第一章 勾股定理（六大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学勾股定理单元知识清单系统梳理了勾股定理的核心内容，涵盖定理概念、证明方法、勾股数、逆定理、应用及易错点六大范畴，搭建从“基础概念理解”到“证明逻辑掌握”再到“实际问题解决”的递进式学习支架。 清单采用“知识点分层细化+易错点深度剖析”的方式构建知识体系，如将定理证明明确为赵爽弦图、总统梯形证法等，标注“等面积法”核心逻辑，培养学生的推理意识和几何直观。特别设计“易错点步骤总结”（如折叠问题“找相等边→设x→列方程”）和“记忆技巧”（如勾股数“3、4、5乘倍数仍成立”），不同基础学生可高效掌握，教师能据此设计精准教学，提升课堂实效。

第一章 勾股定理 知识点一 勾股定理 1. 文字表述：在任意直角三角形中，两条直角边长的平方相加，结果等于斜边长的平方。 1. 公式区分：必须分清直角边与斜边，斜边是三角形最长边，不能随意代入边长。 1. 变形公式作用：已知任意两条边长，可求出第三条边长。 1. 面积拓展：结合等面积法，直角三角形两直角边乘积=斜边×斜边上的高，可快速求高。 1. 限制条件：锐角三角形、钝角三角形不能直接使用该公式。 知识点二 勾股定理的证明 1. 统一核心方法：等面积割补法，不靠测量，依靠代数化简严格证明。 1. 赵爽弦图：我国古代经典证法，考试填空、证明大题高频考点；利用大小正方形面积差推导公式。 1. 总统梯形证法：用一组全等直角三角形拼接梯形，拆分面积完成证明，步骤简洁。 1. 割补平移法：通过平移、旋转将两个小正方形拼接为大正方形，直观体现平方和关系。 知识点三 勾股数 1. 严格定义：三个数字必须是正整数，分数、小数、负数都不属于勾股数。 1. 记忆基础勾股数，选择填空可直接使用，减少计算量。 1. 倍数性质：如 3、4、5 同时乘 3 得 9、12、15，依旧满足勾股关系。 知识点四 勾股定理逆定理 1. 使用步骤：先找出三边中最长边，再计算平方对比，不能随便取边代入。 1. 拓展判定：可快速判断三角形属于锐角、直角、钝角三类，是几何证明垂直的重要工具。 1. 网格题用法：利用方格横向、纵向距离，算出线段平方，无需开方即可判断直角。 知识点五 勾股定理与逆定理区别与联系 1. 区别核心：定理是“有直角，算边长”；逆定理是“知边长，证直角”，二者功能不可混用。 1. 联系：互为逆定理，公式完全相同，几何大题经常组合使用，先判定直角再计算线段长度。 知识点六 勾股定理应用 1. 分类讨论易错点：已知直角三角形两边长，未说明斜边时，分两种情况计算，避免漏解。 1. 折叠问题解题关键：折叠前后对应线段长度相等，设未知数建立方程，是八年级必考大题。 1. 立体最短路径：立体表面无法直接连线，必须展开为平面图形，依据两点之间线段最短求解。 1. 实际应用题解题关键：剥离文字信息，画出直角三角形简图，标准化列式计算。 易错点1 勾股定理的证明 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂等面积法核心逻辑，不会列整体面积=局部面积和。 2. 证明过程跳步、乱代边长，分不清哪个边是 a、b、c。 3. 只会背结论，不会展开化简，大题书写不规范直接扣分。 4. 混淆不同证法的图形结构，赵爽弦图和总统证法公式乱用。 注意事项总结 1. 所有勾股证明统一思路：等面积法，先列面积等式，再代数化简。 2. 证明前先标注清楚：直角边 a、b，斜边 c，不标边绝对不能写过程。 3. 严格步骤：列面积式 → 展开 → 消项 → 得出。 4. 不同证法图形不能混用，图形对应公式固定。 【对点训练】1．如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 【答案】(1) ．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 易错点2 与弦图有关的计算与证明 易错提醒 易错点总结 1. 分不清弦图中大正方形、小正方形、直角三角形边长关系。 2. 误把小正方形边长当成斜边，导致全盘计算错误。 3. 不会使用弦图二级结论：大正方形面积 =c^2、小正方形面积 =。 4. 已知面积不会反求直角边、斜边。 注意事项总结 1. 赵爽弦图铁律：外围大正方形边长=斜边 c，内部小正方形边长 =|a-b|。 2. 固定公式：S_大正=，S_小正=，四个三角形面积和 =2ab。 3. 遇到弦图计算优先用整体代换，不单独硬算边长。 4. 看清题目求的是边长、周长还是面积，避免答非所问。 【对点训练】2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 易错点3 勾股定理与折叠问题 易错提醒 易错点总结 1. 忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的核心条件。 2. 不会设未知数，找不到可以用勾股的直角三角形。 3. 方程列错、边长对应错误，漏看隐藏直角三角形。 4. 求出未知数后忘记求最终所求线段，解题不完整。 注意事项总结 1. 折叠题万能步骤：找相等边 → 设 x → 用剩余边长表示另一边长 → Rt△ 列方程。 2. 所有折叠问题必须用方程思想，不能硬猜边长。 3. 重点观察折叠后新形成的直角三角形，这是解题突破口。 4. 解出 x 后代回原图检验边长合理，舍去不合理的值。 【对点训练】3．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 易错点4 勾股定理实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从生活场景中抽象出直角三角形模型。 2. 分不清直角边和斜边，最长边没有当作 c 代入公式。 3. 已知两边求第三边不分类讨论，漏掉一种情况丢分。 4. 单位不统一、最后不写答，步骤扣分。 注意事项总结 1. 实际题第一步：画图建模，标出垂直、直角、已知边长。 2. 无说明斜边时必须分类讨论：两边都是直角边 / 长边为斜边。 3. 永远记住：最长边才可以当斜边 c。 4. 统一单位、规范列式、最后必须写答句。 【对点训练】4．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 易错点5 求几何体中最短路径 易错提醒 易错点总结 1. 不会立体转平面，直接在立体图中连线计算，完全错误。 2. 展开长方体时展开方式不唯一，只算一种导致不是最短。 3. 展开后边长找错，长、宽、高对应混乱。 4. 圆柱展开长方形周长对应错误，底面周长算错。 注意事项总结 1. 立体最短路径铁律：先展开、再平面、后勾股。 2. 长方体三种展开方式，必须全部计算，取最小值才是最短路径。 3. 圆柱侧面展开：一边是高，一边是底面圆周长。 4. 依据：两点之间线段最短，折线一定不是最短。 【对点训练】5．如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 【答案】 【分析】连接交于点，依题意，，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 依题意，， 在中，，即为． 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数， 选项A中三个数都是小数，选项B中三个数都是无理数，都不是正整数，因此A、B错误； 对选项C，∵ ，，可得，因此C错误； 对选项D，∵ ，且6、8、10都是正整数，满足勾股数的定义，∴D正确． 2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 4．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 7．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 8．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺， 由题意得，． 9．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 10．如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 12．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 【答案】(1)解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； (2)、间的距离为18米． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出点，之间的距离． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 13．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 14．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】 （1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）如图2所示： 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 知识点一 勾股定理 1. 文字表述：在任意直角三角形中，两条直角边长的_________相加，结果等于________的平方。 1. 公式区分：必须分清________与________，斜边是三角形最长边，不能随意代入边长。 1. 变形公式作用：已知任意两条边长，可求出第三条边长。 1. 面积拓展：结合等面积法，直角三角形两直角边________=________×________，可快速求高。 1. 限制条件：锐角三角形、钝角三角形不能直接使用该公式。 知识点二 勾股定理的证明 1. 统一核心方法：等面积割补法，不靠测量，依靠代数化简严格证明。 1. 赵爽弦图：我国古代经典证法，考试填空、证明大题高频考点；利用大小正方形面积差推导公式。 1. 总统梯形证法：用一组全等直角三角形拼接梯形，拆分面积完成证明，步骤简洁。 1. 割补平移法：通过平移、旋转将两个小正方形拼接为大正方形，直观体现平方和关系。 知识点三 勾股数 1. 严格定义：三个数字必须是________，分数、小数、负数都不属于勾股数。 1. 记忆基础勾股数，选择填空可直接使用，减少计算量。 1. 倍数性质：如 3、4、5 同时乘 3 得 9、12、15，依旧满足勾股关系。 知识点四 勾股定理逆定理 1. 使用步骤：先找出三边中最长边，再计算平方对比，不能随便取边代入。 1. 拓展判定：可快速判断三角形属于锐角、直角、钝角三类，是几何证明垂直的重要工具。 1. 网格题用法：利用方格横向、纵向距离，算出线段平方，无需开方即可判断直角。 知识点五 勾股定理与逆定理区别与联系 1. 区别核心：定理是“有直角，算________”；逆定理是“知边长，证________”，二者功能不可混用。 1. 联系：互为逆定理，公式完全相同，几何大题经常组合使用，先判定直角再计算线段长度。 知识点六 勾股定理应用 1. 分类讨论易错点：已知直角三角形两边长，未说明斜边时，________计算，避免漏解。 1. 折叠问题解题关键：折叠前后对应线段________相等，设未知数建立方程，是八年级必考大题。 1. 立体最短路径：立体表面无法直接连线，必须展开为________，依据________________最短求解。 1. 实际应用题解题关键：剥离文字信息，画出直角三角形简图，标准化列式计算。 易错点1 勾股定理的证明 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂等面积法核心逻辑，不会列整体面积=局部面积和。 2. 证明过程跳步、乱代边长，分不清哪个边是 a、b、c。 3. 只会背结论，不会展开化简，大题书写不规范直接扣分。 4. 混淆不同证法的图形结构，赵爽弦图和总统证法公式乱用。 注意事项总结 1. 所有勾股证明统一思路：等面积法，先列面积等式，再代数化简。 2. 证明前先标注清楚：直角边 a、b，斜边 c，不标边绝对不能写过程。 3. 严格步骤：列面积式 → 展开 → 消项 → 得出。 4. 不同证法图形不能混用，图形对应公式固定。 【对点训练】1．如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 易错点2 与弦图有关的计算与证明 易错提醒 易错点总结 1. 分不清弦图中大正方形、小正方形、直角三角形边长关系。 2. 误把小正方形边长当成斜边，导致全盘计算错误。 3. 不会使用弦图二级结论：大正方形面积 =c^2、小正方形面积 =。 4. 已知面积不会反求直角边、斜边。 注意事项总结 1. 赵爽弦图铁律：外围大正方形边长=斜边 c，内部小正方形边长 =|a-b|。 2. 固定公式：S_大正=，S_小正=，四个三角形面积和 =2ab。 3. 遇到弦图计算优先用整体代换，不单独硬算边长。 4. 看清题目求的是边长、周长还是面积，避免答非所问。 【对点训练】2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 易错点3 勾股定理与折叠问题 易错提醒 易错点总结 1. 忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的核心条件。 2. 不会设未知数，找不到可以用勾股的直角三角形。 3. 方程列错、边长对应错误，漏看隐藏直角三角形。 4. 求出未知数后忘记求最终所求线段，解题不完整。 注意事项总结 1. 折叠题万能步骤：找相等边 → 设 x → 用剩余边长表示另一边长 → Rt△ 列方程。 2. 所有折叠问题必须用方程思想，不能硬猜边长。 3. 重点观察折叠后新形成的直角三角形，这是解题突破口。 4. 解出 x 后代回原图检验边长合理，舍去不合理的值。 【对点训练】3．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 易错点4 勾股定理实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从生活场景中抽象出直角三角形模型。 2. 分不清直角边和斜边，最长边没有当作 c 代入公式。 3. 已知两边求第三边不分类讨论，漏掉一种情况丢分。 4. 单位不统一、最后不写答，步骤扣分。 注意事项总结 1. 实际题第一步：画图建模，标出垂直、直角、已知边长。 2. 无说明斜边时必须分类讨论：两边都是直角边 / 长边为斜边。 3. 永远记住：最长边才可以当斜边 c。 4. 统一单位、规范列式、最后必须写答句。 【对点训练】4．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 易错点5 求几何体中最短路径 易错提醒 易错点总结 1. 不会立体转平面，直接在立体图中连线计算，完全错误。 2. 展开长方体时展开方式不唯一，只算一种导致不是最短。 3. 展开后边长找错，长、宽、高对应混乱。 4. 圆柱展开长方形周长对应错误，底面周长算错。 注意事项总结 1. 立体最短路径铁律：先展开、再平面、后勾股。 2. 长方体三种展开方式，必须全部计算，取最小值才是最短路径。 3. 圆柱侧面展开：一边是高，一边是底面圆周长。 4. 依据：两点之间线段最短，折线一定不是最短。 【对点训练】5．如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 7．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 8．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 9．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 10．如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 12．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 13．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 14．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $