26.1 二次函数的概念 课前预习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数定义为核心，通过概念识别、参数计算、实际建模构建从定义到应用的完整逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念识别|单选1,2,6|用定义判断函数类型（形如y=ax²+bx+c,a≠0）|从定义生成到具体函数识别，强化符号意识| |参数求解|单选3,填空10|列方程（组）结合二次项系数非零条件|深化对定义中参数限制的理解| |实际应用|单选4,5,7,解答13,14|建立函数关系式（结合几何、物理情境）|体现模型意识，实现数学与现实世界的联系| |定义辨析|填空9,解答12|明确二次函数各部分名称及表达式特征|巩固概念内涵，完善知识结构|

26.1 二次函数的概念 课前预习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 4．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 5．线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 6．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是______． 9．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 10．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 三、解答题 12．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 13．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题： （1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝______，AQ＝______； （2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式； （3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时间t，使四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 15．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B D C C C 1．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：， 由二次函数的定义可知，四个函数中，只有是二次函数， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 4．【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正比例函数的定义、列二次函数关系式 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 5．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t, 故y=4t，S=（5-t）2 故选择：C 【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 7．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 8．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据函数的增减性写出答案即可． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴这个函数的解析式可以是， 故答案为： 9．【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【知识点】二次函数的识别 【解析】略 10．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 12．【答案】 ①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】略 13．【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在，t＝4时，四边形是菱形． 【知识点】列二次函数关系式、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的长，进而得出AP＝2t，． （2）过点P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出，从而求得S与t的函数关系式； （3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ＝PC，则可得出求得t即可． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴AC＝6， ∴由题意知：AP＝2t， 故答案为： （2）如图①过点P作PH⊥AC于H． ∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴∠B＝30°， ∴∠HPA＝30°， ∵AP＝2t，AH＝t， ∴ ∴ （3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形，理由如下： 证明：如图②过点P作PM⊥AC于M， ∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝AP＝t， ∴QC＝AM， 由对折可得： 当PC＝PQ时，四边形是菱形， CM＝MQ＝AQ＝AC＝2， 当t＝4时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．【答案】(1)；①② (2)见解析，抛物线 (3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、列二次函数关系式、二次函数的识别、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， 故答案为：抛物线； （3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】列二次函数关系式、正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $