26.1.1 二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数的概念及一般形式，通过复习函数、一次函数和一元二次方程等旧知，结合迪拜音乐喷泉曲线的情境导入，搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以矩形面积、球队比赛场次等实际问题驱动探究，通过合作归纳函数特征、例题辨析（如判断二次函数）培养数学思维和抽象能力，课堂小结结构化呈现定义及特殊形式，当堂反馈融入中考题型。这提升学生用数学语言表达现实问题的能力，也为教师提供清晰教学路径，提高教学效率。

26.1.1 二次函数 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点） 素养目标 1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫作一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫作正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 复习导入 迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 点击视频开始播放 情境导入 探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 分析：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数， 则根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 - x)，即 y = - x2 + 20x ① 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 分析：单循环问题 问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 每支球队 n 要与其他 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 (n − 1) ， 即 m = . ② 同理， m 是 n 的函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 ②式表示比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，其中 m和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应，即 m 是 n 的函数. m = ② 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量 y =__________， 即 . ③ 20(1 + x) 20(1 + x)(1 + x) 20(1 + x)2 y = 20x2 + 40x + 20 同理， y 是 x 的函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 ③式表示了两年后的产量 y 与每年的计划增产倍数 x 之间的关系，其中 x 和 y 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. y = 20x2 + 40x + 20 ③ 想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y = 20x2 + 40x + 20 y = - x2 + 20x 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数. 二次项系数 自变量 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 不是，y = 6x + 9 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 【方法归纳】 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 【链接中考】 1. 下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1 D. A 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 【归纳总结】 y = 8x2 y = 20x2 + 40x + 20 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 【合作探究】 m = 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例2 若函数 y = (m + 1)xm² - 2m - 1 + (m - 3)x + 4 是二次函数，求 m 的值. ∴ m = 3. 总结 本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案. 解：由题意得 m² - 2m - 1 = 2， m + 1 ≠ 0， 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 【链接中考】2. 已知 y = (m² - m)x² + mx - 2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解：(1) 由题意得 m² - m = 0， m ≠ 0， 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 例3 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即 S = 4πr² 新知探究 (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. (2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 新知探究 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 【练一练】1. 如图，用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x m，求菜园的面积 y (单位：m2) 与 x (单位：m) 的函数关系式. x 解：矩形面积( y ) = 长×宽 实际问题注意取值范围：0＜x＜30. ∴y = (30－x)x = x2 + 15x . (30－x) 新知探究 【练一练】2. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档 次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. ∴ y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了 2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 新知探究 二次函数 定 义 y = ax² + bx + c(a≠0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫作二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________ 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) a≠0 二次项系数 一次项系数 常数项 课堂小结 1. 下列函数是二次函数的是(　C　) A. y＝5x B. y＝－2x＋1 C. y＝x2＋2 D. y＝－2 C 当堂反馈 2.正方形的边长为 3，如果边长增加 x，面积增 加 y，那么 y 与 x 之间的函数解析式为(　D　) A. y＝3x B. y＝(3＋x)2 C. y＝9＋6x D. y＝x2＋6x D 3. [高频易错]若关于 x 的函数 y＝(m＋1)x｜m｜＋1＋4x－5 是二次函数，则 m＝ ⁠. 1　 当堂反馈 (1)d＝n2－n； 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，－ ，0. (2)y＝1－x2. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1， 0，1. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为， －，0. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1， 0，1. 4. 分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 当堂反馈 5. 某省 2024 年开展农村供水工程维修养护 1700 处，受益人口达到 180万人，预计该省 2026 年开展农村供水工程维修养护受益人数达到 y 万，设这两年该省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为 x，写出 y 与 x 之间的函数关系式(化成一般式). 解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180. 解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180. 当堂反馈 6.某公园门票是每张 80 元，据统计每天进园人数为200 人，经市场调查发现，若门票每降低 1 元出售，则每天进园人数就增加 6 人.试写出当 x≤80 时，该公园每天的门票收入 y (元)关于门票价格 x (元)的函数关系式. y 是关于 x 的二次函数吗？ 解：由题意知当门票价格为 x 元时，每张门票降价 (80－x) 元， 那么每天进园人数就增加 6(80－x) 人， 则每天进园人数为 200＋6(80－x)＝(680－6x) (人). ∴y＝x(680－6x)＝－6x2＋680x. 显然，y 是关于 x 的二次函数. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $