四川达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（一）

**基本信息** 暑假预习自测数学卷，覆盖第1-3章四边形、一元二次方程、相似三角形，A/B卷分层设计，基础巩固与能力提升结合，注重几何直观、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|矩形菱形性质、一元二次方程概念|基础概念辨析，如对角线性质比较| |填空题|10/40|相似比、菱形面积、方程转化|等边三角形中AE长度计算，考查推理| |解答题|8/78|方程应用、四边形证明、动点综合|生物园地小道问题（方程建模）、矩形动点（几何直观）|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（一） 满分：150分 时间：120分钟 内容：第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 4．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（　　）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 5．一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和2 6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG，则△CEF的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝　　 ． 10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　　 ． 11．已知，则　　 ． 12．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　　 ． 13．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF．若点E，A，G在同一直线上，EG＝8，BC＝7，则△ABC的面积为　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）（x﹣1）2﹣2＝0； （2）； （3）x（x﹣2）＝x﹣2； （4）3x2﹣5x﹣2＝0． 15．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值． 16．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形． 17．端午节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400． （1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 　　 个，每天的总利润为 　　 元． （2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？ 18．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F， （1）试说明△ABD≌△BCE； （2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由； （3）BD2＝AD•DF吗？请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝　　 ． 20．已知x2+4x﹣2＝0，那么3x2+12x+2026的值为 　　 ． 21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　　 ． 22．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 　　 ． 23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值是　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知：关于x的方程x2﹣（8﹣4m）x+4m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围． （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1x2，求出符合条件的m的值． 25．如图：△PQR是等边三角形，∠APB＝120°． （1）求证：QR2＝AQ•RB． （2）若AP＝2，AQ＝2．求RQ的长和△PRB的面积． 26．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m． （1）当m＝1时，求PE的长； （2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由； （3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/10 8:23:36；用户：郭立；邮箱：15881890155；学号：43938924 参 考 答 案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（一） 满分：150分 时间：120分钟 内容：第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【解答】解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，也不平分一组对角，故答案应为对角线互相平分，所以ACD错误，B正确． 故选：B． 2．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根 【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1， ∵x＝1时，左边＝3，右边＝3， ∴左边＝右边， ∴x＝1是方程的根， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 【解答】解：在△ADE与△ACB中， ， ∴△ADE∽△ACB， ∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝1：4， ∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3． 故选：C． 4．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（　　）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm， 6×x＝24， 解得：x＝8， 菱形的边长为：5（cm）， 故选：B． 5．一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和2 【解答】解：∵x（x﹣3）＝3﹣x， ∴x（x﹣3）+（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 故选：C． 6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO4， 即△OAB为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形． 故AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600． 故选：C． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG，则△CEF的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE， ∴AB＝BE＝6， ∵BG⊥AE，垂足为G， ∴AE＝2AG． 在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6，BG＝4， ∴AG2， ∴AE＝2AG＝4； ∴S△ABEAE•BG4×48． ∵BE＝6，BC＝AD＝9， ∴CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3， ∴BE：CE＝6：3＝2：1． ∵AB∥FC， ∴△ABE∽△FCE， ∴S△ABE：S△CEF＝（BE：CE）2＝4：1， 则S△CEFS△ABE＝2． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝　21　 ． 【解答】解：∵x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， 故答案为：21． 10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　6　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6． 故答案为：6． 11．已知，则　　 ． 【解答】解：设x＝3k，y＝4k， ∴． 12．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　2　 ． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0， 解得p＝2． 故答案为：2． 13．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF．若点E，A，G在同一直线上，EG＝8，BC＝7，则△ABC的面积为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABED和四边形ACGF是正方形， ∴∠EAB＝∠GAC＝45°， ∵E，A，G在同一直线上， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 设AB＝x，AC＝y， ∵EG＝8，BC＝7， ∴x2+y2＝72，xy＝8， ∴x+y＝8， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝64， ∴2xy＝15， ∴xy， ∴△ABC的面积AB•ACxy， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）（x﹣1）2﹣2＝0； （2）； （3）x（x﹣2）＝x﹣2； （4）3x2﹣5x﹣2＝0． 【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2， x﹣1， ∴， ∴； （2）t2+4t＝2， t2+4t+4＝2+4，即（t+2）2＝6， ∴， ∴． （3）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝2，x2＝1； （4）3x2﹣5x﹣2＝0． （x﹣2）（3x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或3x+1＝0， ∴． 15．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值． 【解答】证明：（1）∵a＝2，b＝k，c＝﹣1 ∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8， ∵无论k取何值，k2≥0， ∴k2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根． 解：（2）把x＝﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1＝0 ∴k＝1 ∴原方程化为2x2+x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2，即另一个根为． 16．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形． 【解答】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°． ∴四边形BEDF为矩形． 又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DF＝DE． ∴矩形BEDF为正方形． 17．端午节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400． （1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 　560　 个，每天的总利润为 　1008　 元． （2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？ 【解答】解：（1）由题意可得：若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为800×0.2+400＝560（个）， 每天的总利润为：560×（2﹣0.2）＝1008（元）． 故答案为：560；1008； （2）由题意，得（2﹣x）（800x+400）＝1200， 解得：x＝0.5或x＝1． 当x＝1时，y＝800+400＝1200＞1100，超过每天可以制作的最大量，故不符合题意． 所以，当每个粽子的单价降低0.5元时，该店每天的总利润刚好是1200元． 18．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F， （1）试说明△ABD≌△BCE； （2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由； （3）BD2＝AD•DF吗？请说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE， 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE； （2）△AEF与△ABE相似． 由（1）得：∠BAD＝∠CBE， 又∵∠ABC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠EAF， 又∵∠AEF＝∠BEA， ∴△AEF∽△BEA； （3）BD2＝AD•DF． 由（1）得：∠BAD＝∠FBD， 又∵∠BDF＝∠ADB， ∴△BDF∽△ADB， ∴， 即BD2＝AD•DF． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝　5　 ． 【解答】解：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E， ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD，∠D＝90°， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴平行四边形BDCE是矩形， ∴CE＝BD＝2，BE＝CD＝4，∠E＝90°， ∴AE＝AC+CE＝1+2＝3， ∴在Rt△ABE中，AB5． 故答案为：5． 20．已知x2+4x﹣2＝0，那么3x2+12x+2026的值为 　2032　 ． 【解答】解：∵x2+4x﹣2＝0， ∴x2+4x＝2， ∵3x2+12x+2016＝3（x2+4x）+2026， ∴3x2+12x+2016＝6+2026＝2032， 故答案为：2032． 21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4， 在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4， ∴BC5， ∵OE⊥BC， ∴OE•BCOB•OC， ∴OE． 故答案为． 22．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 　7　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC； ∴CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6； ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120° ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE， 则， 即， 解得：CE＝2， 故AE＝AC﹣CE＝9﹣2＝7． 故答案为：7． 23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值是　　 ． 【解答】解：连接BE， ∵四边形ABCD是正方形，E是CD的中点， ∴点B、D关于直线AC对称，CECD＝1， ∴BE即是PD+PE的最小值， ∴BE． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知：关于x的方程x2﹣（8﹣4m）x+4m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围． （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1x2，求出符合条件的m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（8﹣4m）2﹣4×4m2＞0， 解得m＜1； （2）根据题意得x1+x2＝8﹣4m，x1x2＝4m2， ∵x1+x2＝x1x2， ∴8﹣4m＝4m2， 整理得m2+m﹣2＝0， 解得m1＝﹣2，m2＝1， ∵m＜1， ∴m的值为﹣2． 25．如图：△PQR是等边三角形，∠APB＝120°． （1）求证：QR2＝AQ•RB． （2）若AP＝2，AQ＝2．求RQ的长和△PRB的面积． 【解答】（1）证明：∵△PQR是等边三角形， ∴QR＝PQ＝PR，∠PQR＝∠PRQ＝∠QPR＝60°， ∴∠AQP＝∠PRB＝120°， ∴∠A+∠APQ＝60°， 又∵∠APB＝120°， ∴∠A+∠B＝60°， ∴∠APQ＝∠B， ∴△AQP∽△PRB， ∴， 而QR＝PQ＝PR， ∴QR2＝AQ•RB． （2）作PC⊥AB于C． 设PQ＝RQ＝x， 则QCx，PCx， 在Rt△APC中，则有（2）2＝（2x）2+（x）2， 解得x＝4或﹣6（舍）， ∴QR＝4． ∴底边RQ的高为PC＝22， ∵QR2＝AQ•RB． ∴42＝2RB， ∴RB＝8， ∴△PRB的面积为8×28． ∴RQ＝4，△PRB的面积为8． 26．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m． （1）当m＝1时，求PE的长； （2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由； （3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【解答】解：（1）连接BE， 由已知：在Rt△ADC中，AC， 当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4， ∵PE⊥CD， ∴∠PEC＝∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝∠PCE， ∴△ACD∽△PCE， ∴， 即， ∴PE； 解法二：求出三角形ACD的面积，接着连接DP，根据两三角形同高，求得三角形DPC的面积为4.8， 再根据面积法求得PE＝2.4． （2）如图1，当△PAB≌△PEB时， ∴PA＝PE， ∵AP＝m，则PC＝5﹣m， 由（1）得：△ACD∽△PCE， ∴， ∴PE， 由PA＝PE，即， 解得：m， ∴EC， ∴BE， ∴△PAB与△PEB不全等， ∴不能使得△PAB≌△PEB； （3）如图2，延长EP交AB于G， ∵BP⊥PF， ∴∠BPF＝90°， ∴∠EPF+∠BPG＝90°， ∵EG⊥AB， ∴∠PGB＝90°， ∴∠BPG+∠PBG＝90°， ∴∠PBG＝∠EPF， ∵∠PEF＝∠PGB＝90°， ∴△BPG∽△PFE， ∴， 由（1）得：△PCE∽△ACD，PE， ∴， 即， ∴EC， ∴BG＝EC， ∴， ∴5m+4n＝16． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/10 8:23:36；用户：郭立；邮箱：15881890155；学号：43938924 学科网（北京）股份有限公司 $