第四章 一次函数（七大考点+七大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一次函数”单元内容，涵盖概念定义、图象性质、平移规律、解析式求解、与方程不等式关系及几何与实际应用等核心范畴，为学生搭建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，突出概念辨析与性质应用，如用“左加右减自变量，上加下减常数项”口诀强化平移规律，标注k、b对图象的影响等重难点，培养学生抽象能力、模型意识与推理意识。配套的易错点总结和实际应用题帮助学生高效掌握，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

第四章 一次函数 知识点一 一次函数的有关概念 1. 一次函数定义：形如 （ 为常数，）的函数叫做一次函数。 1. 正比例函数：当 时，（）是特殊的一次函数。 注意：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 1. 自变量取值：一般为全体实数；实际问题要结合实际限制自变量范围。 1. 概念辨析 · 。若 ，式子变为 ，是常数函数，不是一次函数； · 自变量次数必须为 1，不能出现 、 等形式。 知识点二 一次函数的图象与性质 1. 图象形状： () 的图象是一条直线，也叫直线 。 1. 与坐标轴交点 · 与 轴交点：令 ，得 ， 叫直线在 轴上的截距； · 与 轴交点：令 ，得 。 1. 决定直线倾斜方向与增减性 ① ：直线从左下向右上倾斜， 随 增大而增大； ② ：直线从左上向右下倾斜， 随 增大而减小。 1. 决定直线与 轴交点位置 · ：交 轴正半轴； · ：过坐标原点（正比例函数）； · ：交 轴负半轴。 1. 直线经过象限 · ：一、二、三象限 · ：一、三、四象限 · ：一、二、四象限 · ：二、三、四象限 知识点三 一次函数的平移 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 向上平移 个单位：；向下平移 个单位：。 1. 向左平移 个单位：；向右平移 个单位：。 ⚠ 易错：左右平移是对 本身做加减，一定要加括号。 知识点四 待定系数法求一次函数解析式 1. 核心思想：设解析式，代入点坐标列方程，求出 。 1. 一般步骤： ① 设：设解析式 ()；正比例函数设 ()。 ② 代：把图象上两个点的坐标代入解析式，得到关于 的二元一次方程组。 ③ 解：解方程组，求出 的值。 ④ 写：把 代回所设，写出函数解析式。 注意：题目有自变量实际范围，要标注自变量取值范围。 知识点五 一次函数与方程、不等式之间的关系 设一次函数 () 1. 与一元一次方程 方程 的解 直线 与 轴交点的横坐标。 1. 与二元一次方程组 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 1. 与一元一次不等式 ① 的解集：直线在 轴上方部分对应的 取值； ② 的解集：直线在 轴下方部分对应的 取值； ③ 比较两个函数大小：，看哪条直线在上方，对应 范围。 知识点六 一次函数与几何问题应用 1. 求线段长度：利用与坐标轴交点，结合坐标求线段长； 1. 求两直线交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组； 1. 面积计算 · 直线与坐标轴围成三角形面积：； · 多个直线围成图形面积，常用割补法； · ⚠ 坐标有正负，计算面积必须取绝对值。 1. 动点存在性问题：设动点坐标，结合函数表达式列方程求解。 知识点七 一次函数的实际应用 1. 解题步骤： 审题 分析变量，确定自变量与因变量 建立一次函数模型 确定自变量实际取值范围 求解 检验实际意义 作答。 1. 常见题型 ① 方案选择问题：求出各个方案函数，对比函数值选出最优方案； ② 行程问题： 一般代表路程， 代表时间；看懂图象拐点的实际含义； ③ 销售利润问题：构建利润关于销量的一次函数，结合增减性求最值； ④ 水费、电费等分段函数：不同区间对应不同函数解析式。 易错点1 一次函数与正比例函数的定义 易错提醒 易错点总结 1. 混淆定义，误以为正比例函数和一次函数是两类独立函数，不知道正比例是特殊的一次函数。 2. 忽略一次函数条件：k≠0，只看次数为1。 3. 误把常数项带参、含平方、分母含 x 的式子当成一次函数。 4. 求参数时常忘记排除 k=0 的情况，导致多解错解。 注意事项总结 1. 一次函数：y=kx+b(k≠0) 2. 正比例函数：y=kx(k≠0,b=0) 3. 判断标准：x 次数必须为1、不含分母、不含平方、k 绝对不能为0。 4. 正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 【对点训练】1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 易错点2 一次函数的性质的综合应用 易错提醒 易错点总结 1. 记错增减性：k>0、k<0 增减趋势记反。 2. 不会根据 k、b 判断图像经过象限。 3. 比较函数值大小时，不看增减性、直接乱比。 4. 多个一次函数比较、取值范围判断混乱。 注意事项总结 1. k>0：y 随 x 增大而增大； k<0：y 随 x 增大而减小。 2. k 定增减，b 定与 y 轴交点。 3. 比较函数值：先看 k，再看 x 大小，严格按增减性判断。 4. 图像象限判断：先看 k 定升降，再看 b 定上下。 【对点训练】2．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【答案】A 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 易错点3 一次函数的平移 易错提醒 易错点总结 1. 平移口诀记反、上下左右平移公式混乱。 2. 平移时误改 k 值，斜率改变导致整题错。 3. 分不清上下平移改 b、左右平移改 x。 4. 多条直线平行条件记错，不知道k 相等、b 不等。 注意事项总结 1. 平移斜率 k 永远不变，只改变截距 b。 2. 上下平移：上加下减（直接改 b） 3. 左右平移：左加右减（只改 x） 4. 两直线平行： k_1=k_2,b_1≠b_2 【对点训练】3．将直线（为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移的“上加下减”规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数图象的性质得到b的取值范围，最后结合选项选出正确结果. 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、第二、第四象限， 这里， ∴， 解得， A选项，不符合； B选项，符合要求； C选项，平移后直线为，仅过第二，第四象限，不符合； D选项，不符合. 易错点4 一次函数与坐标轴的交点问题 易错提醒 易错点总结 1. 求交点坐标代入错误，分不清 x 轴、y 轴条件。 2. 求与 x 轴交点不会令 y=0，求 y 轴交点不会令 x=0。 3. 求直线与坐标轴围成三角形面积时，漏绝对值，面积为负。 4. 截距和坐标混淆，误把 b 直接当横坐标。 注意事项总结 1. 与 x 轴交点：令 y=0，求 x。 2. 与 y 轴交点：令 x=0，求 y。 3. 三角形面积公式： 4. 面积必须正数，一定要带绝对值。 【对点训练】4．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． 易错点5 一次函数与实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从题意找自变量、因变量，函数关系式列错。 2. 忽略实际自变量取值范围（时间、数量不能为负）。 3. 读图看错横轴、纵轴含义。 4. 最值问题不会利用增减性判断，乱代值。 注意事项总结 1. 先找变化量，列出一次函数解析式。 2. 实际问题必须写出自变量取值范围。 3. k>0 右端最大、左端最小；k<0 左端最大、右端最小。 4. 图像题先看横纵坐标代表什么，再做题。 【对点训练】5．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 易错点6 一次函数与几何问题综合 易错提醒 易错点总结 1. 不会联立两个一次函数求交点坐标。 2. 求图形面积、线段长度不带绝对值。 3. 动点几何不会用坐标表示线段，坐标符号混乱。 4. 平行、垂直条件记错。 注意事项总结 1. 两直线交点：联立方程组求解。 2. 坐标求长度必须用绝对值。 3. 几何面积优先用坐标轴割补法、铅垂高法。 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)2 (3)， (4)或 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得，作，即可求解； （3）当时，时，分类讨论即可； （4）题意得 ，，根据等式化简求值即可. 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，则，得， ∴； ∵直线与轴交于点， ∴ （2）解：∵点落在直线上 ∴，将代入直线得 ，解得 ∴ 如图；作 ∴ ∴ （3）解：∵是直角三角形时，则 ，， ①当时， ∵ ， ， ∴ ，解得 ②当时， ∴ ∴,则 ∴，； （4）解：由题意得 ， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ， 设直线与直线交于点，则 ∵ ∴ ∴； ∵ ∴， ∴， 即 或， 解得或. 易错点7 一次函数的点的变化规律探究 易错提醒 易错点总结 1. 找点坐标规律只会硬算，不会归纳通项公式。 2. 循环规律找错周期，导致第 n 个点坐标出错。 3. 增减规律、符号周期观察不全面，漏正负变化。 4. 不会结合一次函数解析式验证点的正确性。 注意事项总结 1. 找规律三步法：算前3个点→找周期→写通项。 2. 遇循环题型：先找周期，再用余数判断位置。 3. 所有求出的点必须满足一次函数解析式，用来检验对错。 4. 坐标正负、变化方向一定要统一规律。 【对点训练】7．如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得、、，，，然后归纳规律，最后运用规律求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴设，则，解得：，即； 设，则， 即； 设，则，解得：，即； 设，则，即； 设，则，解得：，即； …… ∴，， ∵， ∴，即． 一、单选题 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 2．小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 【答案】C 【分析】观察函数图象，获取两人出发时间、到达时间及总路程，再结合速度公式逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图象可知，小明从时出发，小斌从时出发， ∴小斌比小明晚走小时，故A正确，不符合题意； 小明的速度为（千米/时），小斌的速度为（千米/时）， 又∵， ∴小斌的速度是小明速度的倍，故B正确，不符合题意； 当小斌到达目的地时，，此时小明行驶的路程为（千米）， ∴小明距离目的地还有（千米），故C错误，符合题意； 小斌走了一半的路程即千米，用时小时，此时时刻为时， 小明行驶路程为（千米）， ∴两人相遇，即小斌走了一半的路程时追上小明，故D正确，不符合题意． 3．已知一次函数，当x增大时，y随之减小，且，则其图像经过的象限是（     ） A．过一、二、四象限 B．过一、三、四象限 C．过二、三、四象限 D．过一、二、三象限 【答案】A 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知得到，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，当增大时减小， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴一次函数图像经过第二、四象限， ∵， ∴一次函数图像与轴交于正半轴，经过第一象限， ∴ 一次函数图像经过一、二、四象限． 4．若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数中得出随的增大而增大，由此性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴一次函数中随的增大而增大， ∵点，在函数图象上，， ∴． 5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 【答案】C 【分析】结合一次函数的系数特征、与轴交点求法及图象平移规律判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，∴随的增大而减小，故A错误． B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． C选项，令，则，解得，∴函数与轴的交点坐标为，故C正确． D选项，将的图象向下平移4个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 二、填空题 6．已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 7．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用题目中“2倍点”的定义、一次函数的图象上总存在“2倍点”，及，可以确定的取值范围． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象上总存在“2倍点”， 设这个一次函数上的存在点， 代入一次函数中， ， 整理得，， ∵， ∴， ∴，即 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 9．新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 3 【分析】（1）先求出当时，和的值，比较即可得出结果； （2）先求出直线过定点，令，解得，求出当时，，当时，，画出函数图象，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，，， ∵， ∴当时，； （2）∵， ∴直线过定点， 令， 解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点， ∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点， ∴的取值范围是． 10．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 0 1 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于轴对称；     ③该函数图象与坐标轴共有3个交点； ④若，则； ⑤关于的方程，不存在整数，使其有两个不相等的实数根． 其中正确的是_____________．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了绝对值函数图像与性质、函数图像的对称性、画出函数的图象，结合图象可从函数的增减性、对称性进行判断． 【详解】解：描点，画出函数的图象，如图：    根据函数图象： ①将代入， 得， 点在该函数图象上， 说法正确； ②该函数图象关于轴对称， 说法正确； ③该函数图象与坐标轴共有3个交点， 说法正确； ④若， 根据对称性质， 得或， 原说法错误； ⑤方程等价于函数和直线的交点个数， 观察图像， 当时， 函数和函数的图象有四个交点； 当时， 函数和函数的图象只有一个交点； 当时， 根据对称性，函数和函数的图象只有一个交点； 当时， 函数和函数的图象只有一个交点； 当时， 根据对称性，函数和函数的图象只有一个交点； 如图，当时，函数和函数的图象有三个交点； 当时，函数和函数的图象有两个交点，但此时不可能为整数； 由对称性知，当时，函数和函数的图象有三个交点； 当时，函数和函数的图象也有两个交点，但此时也不可能为整数； 说法正确． 综上所述，正确的是①②③⑤． 三、解答题 11．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 12．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】(1)①不是；②或 (2)或 (3) 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 14．定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_________； (2)关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 【答案】(1) (2)， (3)“星光点”为 或 【分析】（1）直接联立一次函数与，解方程组得到交点坐标； （2）根据“星光点”在上，得，求出，再将星光点坐标代入一次函数求； （3）由“没有星光点”推出，得到函数解析式，进而求出与坐标轴的交点、；利用三角形面积关系​，设点坐标，通过面积公式列方程求解；最后用待定系数法求直线的解析式，联立求星光点． 【详解】（1）解：根据“星光点”的定义得， 解得； ∴一次函数图象的“星光点”为； （2）解：一次函数图象的“星光点”为， 根据“星光点”的定义得， 解得； （3）解：如图， ∵若一次函数没有“星光点”， 即与没有交点， 联立，得， 整理得， 由于无解， ∴； 一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 令，，则点， 令，，则点， ∴， ∴， 设点，， ∵， ∴， ∴或， ∴点，； ①当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． ②当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． 综上，直线的“星光点”为或． 15．如图，已知直线交轴于点，交y轴于点． (1)直接写出 ； (2)直线与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，若，求的值； (3)点在直线上，若，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，学会数形结合的解题思路． （1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可； （2）根据函数解析式，求出的面积，根据，等量代换，则，根据三角形的面积公式，求出点的横坐标，根据点在直线上，即可； （3）在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质，则，，设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标；在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，；设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴ 解得：． （2）解：由（1）可得，直线的解析式为： ∴， ∵直线与轴，轴分别相交于点，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∴； 设， ∴， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 知识点一 一次函数的有关概念 1. 一次函数定义：形如_____________（ 为常数，）的函数叫做一次函数。 1. 正比例函数：当 时，_______（）是特殊的一次函数。 注意：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 1. 自变量取值：一般为全体_______；实际问题要结合实际限制自变量范围。 1. 概念辨析 · 。若 ，式子变为 ，是常数函数，不是一次函数； · 自变量次数必须为 1，不能出现 、 等形式。 知识点二 一次函数的图象与性质 1. 图象形状： () 的图象是一条_______，也叫直线 。 1. 与坐标轴交点 · 与 轴交点：令 ，得 ， 叫直线在 轴上的截距； · 与 轴交点：令 ，得 。 1. 决定直线倾斜方向与增减性 ① ：直线从左下向右上倾斜， 随 增大而_______； ② ：直线从左上向右下倾斜， 随 增大而_______。 1. 决定直线与 轴交点位置 · ：交 轴_______； · ：过坐标_______（正比例函数）； · ：交 轴_______。 1. 直线经过象限 · ：_______、_______、_______象限 · ：_______、_______、_______象限 · ：_______、_______、_______象限 · ：_______、_______、_______象限 知识点三 一次函数的平移 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. 向上平移 个单位：；向下平移 个单位：。 1. 向左平移 个单位：______________；向右平移 个单位：______________。 ⚠ 易错：左右平移是对 本身做加减，一定要加括号。 知识点四 待定系数法求一次函数解析式 1. 核心思想：设解析式，代入点坐标列方程，求出 。 1. 一般步骤： ① 设：设解析式______________ ()；正比例函数设______________ ()。 ② 代：把图象上两个点的坐标代入解析式，得到关于 的二元一次方程组。 ③ 解：解方程组，求出 的值。 ④ 写：把 代回所设，写出函数解析式。 注意：题目有自变量实际范围，要标注自变量取值范围。 知识点五 一次函数与方程、不等式之间的关系 设一次函数 () 1. 与一元一次方程 方程 的解 直线 与 轴交点的横坐标。 1. 与二元一次方程组 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 1. 与一元一次不等式 ① 的解集：直线在 轴_______部分对应的 取值； ② 的解集：直线在 轴_______部分对应的 取值； ③ 比较两个函数大小：，看哪条直线在上方，对应 范围。 知识点六 一次函数与几何问题应用 1. 求线段长度：利用与坐标轴交点，结合坐标求线段长； 1. 求两直线交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组； 1. 面积计算 · 直线与坐标轴围成三角形面积：； · 多个直线围成图形面积，常用_______法； · ⚠ 坐标有正负，计算面积必须取绝对值。 1. 动点存在性问题：设动点坐标，结合函数表达式列方程求解。 知识点七 一次函数的实际应用 1. 解题步骤： 审题 分析变量，确定自变量与因变量 建立一次函数模型 确定自变量实际取值范围 求解 检验实际意义 作答。 1. 常见题型 ① 方案选择问题：求出各个方案函数，对比函数值选出最优方案； ② 行程问题： 一般代表路程， 代表时间；看懂图象拐点的实际含义； ③ 销售利润问题：构建利润关于销量的一次函数，结合增减性求最值； ④ 水费、电费等分段函数：不同区间对应不同函数解析式。 易错点1 一次函数与正比例函数的定义 易错提醒 易错点总结 1. 混淆定义，误以为正比例函数和一次函数是两类独立函数，不知道正比例是特殊的一次函数。 2. 忽略一次函数条件：k≠0，只看次数为1。 3. 误把常数项带参、含平方、分母含 x 的式子当成一次函数。 4. 求参数时常忘记排除 k=0 的情况，导致多解错解。 注意事项总结 1. 一次函数：y=kx+b(k≠0) 2. 正比例函数：y=kx(k≠0,b=0) 3. 判断标准：x 次数必须为1、不含分母、不含平方、k 绝对不能为0。 4. 正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 【对点训练】1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点2 一次函数的性质的综合应用 易错提醒 易错点总结 1. 记错增减性：k>0、k<0 增减趋势记反。 2. 不会根据 k、b 判断图像经过象限。 3. 比较函数值大小时，不看增减性、直接乱比。 4. 多个一次函数比较、取值范围判断混乱。 注意事项总结 1. k>0：y 随 x 增大而增大； k<0：y 随 x 增大而减小。 2. k 定增减，b 定与 y 轴交点。 3. 比较函数值：先看 k，再看 x 大小，严格按增减性判断。 4. 图像象限判断：先看 k 定升降，再看 b 定上下。 【对点训练】2．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 易错点3 一次函数的平移 易错提醒 易错点总结 1. 平移口诀记反、上下左右平移公式混乱。 2. 平移时误改 k 值，斜率改变导致整题错。 3. 分不清上下平移改 b、左右平移改 x。 4. 多条直线平行条件记错，不知道k 相等、b 不等。 注意事项总结 1. 平移斜率 k 永远不变，只改变截距 b。 2. 上下平移：上加下减（直接改 b） 3. 左右平移：左加右减（只改 x） 4. 两直线平行： k_1=k_2,b_1≠b_2 【对点训练】3．将直线（为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 易错点4 一次函数与坐标轴的交点问题 易错提醒 易错点总结 1. 求交点坐标代入错误，分不清 x 轴、y 轴条件。 2. 求与 x 轴交点不会令 y=0，求 y 轴交点不会令 x=0。 3. 求直线与坐标轴围成三角形面积时，漏绝对值，面积为负。 4. 截距和坐标混淆，误把 b 直接当横坐标。 注意事项总结 1. 与 x 轴交点：令 y=0，求 x。 2. 与 y 轴交点：令 x=0，求 y。 3. 三角形面积公式： 4. 面积必须正数，一定要带绝对值。 【对点训练】4．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 易错点5 一次函数与实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从题意找自变量、因变量，函数关系式列错。 2. 忽略实际自变量取值范围（时间、数量不能为负）。 3. 读图看错横轴、纵轴含义。 4. 最值问题不会利用增减性判断，乱代值。 注意事项总结 1. 先找变化量，列出一次函数解析式。 2. 实际问题必须写出自变量取值范围。 3. k>0 右端最大、左端最小；k<0 左端最大、右端最小。 4. 图像题先看横纵坐标代表什么，再做题。 【对点训练】5．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 易错点6 一次函数与几何问题综合 易错提醒 易错点总结 1. 不会联立两个一次函数求交点坐标。 2. 求图形面积、线段长度不带绝对值。 3. 动点几何不会用坐标表示线段，坐标符号混乱。 4. 平行、垂直条件记错。 注意事项总结 1. 两直线交点：联立方程组求解。 2. 坐标求长度必须用绝对值。 3. 几何面积优先用坐标轴割补法、铅垂高法。 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 易错点7 一次函数的点的变化规律探究 易错提醒 易错点总结 1. 找点坐标规律只会硬算，不会归纳通项公式。 2. 循环规律找错周期，导致第 n 个点坐标出错。 3. 增减规律、符号周期观察不全面，漏正负变化。 4. 不会结合一次函数解析式验证点的正确性。 注意事项总结 1. 找规律三步法：算前3个点→找周期→写通项。 2. 遇循环题型：先找周期，再用余数判断位置。 3. 所有求出的点必须满足一次函数解析式，用来检验对错。 4. 坐标正负、变化方向一定要统一规律。 【对点训练】7．如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 2．小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 3．已知一次函数，当x增大时，y随之减小，且，则其图像经过的象限是（     ） A．过一、二、四象限 B．过一、三、四象限 C．过二、三、四象限 D．过一、二、三象限 4．若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 二、填空题 6．已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 7．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 9．新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 10．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 0 1 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于轴对称；     ③该函数图象与坐标轴共有3个交点； ④若，则； ⑤关于的方程，不存在整数，使其有两个不相等的实数根． 其中正确的是_____________．（填写序号） 三、解答题 11．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 12．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_________； (2)关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 15．如图，已知直线交轴于点，交y轴于点． (1)直接写出 ； (2)直线与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，若，求的值； (3)点在直线上，若，求点坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $