两条直线的交点在第二象限，原说法正确，符合题意． 4．已知一次函数与（）的图象交于点，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】先联立两个一次函数方程，得到交点A坐标的参数表达式，消去参数b得到交点A所在的直线，根据点A到已知直线距离总为定值，可得交点所在直线与已知直线平行，利用两平行直线一次项系数相等求解a即可. 【详解】解：∵交点A是与的交点，联立两个方程得， 整理得，解得， 将代入，得， 由得，代入得， ∴交点A恒在直线上， ∵点A到直线的距离总是定值， ∴直线与平行， ∴， 解得. 5．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形，使其与已知解的原方程组结构一致，对应得到关于的方程，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， 令，则方程组可化为， ∵关于的方程组的解为， ∴关于的方程组的解为， ∴， ∴． 二、填空题 6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 【答案】 【分析】首先根据甲、乙的解求出、的值，即可得到正确的方程组，解方程组求出方程组的正确解． 【详解】解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 原方程组为， 解方程组可得：． 7．我们知道，定期交换汽车前后轮胎，可降低汽车维护成本．某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，后轮胎行驶6万公里时报废．我们可以将轮胎报废的时候磨损程度看为1，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，前后轮胎同时报废．根据以上信息，可求得汽车行驶_________万公里，需要进行换胎． 【答案】 【分析】根据磨损程度列出关于x，y的二元一次方程组，求出的值即可． 【详解】解：根据题意：， 整理得：， 解得：， 则行驶万公里需要进行换胎． 8．在数学游园会上，小金负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有数字，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小金依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最小．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．则这五张卡片中，数字最小的一张是________． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 【答案】D 【分析】根据题意可得，，则可推出，，再根据建立方程组求出A和E的值，进而求出B、C、D的值，比较即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴联立①②，解得， ∴， ∴， ∴这五张卡片中，数字最小的一张是D． 9．一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么一等奖的奖金金额是________元． 【答案】或 【分析】获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人，由之间的关系结合均为整数，即可得出的值，设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元，根据奖金的总额为元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）． 【详解】解：获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人，根据题意， 且，，均为整数， ∴，，． 设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元， 依题意，得：，，， 解得：，（不合题意，舍去） ，． ∴一等奖的奖金金额为（元）或（元）． 10．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 【答案】 【分析】根据“2性质”方程的定义和方程解的定义，列出关于,的二元一次方程组，求解得到,后即可计算出，考查二元一次方程组的求解． 【详解】解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得 ， 该方程是具有“2性质”的方程，满足， 可得， 整理得， 是该方程的一个解，代入原方程得， ， 整理得， 由①得，代入②得， ， 展开计算得， 解得把代入，得 ， 因此． 三、解答题 11．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 12．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 13．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 【答案】(1) 每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为 (2) 共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种 (3) 安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可； （3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为， 则由题意，得， 解得， ∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为； （2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车， 由题意，得，即， ∵m，n为非负整数， ∴可能的情况有，，，， ∴共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种； （3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）； 方案②每天的费用为（元）； 方案③每天的费用为（元）； 方案④每天的费用为（元）， ∵， ∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）． 14．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【答案】(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得， 将代入得， 解得， ∵， ∴该方程组的解与具有“邻好关系”； (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果； （2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得． 15．如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线，和变于点， ∴方程组的解为； （2）解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，，则， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $