四川省达州市耀华中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 以神舟十九号科技热点为情境，分层设计选择、填空、解答题，考查数学抽象、推理与模型意识，适配九年级开学知识检测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|菱形/矩形性质、不等式变形、因式分解|基础概念辨析，如假命题判断（第1题）| |填空题|10题40分|分式值为零、平移面积、菱形角度计算|几何变换与代数结合，如平移阴影面积（第11题）| |解答题|8题78分|函数综合、四边形证明、应用题|科技情境应用（第25题神舟模型利润）、几何动态综合（第26题对称与旋转）|

四川省达州市耀华中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 2．若a＜b，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B． C．﹣2+a＜﹣2+b D． 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 4．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 5．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 6．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7） 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝6，AD＝8，则OA的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 8．南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为零，则x的值是 　　 ． 10．因式分解18x2y﹣12xy+2y＝__________． 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，若CC′＝3，A′D＝4，则图中阴影部分的面积为　　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　　 ． 13．如图，四边形ABCD是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点H，交AD于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于GH长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线AM，DN相交于点P．若AP＝4，BC＝8，则PD的长为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3． 16．（10分）如图，在边长为1的小正方形格中，△ABC的顶点均在格点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标为 　　 ； （2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点对称的△A2B2C2． 17．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝4，，求菱形BEDF的边长． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝4x+b与直线l2相交于点B（m，4），直线l1与l2分别与x轴交于点A（﹣2，0），点C（2，0）． （1）求直线l2的解析式； （2）若点M是直线l2上一动点，且满足，求M点坐标； （3）D为平面内一点，且以A，B，C，D为顶点的四边形恰好为平行四边形，请直接写出点D的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若a﹣b＝﹣1，ab＝6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 　　． 20．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为　　． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式kx＜ax+3的解集是_______． 22．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝5，∠B＝60°，在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AB于E，则AE的长为　　 ． 23．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，BC边上的中点，G为DE上一点，若AB＝4，∠B＝∠EGF＝60°，则DG的长为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DB平分∠ADC，AE∥BD，DE∥AC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝10，求OE的长． 25．（10分）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ （3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80台．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为 　30　 ． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是边AB上一个动点，点D是边AC上一个动点，点D关于CP的对称点为点H． （1）如图1，当点H与点B重合时，连接DP． ①直接写出DP与PB的数量关系； ②求证：AD＝PB； （2）如图2，当点P是AB中点时，把线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK，连接KH，求证：CP＝KH； （3）在（2）的条件下，当BC＝2，△AKH是直角三角形时，直接写出AH长． 参考答案 四川省达州市耀华中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意； 故选：A． 2．若a＜b，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B． C．﹣2+a＜﹣2+b D． 【解答】解：A．∵a＜b，∴a﹣b＜0，不成立，不符合题意； B．∵a＜b，∴ab，不成立，不符合题意； C．a＜b，∴﹣2+a＜﹣2+b，成立，符合题意； D．a＜b，∴b，不成立，不符合题意． 故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠ABE＝∠MEB，∠NEC＝∠ACE， ∴MB＝ME，NE＝NC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+5＝8， 故选：C． 4．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A：右边为2（x2﹣2），未分解彻底，不符合题意； B：右边为x2+2xy+y2，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； C：右边为x（x﹣3）+4，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D：右边为xy（x﹣y），是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； 故选：D． 5．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 【解答】解：把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7） 【解答】解：点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标（﹣3，1）． 故选：A． 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝6，AD＝8，则OA的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O， ∴，∠BAD＝90°，AC＝BD， ∵AB＝6，AD＝8， ∴， ∴AC＝BD＝10， ∴若AB＝6，AD＝8，则， 故选：C． 8．南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设原计划每小时种x株， 根据题意得，． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为零，则x的值是 　﹣2　 ． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴x2﹣4＝0且x﹣2≠0， 解得x＝±2且x≠2， ∴x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ 　2y（3x﹣1）2 ． 【解答】解：18x2y﹣12xy+2y ＝2y（9x2﹣6x+1） ＝ 2y（3x﹣1）2， 故答案为：2y（3x﹣1）2． 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，若CC′＝3，A′D＝4，则图中阴影部分的面积为　18　 ． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8．将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'，CC′＝3，A′D＝4， ∴BB′＝CC′＝3，A′B′＝AB＝8，△ABC≌△A′B′C′， ∴S△ABC＝S△A′B′C′，即S阴影+S△DB′C＝S△DB′C+S梯形ABB′D， ∴ ， 故答案为：18． 12．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　70°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD判定平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC40°＝20°， ∵AB⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°． 故答案为：70°． 13．如图，四边形ABCD是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点H，交AD于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于GH长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线AM，DN相交于点P．若AP＝4，BC＝8，则PD的长为 　4　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8，AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 由作图知，AP平分∠BAD，DP平分∠ADC， ∴∠PAD+∠PDA， ∴∠APD＝90°， ∴PD4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x≤5， 解不等式②，得x≥4， ∴不等式组的解集为4≤x≤5； （2）方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣3（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1）， 去括号，得x2+x﹣3x+3＝x2﹣1， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式2． 16．（10分）如图，在边长为1的小正方形格中，△ABC的顶点均在格点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标为 　（2，﹣2）　 ； （2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点对称的△A2B2C2． 【解答】解：（1）∵边长为1的小正方形格，点B在第三象限， ∴点B（﹣2，﹣2）； 则点B关于y轴的对称点坐标为（2，﹣2）， （2）△A1B1C1见图1： （3）△A2B2C2见图2： ． 17．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝4，，求菱形BEDF的边长． 【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； 又∵AC⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （Ⅱ）解：∵AB＝AD＝4， 由勾股定理得：AC＝BD＝4， ∵OA＝OB， ∴AE， ∴OE＝OA﹣AE， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE， 故菱形BEDF的边长为． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝4x+b与直线l2相交于点B（m，4），直线l1与l2分别与x轴交于点A（﹣2，0），点C（2，0）． （1）求直线l2的解析式； （2）若点M是直线l2上一动点，且满足，求M点坐标； （3）D为平面内一点，且以A，B，C，D为顶点的四边形恰好为平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝4x+b得：0＝﹣8+b， 解得b＝8， ∴y＝4x+8， 把B（m，4）代入y＝4x+8得：4＝4m+8， 解得m＝﹣1， ∴B（﹣1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b'，把B（﹣1，4），C（2，0）代入得：， 解得， ∴直线l2的解析式为yx； （2）设M（t，t）， ∵A（﹣2，0），C（2，0）， ∴AC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵B（﹣1，4）， ∴S△ABC4×4＝8， ∴S△ABMS△ABC， 当M在线段BC上时，S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝8， ∴4×（t）， 解得t＝0， ∴M（0，）； 当M在线段CB延长线上时，S△ACM＝S△ABC+S△ABM＝8， ∴4×（t）， 解得t＝﹣2， ∴M（﹣2，）； 综上所述，M的坐标为（0，）或（﹣2，）； （3）设D（d，n），又A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0）， 当DA，BC为对角线时，DA，BC的中点重合， ∴， 解得， ∴D（3，4）； 当DB，AC为对角线时，同理可得， 解得， ∴D（1，﹣4）； 当DC，AB为对角线时，同理可得， 解得， ∴D（﹣5，4）； 综上所述，D的坐标为（3，4）或（1，﹣4）或（﹣5，4）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若a﹣b＝﹣1，ab＝6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 　6　 ． 【解答】解：∵ab＝6，a﹣b＝﹣1， ∴原式＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2 ＝6×（﹣1）2 ＝6×1 ＝6． 故答案为：6． 20．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为　﹣17　 ． 【解答】解：原方程去分母得：1+ax+1＝6﹣3x， 整理得：（a+3）x＝4， ∵原方程有整数解，a为整数， ∴a+3＝﹣4或﹣2或﹣1或1或4， 解得：a＝﹣7或﹣5或﹣4或﹣2或1， 则﹣7﹣5﹣4﹣2+1＝﹣17， 故答案为：﹣17． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式kx＜ax+3的解集是 x＞﹣1　 ． 【解答】解：如图， 在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx与y2＝ax+3的图象交于点A （﹣1，2），则关于x的不等式kx＜ax+3的解集是x＞﹣1． 故答案为：x＞﹣1． 22．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝5，∠B＝60°，在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AB于E，则AE的长为　　 ． 【解答】解：在AB上截取BH＝BC＝5，连接DH，CH， ∵∠B＝60°， ∴△BCH是等边三角形， ∴CH＝BC＝BH，∠BCH＝∠BHC＝∠B＝60°， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°＝∠BCH， ∴∠BCA＝∠HCD， 在△BCA和△HCD中， ， ∴△BCA≌△HCD（SAS）， ∴AB＝DH＝17，∠ABC＝∠DHC＝60°， ∴∠AHD＝60°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEH＝90°， ∴∠EDH＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，BC边上的中点，G为DE上一点，若AB＝4，∠B＝∠EGF＝60°，则DG的长为 　　 ． 【解答】解：连接AC、AF， ， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴△ABC为等边三角形， 连接AF，CE， ∵点 E、F分别是AB、BC边上的中点， ∴AF⊥BC，BF＝FC＝2， 在Rt△AFB中，AF2， 同理在Rt△BEC中，CE＝2，∠BCE＝30°， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°， 在Rt△DCE中，DE2， ∵点E分别是AB边上的中点， ∴BEAB＝2， ∴△BEF为等边三角形， ∴S△BEF2， 连接DF， S△DCFFC×AF＝2， ∵AE＝CF，∠EAD＝∠FCD，AD＝DC， ∴△DAE≌△DCF（SAS）， ∴S△DAE＝2， ∵SABCD＝AF×BC＝24＝8， ∴S△DEF＝SABCD﹣S△BEF﹣S△DCF﹣S△DAE＝8223， 过F作FH⊥CE， ∴DE×FH＝3， ∴FH＝32÷DE， 在Rt△FHE中，EH， 在Rt△FHG中，∠EGF＝60°， ∴∠HFG＝30°， ∴HG2＝FG2﹣FH2＝（2HG）2﹣FH2， ∴HG， ∴DG＝DE﹣EH﹣HG＝2， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DB平分∠ADC，AE∥BD，DE∥AC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝10，求OE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠BDC＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OAED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝BC＝10， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OAED是矩形， ∴OE＝AD＝10． 25．（10分）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ （3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80台．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为 　30　 ． 【解答】解：（1）设每个“神舟”模型的进价为a元，每个“天宫”模型的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元． （2）购进“天宫”模型（200﹣x）个， 根据题意，得， 解得50≤x≤100， w＝（180﹣150）x+（150﹣100）（200﹣x）＝﹣20x+10000， ∵﹣20＜0， ∴w随x的减小而增大， ∵50≤x≤100， ∴当x＝50时w值最大，w最大＝﹣20×50+10000＝9000， 200﹣50＝150（个）． 答：购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元． （3）w＝（180﹣150+a）x+（150﹣100）（200﹣x）＝（a﹣20）x+10000（50≤x≤80）， ∵50≤x≤80， ∴若（a﹣20）x+10000＝10800，则a﹣20＞0，即a＞20， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝80时w值最大，得80（a﹣20）+10000＝10800，解得a＝30， ∴为让航模店最终获得的最大利润是10800元，a的值为30． 故答案为：30． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是边AB上一个动点，点D是边AC上一个动点，点D关于CP的对称点为点H． （1）如图1，当点H与点B重合时，连接DP． ①直接写出DP与PB的数量关系； ②求证：AD＝PB； （2）如图2，当点P是AB中点时，把线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK，连接KH，求证：CP＝KH； （3）在（2）的条件下，当BC＝2，△AKH是直角三角形时，直接写出AH长． 【解答】（1）①解：∵点D关于CP的对称点为点H， ∴DP＝HP， ∵点H和点B重合， ∴DP＝PB； ②证明：∵点D关于CP的对称点为点H，点H和点B重合，∠ACB＝90°， ∴∠BCP＝DCP，BD⊥CP， ∴∠CBD＝∠CDB＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠PDB＝∠PBD＝∠ABC﹣∠CBD＝15°， ∴∠APD＝∠PBD+∠PDB＝30°， ∴∠A＝∠APD， ∴AD＝PD； （2）证明如图1， 连接PK， ∵∠ACB＝90°，点P是AB的中点， ∴CP＝BPAB， ∵∠ABC＝60°， ∴△BPC是等边三角形， ∴PC＝BC＝PB，∠PCB＝60°， ∴∠ACP＝90°﹣∠PCB＝30°， ∵线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK， ∴∠DBK＝60°，BD＝BK， ∴∠CBP＝∠DBK， ∴∠CBP﹣∠ABD＝∠DBK﹣∠ABD， ∴∠CBD＝∠PBK， ∴△CBD≌△PBK（SAS）， ∴CD＝PK，∠BPK＝∠BCD＝90°， ∴PK⊥AB， ∵点D关于CP的对称点为点H， ∴∠PCH＝∠ACP＝30°，CH＝CD， ∴CH⊥AB，CH＝PK， ∴PK∥CH， ∴四边形PKHC是平行四边形， ∴CP＝KH； （3）解：如图2， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， 由（2）知， AP＝BP＝CP＝2， 当∠AKP＝90°时， 由（2）知， 四边形PKHC是平行四边形，PK⊥AB， ∴∠PKH＝∠PCH＝30°，KH＝CP＝2， ∴∠AKP＝90°﹣∠PKH＝60°， ∴AH， 如图3， 当∠AHK＝90°时，设AH和PK交于点O， ∴∠AHK＝∠APK＝90°， ∵∠AOP＝∠HOK， ∴∠HAP＝∠PKH＝30°， ∴∠CAH＝∠HAP+∠BAC＝60°， ∵∠ACH＝60°， ∴△ACH是等边三角形， ∴AH＝ACBC＝2 综上所述：AK或2 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $