第三章 坐标与位置（三大考点+三大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“坐标与位置”单元内容，涵盖确定位置的三种方法、平面直角坐标系的构成与特征、轴对称与坐标变化规律，搭建了从基础定位到坐标系应用再到坐标变换的递进式学习支架。 清单通过“核心原理+易错点分类”呈现知识体系，如用表格归纳象限坐标符号培养几何直观，针对规律探究、面积计算等易错点总结“找点→判象限→找周期”步骤发展推理意识，“右加左减”口诀助力坐标变换记忆，方便学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

第三章 坐标与位置 知识点一 确定位置 1. 核心原理 在平面内，想要唯一确定一个点的位置，必须需要两个独立数据，一个数据无法确定平面位置。 1. 三种常用定位方法 0. 有序数对定位（行列法）：格式 ，先横向、后纵向，顺序不可颠倒，顺序不同位置不同。 0. 方位角 + 距离定位：以观测点为中心，用“北偏东、北偏西、南偏东、南偏西”+ 距离确定唯一位置，是生活、航海常用定位。 0. 经纬度定位：经度、纬度两组数据，可唯一确定地球上任意一点位置。 1. 考试关键点 所有平面定位，本质都是有序实数对，具有顺序性、唯一性。 知识点二 平面直角坐标系 1. 坐标系构成 在同一平面内，互相垂直、原点重合的两条数轴组成平面直角坐标系。水平为 x 轴（向右正方向），竖直为 y 轴（向上正方向），交点为原点 。 1. 象限坐标符号（必背） 象限 横坐标符号 纵坐标符号 坐标形式 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限 正 负 1. 坐标轴上的点特征 · x 轴上所有点：纵坐标为 0，形式 ，不属于任何象限； · y 轴上所有点：横坐标为 0，形式 ，不属于任何象限； · 原点：横、纵坐标均为 0。 1. 平行坐标轴的直线特征 · 平行于 x 轴的直线：所有点纵坐标相同，横向平移； · 平行于 y 轴的直线：所有点横坐标相同，纵向平移。 1. 点到坐标轴距离（高频考点） · 点 到 x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 · 点 到 y 轴的距离 = 横坐标的绝对值 知识点三 轴对称与坐标变化 1. 关于 x 轴对称（横轴） · 变化规律：横坐标保持不变，纵坐标变为相反数。 · 公式： 1. 关于 y 轴对称（纵轴） · 变化规律：纵坐标保持不变，横坐标变为相反数。 · 公式： 1. 关于原点中心对称 · 变化规律：横坐标、纵坐标全部变为相反数。 · 公式： 1. 图形对称性质 平面图形经过轴对称、中心对称变换后，图形的形状、大小、边长、周长、面积完全不变，仅位置发生改变。 1. 解题技巧 做图形对称题，只需找出图形几个关键点的对称坐标，再依次连接即可得到对称图形。 易错点1 坐标系中的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会判断点的运动周期、循环规律，看错象限落点。 2. 只看数字变化，忽略象限符号规律、运动方向规律，通项写错。 3. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一公式出错。 4. 求第 n 个点坐标时，不会取余数分析位置，导致最终坐标完全错误。 5. 运动步数、边长增量数错，基础规律判断失误。 注意事项总结 1. 坐标规律题固定步骤：找点→判象限→找周期→余数定位。 2. 一定要结合象限符号特征判断正负，不能只看数值。 3. 出现循环运动，先算出循环周期，用总次数÷周期，根据余数判断位置。 4. 奇偶项规律不一致时，必须分开写表达式。 5. 算出规律后，必须代回前 3 个点验证，保证无误。 【对点训练】1．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3，由，可知与具有相同的特征，据此求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， ∴与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 易错点2 坐标系中的面积问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用坐标求线段长度，忘记距离要加绝对值，出现负数边长。 2. 斜三角形不会割补法，直接乱套底乘高，算错面积。 3. 平行坐标轴图形看错底和高，对应错边导致结果错误。 4. 割补法中多减、少减多余矩形或三角形，面积偏差。 5. 点在不同象限，坐标正负干扰，看错边长数值。 注意事项总结 1. 水平距离：，竖直距离：，距离永远为正。 2. 三角形有边平行坐标轴：直接找水平底、竖直高，代入面积公式。 3. 斜三角形一律用矩形割补法：外框矩形面积 − 周围三个直角三角形面积。 4. 计算面积不看坐标正负，只看线段长度。 5. 最终面积一定是正数，出现负数直接判定计算错误。 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． (1)若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； (2)若M为，请用含m的式子表示的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据，且即可求出点N的坐标； （2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； （2）解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积． 易错点3 坐标系中的动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用含 t 的式子表示动点坐标，左右、上下移动符号写反。 2. 分不清方向：x 轴左右、y 轴上下位移规律混乱。 3. 动点构成三角形、线段长度问题，忘记分类讨论位置。 4. 忽略 t 的取值范围，算出不合题意的解不舍去。 5. 动点距离计算不带绝对值，漏解、错解。 注意事项总结 1. 动点坐标万能口诀：右加左减、上加下减。 2. 先写初始坐标，再根据速度时间写出含 t 坐标。 3. 求线段距离必须加绝对值，避免符号问题丢解。 4. 动点题型一定要分类讨论：点在左侧/右侧、上方/下方。 5. 算出 t 后必须检验：时间 t>0、位置符合题意，舍去无效解。 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，进而即可求解； （2）设运动时间为秒， 则，，，即得，，再根据题意列出不等式解答即可； （3）易知四边形为平行四边形，所以为与的中点，设，又因为，因此的中点的坐标为，根据，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点，轴于点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∵个单位，个单位， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：设， 连接，由平移可知四边形为平行四边形， ∴为与的中点，， 设，则， ①当点P在y轴正半轴，即时，如图， ， ，解得， ， ②当点P在y轴负半轴，即时，如图， ， ，解得， ， 综上所述，当时，点的坐标或． 一、单选题 1．象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用表示“马”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“马”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，由坐标系得到“将”的坐标． 【详解】解：由“马”和“炮”的坐标可知平面直角坐标系如下图所示， “将”的坐标是． 2．北京时间2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则a的值为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，利用该性质列方程求解即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴ 点与点的纵坐标相等， ∵，， ∴， 解得． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出坐标的循环周期规律，再计算除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为 ∴的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， ∴与坐标相同 由此可知，点的坐标每个为一个循环周期 ∵ ∴的坐标与的坐标相同，即为． 4．已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由轴，可得点与点纵坐标相等，再根据，分点在点左侧、右侧两种情况计算横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴当点在点右侧时，点的横坐标为，得， 当点在点左侧时，点的横坐标为，得， ∴点的坐标为或． 5．如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 二、填空题 6．如果点在轴上，则点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的横坐标为求出的值，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求出所求点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， 即点的坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 7．年爆款电影《给阿嬷的情书》热映，该片以潮汕先民下南洋的真实故事为原型进行改编，巧妙地以侨批为文化载体，讲透了刻在潮汕人骨子里的情与义，以最朴素方式戳中了国人内心最柔软之处．孙子晓伟通过查阅资料得知，若以暹罗曼谷（阿公郑木生打拼之地）为原点，则故土汕头老家（阿嬷叶淑柔留守之地）坐标大致为（单位：），由此可以得到当年阿公阿嬷大约相隔________． 【答案】 【分析】已知原点和点的坐标，可利用勾股定理计算两点间的距离，从而得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，原点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得， ∴当年阿公阿嬷大约相隔． 8．如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为． 9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，依次计算前几次运算得到的点坐标，找出循环规律，再利用规律求解次运算后的结果即可． 【详解】解：根据题意，计算得：点经过第次运算后得到的点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， …… 可得规律：点每经过次运算为一个循环， ， 点经过次运算后得到点． 10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由题意得到点的坐标规律，其中为正整数，当时即可得到答案． 【详解】解：由题意可得、、、、， 则，其中为正整数， 点的坐标为． 三、解答题 11．已知点，解答下列各题 (1)若点在轴上，则点的坐标为_____； (2)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离公式，结合第一象限的点的符号特点，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，直线轴， ∴点和点的横坐标相等，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴，解得， 将代入得：. 12．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 13．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)连接线段，如下图；；； (2) (3) 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而根据图象确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，描点，作图见答案 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：情况1：与中点重合时，， ， 此时； 情况2：与中点重合时，， ， 此时； 情况3：与中点重合时，， ， 此时； 综上所述，点的坐标为． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 15．己知，在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． (1)直接写出点的坐标： (2)当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： (3)若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； (4)如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)存在，，；， 【分析】（1）根据可得，再求出解可得答案； （2）分两种情况：当时，；当时，，即可得出答案； （3）由题意，得点Q的横坐标是，再根据轴时，点P与点Q的横坐标相等，若点P在线段上，，则，求出解，并判断；若点P在线段上，，则，求出解，并得出坐标； （4）当点P在线段上运动时，，则，再根据面积相等求出解，进而得出答案；当点P在线段上运动时，，则，然后根据面积相等求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴点； （2）解：当时，； 当时，， ∴t的取值范围是； （3）解：由题意，得点Q的横坐标是， 当轴时，点P与点Q的横坐标相等， 若点P在线段上，，则， 解得，此时，不合题意，舍去； 若点P在线段上，，则， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为； （4）解：存在． 当点P在线段上运动时，，则． 令， 解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，， ∴， 令，解得， 此时点P的坐标为， 所以存在t值，当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 坐标与位置 知识点一 确定位置 1. 核心原理 在平面内，想要唯一确定一个点的位置，必须需要______独立数据，一个数据无法确定平面位置。 1. 三种常用定位方法 0. 有序数对定位（行列法）：格式 ，先______、后______，顺序不可颠倒，顺序不同位置______。 0. 方位角 + 距离定位：以观测点为中心，用“北偏东、北偏西、南偏东、南偏西”+ 距离确定唯一位置，是生活、航海常用定位。 0. 经纬度定位：______、______两组数据，可唯一确定地球上任意一点位置。 1. 考试关键点 所有平面定位，本质都是有序实数对，具有顺序性、唯一性。 知识点二 平面直角坐标系 1. 坐标系构成 在同一平面内，互相______、原点重合的两条______组成平面直角坐标系。水平为 ______轴（向右正方向），竖直为 ______ 轴（向上正方向），交点为原点____________。 1. 象限坐标符号（必背） 象限 横坐标符号 纵坐标符号 坐标形式 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 1. 坐标轴上的点特征 · x 轴上所有点：纵坐标为 0，形式 ______，不属于任何象限； · y 轴上所有点：横坐标为 0，形式 ______，不属于任何象限； · 原点：横、纵坐标均为 ______。 1. 平行坐标轴的直线特征 · 平行于 x 轴的直线：所有点______相同，横向平移； · 平行于 y 轴的直线：所有点______相同，纵向平移。 1. 点到坐标轴距离（高频考点） · 点 到 x 轴的距离 = ______坐标的绝对值 · 点 到 y 轴的距离 = ______坐标的绝对值 知识点三 轴对称与坐标变化 1. 关于 x 轴对称（横轴） · 变化规律：______坐标保持不变，纵坐标变为______。 · 公式： 1. 关于 y 轴对称（纵轴） · 变化规律：______坐标保持不变，横坐标变为______。 · 公式： 1. 关于原点中心对称 · 变化规律：横坐标、纵坐标全部变为______。 · 公式： 1. 图形对称性质 平面图形经过轴对称、中心对称变换后，图形的形状、大小、边长、周长、面积完全不变，仅位置发生改变。 1. 解题技巧 做图形对称题，只需找出图形几个关键点的对称坐标，再依次连接即可得到对称图形。 易错点1 坐标系中的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会判断点的运动周期、循环规律，看错象限落点。 2. 只看数字变化，忽略象限符号规律、运动方向规律，通项写错。 3. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一公式出错。 4. 求第 n 个点坐标时，不会取余数分析位置，导致最终坐标完全错误。 5. 运动步数、边长增量数错，基础规律判断失误。 注意事项总结 1. 坐标规律题固定步骤：找点→判象限→找周期→余数定位。 2. 一定要结合象限符号特征判断正负，不能只看数值。 3. 出现循环运动，先算出循环周期，用总次数÷周期，根据余数判断位置。 4. 奇偶项规律不一致时，必须分开写表达式。 5. 算出规律后，必须代回前 3 个点验证，保证无误。 【对点训练】1．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 易错点2 坐标系中的面积问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用坐标求线段长度，忘记距离要加绝对值，出现负数边长。 2. 斜三角形不会割补法，直接乱套底乘高，算错面积。 3. 平行坐标轴图形看错底和高，对应错边导致结果错误。 4. 割补法中多减、少减多余矩形或三角形，面积偏差。 5. 点在不同象限，坐标正负干扰，看错边长数值。 注意事项总结 1. 水平距离：，竖直距离：，距离永远为正。 2. 三角形有边平行坐标轴：直接找水平底、竖直高，代入面积公式。 3. 斜三角形一律用矩形割补法：外框矩形面积 − 周围三个直角三角形面积。 4. 计算面积不看坐标正负，只看线段长度。 5. 最终面积一定是正数，出现负数直接判定计算错误。 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． (1)若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； (2)若M为，请用含m的式子表示的面积． 易错点3 坐标系中的动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用含 t 的式子表示动点坐标，左右、上下移动符号写反。 2. 分不清方向：x 轴左右、y 轴上下位移规律混乱。 3. 动点构成三角形、线段长度问题，忘记分类讨论位置。 4. 忽略 t 的取值范围，算出不合题意的解不舍去。 5. 动点距离计算不带绝对值，漏解、错解。 注意事项总结 1. 动点坐标万能口诀：右加左减、上加下减。 2. 先写初始坐标，再根据速度时间写出含 t 坐标。 3. 求线段距离必须加绝对值，避免符号问题丢解。 4. 动点题型一定要分类讨论：点在左侧/右侧、上方/下方。 5. 算出 t 后必须检验：时间 t>0、位置符合题意，舍去无效解。 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 一、单选题 1．象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用表示“马”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（     ） A． B． C． D． 2．北京时间2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则a的值为（     ） A． B． C．3 D． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 4．已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如果点在轴上，则点关于轴对称的点的坐标为________． 7．年爆款电影《给阿嬷的情书》热映，该片以潮汕先民下南洋的真实故事为原型进行改编，巧妙地以侨批为文化载体，讲透了刻在潮汕人骨子里的情与义，以最朴素方式戳中了国人内心最柔软之处．孙子晓伟通过查阅资料得知，若以暹罗曼谷（阿公郑木生打拼之地）为原点，则故土汕头老家（阿嬷叶淑柔留守之地）坐标大致为（单位：），由此可以得到当年阿公阿嬷大约相隔________． 8．如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为_________． 9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 三、解答题 11．已知点，解答下列各题 (1)若点在轴上，则点的坐标为_____； (2)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 12．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 13．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 15．己知，在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． (1)直接写出点的坐标： (2)当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： (3)若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； (4)如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $