第六章 数据的分析（四大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学“数据的分析”单元知识清单系统梳理了数据描述与分析的核心内容，涵盖平均数（算术、加权）、中位数、众数、方差、标准差及四分位数与箱线图等知识范畴，搭建了从概念定义、公式推导到特点应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类标注”“核心概念对比”构建知识体系，如将“算术平均数与加权平均数的区别”设为易错点并附注意事项，用“三者对比表”明晰平均数、中位数、众数的适用场景，培养学生的数据意识与推理意识。设计“对点训练”和“箱线图绘制步骤”，不同学生可针对性练习，教师能据此设计分层教学，提升复习效率。

第六章 数据的分析 知识点一 平均数 1. 算术平均数：一组数据所有数据之和除以数据的总个数。 公式：，反映一组数据的平均水平。 1. 加权平均数：当每个数据重要程度不同，赋予不同权重。 公式：； 权重可以是数据个数、比例、百分比，权重越大对平均数影响越___________。 1. 特点：平均数用到全部数据，容易受极端偏大、偏小值影响。 易错：出现极端值时，平均数不能很好代表这组数据的一般水平。 知识点二 中位数与众数 中位数 1. 定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）______后，处在______位置的数。 · 数据个数为奇数：中间那一个数据就是中位数； · 数据个数为偶数：中间两个数据的______是中位数。 1. 特点：只和数据位置有关，不受极端值影响。 众数 1. 定义：一组数据中__________________的数据。 1. 注意：一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。 1. 特点：反映数据集中出现最多的数值，不受极端值影响。 三者对比：平均数反映平均水平；中位数反映中间水平；众数反映多数水平。 知识点三 方差、标准差 用来刻画一组数据的波动大小、离散程度。 1. 方差 公式： · 方差越大：数据波动越大，数据越____________； · 方差越小：数据波动越小，数据越____________。 1. 标准差：方差的算术平方根，；单位和原数据单位一致。 ⚠ 易错：方差一定是非负数；比较方差大小，两组数据平均数相近时比较才有意义。 知识点四 四分位数与箱线图 1. 四分位数 将排序后的数据分成四部分，三个分割点就是四分位数： · ：下四分位数（第25百分位数），数据从小到大排，处在______位置； · ：中位数（第______百分位数）； · ：上四分位数（第______百分位数）。 1. 四分位距：，反映中间50%数据的离散程度，不受极端值干扰。 1. 箱线图（箱形图） 组成：最小值、、中位数、、最大值，五个关键数值绘制而成。 作用： ① 直观对比多组数据的分布、集中位置； ② 识别异常值（极端离群数据）； ③ 箱体越矮，代表中间部分数据越____________。 易错点1 利用已知的平均数与方差求相关数据的平均数与方差 易错提醒 易错点总结 1. 混淆算术平均数与加权平均数，直接对两组平均数取算术平均，忽略两组数据的数据个数不同。 2. 对数据整体平移、缩放之后，不会正确推导新数据的平均数，变换规则记错。 3. 部分数据改动，不会利用平均数与数据总和的关系求解，直接重新全部计算，容易计算出错。 注意事项总结 1. 两组数据求总平均数，不能简单求两个平均数的平均值，要用总数量÷总个数。 2. 若一组数据每个数加 a，平均数加 a；每个数乘 k，平均数乘 k。 【对点训练】1．已知一组数据，，，，的平均数为，方差为，求数据，，，，的平均数和方差． 易错点2 利用平均数与加权平均数做决策 易错提醒 易错点总结 1. 分不清算术平均数和加权平均数，忽略权重，直接简单平均。 2. 权重理解错误，看错各部分所占权重，权重之和不等于1。 3. 只依靠平均数做决策，忽略数据实际背景，不会结合题意分析结果。 注意事项总结 1. 各部分重要程度不同时，使用加权平均数；权重可以是比值、分数、百分比。 2. 所有权重相加必须等于1。 3. 做决策不能只看计算结果，结合题目情境，按权重意义分析，选出合理方案。 【对点训练】2．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 易错点3 根据方差判断稳定性或做决策 易错提醒 易错点总结 1. 方差大小与稳定性记忆颠倒，误认为方差越大，数据波动越小、越稳定。 2. 比较两组数据，只比较方差，忽略平均数不同，直接下结论。 3. 不会理解方差的实际意义，只机械套公式计算，不会结合实际问题做决策。 注意事项总结 1. 方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定。 2. 只有平均数相等或者接近时，才能直接用方差比较稳定性。 3. 做决策：平均数相同时，优先选择方差小的；结合实际需求，不是所有情况都选稳定。 【对点训练】3．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 易错点4 平均数、众数与箱线图 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂箱线图，分不清四分位数、最大值、最小值，找错中位数。 2. 混淆平均数、中位数、众数，不会从箱线图读取众数，箱线图无法直接读出众数。 3. 错误用平均数代表箱线图反映的整体水平，没有考虑极端值的影响。 4. 不会利用箱线图比较两组数据的分布、集中趋势。 注意事项总结 1. 箱线图五要素：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值；箱线图不能得到众数。 2. 存在极端异常值时，中位数比平均数更适合代表这组数据的整体水平。 3. 箱子越窄，数据中间部分越集中；须越长，数据离散程度越大。 4. 对比两组箱线图，优先看中位数判断整体水平，看箱体宽窄判断集中程度。 【对点训练】4．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 一、单选题 1．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 2．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 3．下列说法中正确的是（     ） A．数据5，3，3，6，5的众数是3 B．数据2，3，1，0的中位数是2 C．一组数据的众数和中位数不可能相等 D．数据0，5，，，6的中位数和平均数都是0 4．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 5．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门对相关工作进行了督查，随机调查了某校10名学生的“体质”情况，并了解到他们一周在校参加体育运动的时间，如下表： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 4 3 1 则这10名同学一周在校参加体育运动时间的平均数和中位数分别为（     ） A．6.2小时，6小时 B．6.2小时，7小时 C．6.3小时，6小时 D．6.3小时，7小时 二、填空题 6．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 7．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 8．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 9．按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 10．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 三、解答题 11．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 12．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)计算c的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 13．为了调查共同富裕示范区情况，某数学实践小组对甲、乙两个社区进行了调查，采用了抽样调查的方法，甲、乙两个社区均随机抽取10户家庭，收集2025年居民人均可支配收入，并对数据进行整理，制成如下统计表： 社区 平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元） 方差（万元） 甲 7 乙 7 由于统计过程中的操作失误，使最终的数据遗失了2个，分别记为和，不妨设． 不完整的数据如下：（单位：万元） 甲： 乙： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若甲社区有100户家庭，请估计甲社区有多少户家庭2025年居民人均可支配收入超过万元； (2)求和的值； (3)你认为哪个社区在共同富裕方面取得的成效更显著？请说明理由． 14．在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题： (1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 15．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数据的分析 知识点一 平均数 1. 算术平均数：一组数据所有数据之和除以数据的总个数。 公式：，反映一组数据的平均水平。 1. 加权平均数：当每个数据重要程度不同，赋予不同权重。 公式：； 权重可以是数据个数、比例、百分比，权重越大对平均数影响越大。 1. 特点：平均数用到全部数据，容易受极端偏大、偏小值影响。 易错：出现极端值时，平均数不能很好代表这组数据的一般水平。 知识点二 中位数与众数 中位数 1. 定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，处在中间位置的数。 · 数据个数为奇数：中间那一个数据就是中位数； · 数据个数为偶数：中间两个数据的平均数是中位数。 1. 特点：只和数据位置有关，不受极端值影响。 众数 1. 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 1. 注意：一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。 1. 特点：反映数据集中出现最多的数值，不受极端值影响。 三者对比：平均数反映平均水平；中位数反映中间水平；众数反映多数水平。 知识点三 方差、标准差 用来刻画一组数据的波动大小、离散程度。 1. 方差 公式： · 方差越大：数据波动越大，数据越不稳定； · 方差越小：数据波动越小，数据越稳定。 1. 标准差：方差的算术平方根，；单位和原数据单位一致。 ⚠ 易错：方差一定是非负数；比较方差大小，两组数据平均数相近时比较才有意义。 知识点四 四分位数与箱线图 1. 四分位数 将排序后的数据分成四部分，三个分割点就是四分位数： · ：下四分位数（第25百分位数），数据从小到大排，处在25%位置； · ：中位数（第50百分位数）； · ：上四分位数（第75百分位数）。 1. 四分位距：，反映中间50%数据的离散程度，不受极端值干扰。 1. 箱线图（箱形图） 组成：最小值、、中位数、、最大值，五个关键数值绘制而成。 作用： ① 直观对比多组数据的分布、集中位置； ② 识别异常值（极端离群数据）； ③ 箱体越矮，代表中间部分数据越集中。 易错点1 利用已知的平均数与方差求相关数据的平均数与方差 易错提醒 易错点总结 1. 混淆算术平均数与加权平均数，直接对两组平均数取算术平均，忽略两组数据的数据个数不同。 2. 对数据整体平移、缩放之后，不会正确推导新数据的平均数，变换规则记错。 3. 部分数据改动，不会利用平均数与数据总和的关系求解，直接重新全部计算，容易计算出错。 注意事项总结 1. 两组数据求总平均数，不能简单求两个平均数的平均值，要用总数量÷总个数。 2. 若一组数据每个数加 a，平均数加 a；每个数乘 k，平均数乘 k。 【对点训练】1．已知一组数据，，，，的平均数为，方差为，求数据，，，，的平均数和方差． 【答案】平均数为，方差为 【分析】本题考查数据的平均数及方差，根据题意得，，再根据公式计算数据，，，，的平均数和方差即可．掌握平均数及方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为，方差为， ∴，， ∴，， ∴数据，，，，的平均数为： ， 方差为： ， ∴数据，，，，的平均数为，方差为． 易错点2 利用平均数与加权平均数做决策 易错提醒 易错点总结 1. 分不清算术平均数和加权平均数，忽略权重，直接简单平均。 2. 权重理解错误，看错各部分所占权重，权重之和不等于1。 3. 只依靠平均数做决策，忽略数据实际背景，不会结合题意分析结果。 注意事项总结 1. 各部分重要程度不同时，使用加权平均数；权重可以是比值、分数、百分比。 2. 所有权重相加必须等于1。 3. 做决策不能只看计算结果，结合题目情境，按权重意义分析，选出合理方案。 【对点训练】2．某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】解：甲同学的最终决赛成绩为（分）， 乙同学的最终决赛成绩为（分）． ， 甲同学会获得第一名． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 【详解】略 易错点3 根据方差判断稳定性或做决策 易错提醒 易错点总结 1. 方差大小与稳定性记忆颠倒，误认为方差越大，数据波动越小、越稳定。 2. 比较两组数据，只比较方差，忽略平均数不同，直接下结论。 3. 不会理解方差的实际意义，只机械套公式计算，不会结合实际问题做决策。 注意事项总结 1. 方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定。 2. 只有平均数相等或者接近时，才能直接用方差比较稳定性。 3. 做决策：平均数相同时，优先选择方差小的；结合实际需求，不是所有情况都选稳定。 【对点训练】3．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【答案】(1)80 (2)表示甲成绩变化情况的折线如图所示： (3)，选拔甲参加比赛更合适， 理由：∵，，，．， ∴，， ∴甲的成绩比较稳定，故选拔甲参加比赛更合适． 【分析】（1）用总分减去已知分数可得a； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）根据方差公式求解甲的方差，再从平均数和方差进行分析即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）略 （3）解：． 易错点4 平均数、众数与箱线图 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂箱线图，分不清四分位数、最大值、最小值，找错中位数。 2. 混淆平均数、中位数、众数，不会从箱线图读取众数，箱线图无法直接读出众数。 3. 错误用平均数代表箱线图反映的整体水平，没有考虑极端值的影响。 4. 不会利用箱线图比较两组数据的分布、集中趋势。 注意事项总结 1. 箱线图五要素：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值；箱线图不能得到众数。 2. 存在极端异常值时，中位数比平均数更适合代表这组数据的整体水平。 3. 箱子越窄，数据中间部分越集中；须越长，数据离散程度越大。 4. 对比两组箱线图，优先看中位数判断整体水平，看箱体宽窄判断集中程度。 【对点训练】4．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)70，90，96 (2)甲组的箱线图如下： (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于90分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （2）先求得甲组数据中，最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， 则甲组前半部分有5个数据，则下四分位数是70； 甲组数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，则中位数为， 甲组的后半部分有5个数据，则上四分位数是96； 解法二：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， ∵，，， ∴，，； （2）略 （3）略 一、单选题 1．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 2．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 3．下列说法中正确的是（     ） A．数据5，3，3，6，5的众数是3 B．数据2，3，1，0的中位数是2 C．一组数据的众数和中位数不可能相等 D．数据0，5，，，6的中位数和平均数都是0 【答案】D 【详解】解：A、数据5，3，3，6，5中数据3和5出现的次数相同且最多，故众数为3和5，故本选项错误； B、数据2，3，1，0排序后为0、1、2、3，故中位数为，故本选项错误； C、当一组数据的每个数据相等时，其众数及中位数相等，故本选项错误； D、数据的中位数为0，平均数为，故本选项正确． 4．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征逐一判断即可． 【详解】解：选项：甲组的极差比乙组大，且甲组箱体长度大于乙组，故甲组跳绳次数的波动比乙组大，正确； 选项：甲组跳绳次数的下四分位数约，小于，正确； 选项：甲组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数比甲组小，正确； 选项：乙组跳绳次数的最大值约，大于，错误． 5．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门对相关工作进行了督查，随机调查了某校10名学生的“体质”情况，并了解到他们一周在校参加体育运动的时间，如下表： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 4 3 1 则这10名同学一周在校参加体育运动时间的平均数和中位数分别为（     ） A．6.2小时，6小时 B．6.2小时，7小时 C．6.3小时，6小时 D．6.3小时，7小时 【答案】C 【详解】解：平均数为（小时）． 将10个数据从小到大排列为5，5，6，6，6，6，7，7，7，8，数据总个数为10，则中位数为第5、6个数据的平均数，第5、6个数据均为6小时， ∴中位数为（小时）. 二、填空题 6．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 7．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 8．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据上四分位数的计算规则求解即可． 【详解】解： 方法1：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， ∵本组数据总个数为，上四分位数即分位数， ∴计算位置得， ∵不是整数，向上取整得， ∴上四分位数为排序后第个数据，即． 方法2：这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， 中位数为， ∵后半段：， ∴上四分位数为后半段数据的中位数． 9．按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 【答案】8 【分析】分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，将两组结果相加得到最终答案． 【详解】解：第一组数据为，平均数为，离差平方和为， 第二组数据为，平均数为，离差平方和为， ∴组内离差平方和为． 10．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 【答案】9 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， （分）， 答：他期末操行得分为9分． 三、解答题 11．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用 (2)乙将被录用 【分析】（1）求出甲乙两人的分数的算术平均数，再比较即可； （2）求出甲乙两人的分数的加权平均数，再比较即可． 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：， ∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：， ∵ ∴乙将被录用． 12．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)计算c的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 【答案】(1)5，4 (2)， 从平均数来看，二者平均数结果相同，差异不大，但从方差来看，甲款情绪机器人明显大于乙款情绪机器人，而方差越小表明数据点集中在平均值附近，波动小，表现越稳定， 综合以上情况而言，乙款情绪机器人的表现更优秀． 【分析】（1）根据平均数和众数的定义即可求解； （2）先利用方差公式求出c的值，再结合平均数和方差的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：甲款情绪机器人的平均数为， 甲款情绪机器人的6轮测试结果中，4出现了3次，次数最多，则众数． （2）略 13．为了调查共同富裕示范区情况，某数学实践小组对甲、乙两个社区进行了调查，采用了抽样调查的方法，甲、乙两个社区均随机抽取10户家庭，收集2025年居民人均可支配收入，并对数据进行整理，制成如下统计表： 社区 平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元） 方差（万元） 甲 7 乙 7 由于统计过程中的操作失误，使最终的数据遗失了2个，分别记为和，不妨设． 不完整的数据如下：（单位：万元） 甲： 乙： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若甲社区有100户家庭，请估计甲社区有多少户家庭2025年居民人均可支配收入超过万元； (2)求和的值； (3)你认为哪个社区在共同富裕方面取得的成效更显著？请说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3)甲社区成效更显著 ，理由如下： 两个社区样本的平均收入相同，说明整体平均收入水平一致；但甲社区的中位数、众数都比乙社区更高，且方差远小于乙社区，说明甲社区的居民收入差距更小，大部分家庭的收入处于更高的区间，收入分配更均衡， 因此甲社区共同富裕的成效更显著． 【分析】（1）根据题意可得随机抽取10户家庭中有4户家庭2025年居民人均可支配收入超过万元，再根据样本估计总体解答即可； （2）根据平均数和众数的意义解答即可； （3）根据平均数，中位数，众数，方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：户， 即甲社区有40户家庭2025年居民人均可支配收入超过万元； （2）解：∵乙社区的居民人均可支配收入的平均数为7万元， ∴， 即， ∵乙社区的居民人均可支配收入的众数为万元， ∴a、b中至少有一个为， ∵， ∴； （3）略 14．在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题： (1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 【答案】(1)73，92 (2)第一四分位数是80，第三四分位数是96，绘制乙同学测试成绩的箱线图如下： (3)解：选乙． 理由： 甲的成绩平均数：，乙的成绩的平均数： 乙的成绩的平均数高，乙的成绩更稳定． 甲的中位数90，乙的中位数92，甲的众数是73，乙的众数是92， 乙的中位数和众数都是90以上，说明乙的成绩更稳定． 观察图可知，乙的箱线图更窄一些，说明四分位距更小， 乙的成绩波动更小，发挥更稳定． 综上所述，应选派乙同学参加比赛． 【分析】（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的数就是众数）和中位数的定义（一组数据按照从小到大顺序排列，若是奇数个，取最中间数；若是偶数个，取最中间两个数平均数）即可分别求出和的值． （2）利用第一四分位数和第三四分位数的定义求出两个值，根据求出的数值补充箱线图即可． （3）分别对比甲乙的中位数、众数、平均数以及观察箱线图，即可判断哪个同学成绩波动较小，发挥稳定，即可求出应派谁参加比赛． 【详解】（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下， ， 出现次数最多的是73，即． 乙的成绩按照从小到大的顺序排列如下， ， 中位数． （2）解：解法一：乙同学的中位数是， 乙同学测试成绩的第一四分位数是前部分的中位数：，第三四分位数是后半部分的中位数：. 解法二：乙同学的成绩为， 由可知，第一四分位数是第三个数据和第四个数据的平均值，即， 由可知，第三四分位数是第9个数据和第10个数据的平均值，即． 图略． （3）略． 15．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3) 解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $