第二十五章 一元二次方程（复习课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件系统梳理一元二次方程的定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过知识图谱构建“实际问题—方程建模—求解检验”的逻辑网络，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点在于“考点串讲+题型全解+针对训练”的分层设计，如用“三要素核对法”辨析方程定义，通过恒等变形代入法解决韦达定理综合题，培养数学抽象与推理能力。针对训练涵盖选择、解答等题型，助力学生巩固知识，教师可精准复习教学。

第二十五章 一元二次方程 复习课件 人教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 02 工具掌握 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程；掌握判别式判断根的情况，活用韦达定理求两根和积与代数式值，能依据方程特征灵活选择最优解法。 01 精准辨析一元二次方程三要素，熟练整理方程为一般形式，准确区分各项与系数；能检验数值是否为方程的根，结合实例完成概念判断，厘清a≠0的核心要求。 概念识别 深化理解 理解配方法推导求根公式的推理过程，明晰判别式、韦达定理的内在逻辑；结合实际问题拓展认知，能解决含参数方程根的分类讨论类综合题型。 03 思想与应用 依托教材传播、增长率、几何面积、比赛场次等问题建立方程模型，掌握 “降次” 转化思想；求解后结合实际舍去不合理根，体会方程刻画现实等量关系的建模价值。 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 1.理解配方法的原理，能对二次项系数不为 1 的方程正确配方，借助配方法推导求根公式，体会降次转化逻辑。 2.含参数一元二次方程的分类讨论，结合判别式、韦达定理综合分析参数取值范围，完成复杂代数式变形。 3.复杂几何、动态变化类实际问题，准确梳理隐藏等量关系，准确舍去不符合现实意义的方程负根或增根。 1.熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据方程形式灵活选择简便解法。 2.会利用根的判别式判断方程实数根的情况，掌握根与系数的关系，能完成两根和、积相关代数式求值计算。 3.能从面积、增长率、传播、赛事等实际情境提取等量关系，列出一元二次方程并结合实际意义检验方程的根。 重 点 难 点 4 知识图谱 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 实际问题的答案 解 方 程 设未知数，列方程 检验 降 次 配方法 公式法 因式分解法 5 考点串讲 ——1：一元二次方程的定义 一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程。 形如（为常数，）的形式叫作一元二次方程的一般形式。 归纳总结 （1）满足三条件：整式方程、单一未知数、最高次数为2； （2）二次项系数一定不能等于0； （3）准确区分二次项、一次项、常数项。 6 考点串讲 ——2：一元二次方程的四种解法 归纳总结 （1）解方程核心思想均为降次，把二次方程转化为一元一次方程； （2）优先选用因式分解法，其次公式法，配方法多用于推导与求值。 直接开平方法：依据平方根的意义降次求解形如的方程； 配方法：通过配方把方程化成完全平方式，再用直接开平方法解方程； 公式法：一元二次方程的求根公式：； 因式分解法：将方程因式分解化为两个一次式乘积等于0的形式，实现降次解方程。 7 考点串讲 ——3：根的判别式 根的判别式：式子叫作一元二次方程根的判别式。 ，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相等的实数根； ，方程没有实数根。 归纳总结 （1）判别前务必保证； （2）可判定根的个数，也能反向求解参数取值范围。 8 考点串讲 ——4：根与系数的关系（韦达定理） 根与系数的关系：当时，一元二次方程两根，满足，。 归纳总结 （1）必须方程有实数根才可使用； （2）可整体变形求等值。 9 考点串讲 ——5：一元二次方程的实际应用 分析实际问题中的数量关系，设未知数列出一元二次方程，求出方程的根后，检验根是否符合实际意义，进而得到实际问题的答案；常见类型有增长率问题、传播问题、面积问题、循环赛事问题等。 归纳总结 （1）解题流程：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答； （2）负数、超出范围的解要舍去。 10 题型全解 题型01 一元二次方程的定义 11 题型全解 方法总结 方法 1：三要素逐一核对法 ① 必须是整式方程，分母不含未知数；② 只含有 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2。 方法 2：排除筛选法 ① 一次方程、二元方程直接排除； ② 分式方程、根式方程直接排除； ③ 剩余式子整理后查验次数。 题型01 一元二次方程的定义 题型全解 题型02 一元二次方程的解法 13 题型全解 方法总结 方法 1：按方程形式择优选用 ① 含平方结构：优先直接开平方法； ② 左边易因式分解：选用因式分解法； ③ 无简便结构：选用公式法。 方法 2：指定方法规范求解 ① 因式分解法：提取公因式或 套用公式分解，令各因式为 0； ② 公式法：确定 a、b、c，算出判别式后代入求根公式。 题型02 一元二次方程的解法 题型全解 题型03 根的判别式的应用 15 题型全解 方法总结 方法 1：两条件联立求解法 ① 一元二次方程前提：二次项系数≠0； ② 根据根的个数，令Δ＞0或Δ＝0或Δ＜0 列式计算。 方法 2：逆向验证法 ① 算出参数后代入原方程； ② 检验方程次数与根的数量是否符合题意。 题型03 根的判别式的应用 题型全解 题型04 根与系数的关系 17 题型全解 方法总结 方法 1：恒等变形代入法 ① 利用韦达定理求出两根和、两根积； ② 将所求代数式化为含两根和与积的整体形式代入计算。 方法 2：先判根再计算法 ① 先计算判别式，确认方程有实数根； ② 再套用韦达定理列式求解参数。 题型04 根与系数的关系 题型全解 题型05 一元二次方程的实际应用 19 题型全解 题型05 一元二次方程的实际应用 20 题型全解 方法总结 方法 1：数量关系建模法 ① 梳理售价、销量、利润之间的等量关系； ② 依据总利润公式列出一元二次方程。 方法 2：解后检验取舍法 ① 解方程得出两个数值； ② 结合价格、利润范围舍去不符合实际的解。 题型05 一元二次方程的实际应用 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 单元总结/易错复盘 ·解法思路 解方程核心思想为降次，常用四种解法：因式分解法计算最简便；配方法可推导求根公式、用于代数式求值；公式法适用性最广；直接开平方法适合平方式结构方程。可依据方程形式灵活挑选解法。 ·核心概念 一元二次方程需满足整式、一元、最高次数为 2，二次项系数a≠0；判别式判定实数根个数；两根之和、两根之积满足韦达定理；列方程解应用题后需检验结果是否符合实际情境。 ·答题注意事项 判定方程类型勿忘检验a≠0；运用判别式、韦达定理前要先判断有无实数根；配方时二次项系数不为 1 需先化为 1；应用题要舍去不符合现实意义的负根与超限解。 28 人教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 例：下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． B 【解析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意；C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 例：用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【解析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可；（2）根据题目要求用公式法解方程即可． 解：（1）， 二次项系数化为1，得 ， 因式分解，得， 解得：，； （2）， ∵，，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 例：若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【解析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 解：∵方程是关于的一元二次方程，∴， ∵方程有两个相等的实数根，∴根的判别式， 将，，代入得 ，解得，满足， ∴的值是． 例：已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【解析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，∴，， ∴， ∵，∴，即，解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 例：某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 【解析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围；（2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 解：（1）设y与x的函数关系式为， 将，代入得，解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得，解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． B 【解析】利用根的判别式逐项判断即可． 解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 2．某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． A 解：由题意得：． 【解析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 3．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 4 【解析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴ ． 4．解下列一元二次方程： (1) (2) 【解析】（1）用因式分解法解一元二次方程；（2）用公式法解一元二次方程． 解：（1）， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）， 其中，，， ， 解得：，． 5．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【解析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可；（2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 解：（1）∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． $