培优专题05 与整式加减有关的10种含参问题（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减含参问题，通过10类题型系统覆盖概念应用、规律探究及综合创新，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|题型1-3（各1典例+3变式）|单项式/多项式概念、同类项求参|从定义理解到指数关系推导，夯实整式基础| |运算综合|题型4-7（各1典例+3变式）|不含型/无关型/幻方/定值问题|整式加减运算与参数控制结合，强化推理能力| |创新拓展|题型8-10（各1典例+3-4变式）|遮挡污染/新定义/规律探索|跨情境问题转化，提升模型意识与应用能力|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题05与整式加减有关的10种含参问题 (题型突破举一反三) 题型01根据单项式。多项式的相送概念求解 典例精析 【典例1】 【答案】 3 ±2 三 举一反三 【变式1】( 【答案】7 【变式2】 【答案】4 【变式3】 【答案】1 题型02单项式。多项式规律探究 典例精析 【典例2】 【答案】 (-1)°(5n-3)a3n (n2-1a"- 三举一反目 【变式1】 2n+1 【答案】 (n+1)2 【变式2】 【答案】B 【变式3】A 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03已知同类项求指数中字母或代数式的值 三 典例精析 【典例3】 【答案】10 举一反三 【变式1】 【答案】1 【变式2】 【答案】16 【变式3】 【答案】28 题型04整式加减中的不含型问题 典例精析 【典例4】 11 【答案】 2 E 举一反三 【变式1】 【答案】 3 0 【变式2】 【答案】1 【变式3】 【答案】7 题型05整式加减中的无送型问题 典例精析 【典例5】 【答案】1 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】-4 【变式2】 【答案】-8 【变式3】 【答案】-7 题型06整式加减中的幻方问题 典例精析 【典例6】 【答案】25.5 举一反三 【变式1】 【答案】7 【变式2】 【答案】-6 【变式3】 【答案】 1 0 题型07整式加减中的定值问题 E 典例精析 【典例7】 【答案】2 举一反三 【变式1】 【答案】18 【变式2】 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】3 【变式3】 【答案】5 题型08整式加减中的遮挡污染问题 典例精析 【典例8】 【答案】2或3/3或2 E举一反 【变式1】 【答案】6 【变式2】 【答案】(1)13x2y (2)-4 (3)-3 【变式3】 【答案】(1)2a2+13 (2)3 【变式4】 【答案】(1)-x-3 (2)■=-3，-4 题型09 整式加减中的新定义化简问题 E 典例精析 【典例9】 【答案】-3 举一反三 【变式1】 【答案】11 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】5-2m/-2m+5 【变式3】 【答案】3 【变式4】 【答案】1或-3或3 题型10规律探索问题 三典例精析 【典例10】 【答案】(1)2n+2 (2)a=297 三举一反目 【变式1】 +3 【答案】(4)10：(2)49，(3)2 【变式2】 【答案】(1)64，-32 a (2)2；a+1 3)-1 【变式3】 【答案】(1)8：7：2 2)(n-l):(10-n):10(n-l)+10-n;9n 3) 证明：根据题意，这个两位数的十位数字也是m,所以这个两位数为10m+m=11m 一方面： 11m×9=99m. 另一方面：根据“指算法”，乘积的百位数为m-1,十位数为9，个位数为10-m, ∴乘积为100×(m-1)+10×9+10-m=99m 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结果相等，故方法得证. 6/6 培优专题05 与整式加减有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 题型02 单项式、多项式规律探究 题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型04 整式加减中的不含型问题 题型05 整式加减中的无关型问题 题型06 整式加减中的幻方问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 题型09 整式加减中的新定义化简问题 题型10 规律探索问题 ▌题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 【典例1】（24-25七年级上·天津·期末）若关于x的多项式的次数与单项式 的次数相同， 则______________；   _________________． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知多项式的次数是5，单项式与多项式中的四次项是同类项，则的值是_______． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则____． 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． ▌题型02 单项式、多项式规律探究 【典例2】（2026七年级上·四川南充·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，……．则第n个单项式是__________． 【变式2】（23-24九年级下·云南昭通·阶段检测）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·云南昆明·阶段检测）按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知单项式与是同类项，那么___________． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若单项式与的差仍是单项式，则___________． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知m是有理数，代数式与的和是单项式，则代数式的值是______． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． ▌题型04 整式加减中的不含型问题 【典例4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【变式1】（22-23七年级上·吉林·期中）若关于的多项式不含的一次项和二次项，则___________，___________． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式，，若中不含项和y项，则的值为____． 【变式3】（24-25七年级上·山东滨州·期末）多项式与多项式相减后，结果不含项，则常数m的值为________． ▌题型05 整式加减中的无关型问题 【典例5】（25-26七年级上·河南信阳·期中）多项式：的值与x，y的取值无关， 则的值为 _______ 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若代数式的值与字母无关，则_____ 【变式2】（24-25七年级上·湖南永州·期末）若整式的值与字母的取值无关，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知，，当____________时，代数式的值与x无关． ▌题型06 整式加减中的幻方问题 【典例6】（2025·陕西汉中·模拟预测）立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则_____． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．如图3是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，______． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·福建莆田·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为_____． 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，这是一个运算程序示意图，不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值（不变的值），则______． 【变式3】（21-22七年级下·福建宁德·开学考试）将如图的8个小长方形纸片按右图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为和，若小长形的长为b，宽为a，（），当不变而变长时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中，的值恒为定值，则__________．        ▌题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【变式1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）嘉淇准备完成题目：化简：发现系数“□”印刷不清楚．妈妈告诉她：“我看到该题标准答案的结果是常数”，则题目中“□”应是______． 【变式2】（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 【变式4】（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． ▌题型09 整式加减中的新定义化简问题 【典例9】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）定义：我们称使等式成立的有理数为“唯一根数组”，记作【】．例如：由于，因此【】是“唯一根数组”．若【】是“唯一根数组”，则的值为______． 【变式1】（21-22七年级上·北京西城·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”比如3与－4是关于－1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于________的“平衡数”． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有，例如：，则_______（用含m的代数式表示）． 【变式3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式___________． 【变式4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为_____． ▌题型10 规律探索问题 【典例10】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放．图①中有1个字母“C”和4个字母“H”，图②中有2个字母“C”和6个字母“H”，图③中有3个字母“C”和8个字母“H”，…，依此规律继续摆放下去． (1)用含n的代数式表示图中字母“H”的个数； (2)若图中有a个字母“C”和596个字母“H”，求a的值． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【变式2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）观察下面三行数： ，4，，16，…；① 1，，4，，…；② ，5，，17，…；③ (1)第①行数的第6个数为___________，第②行数的第6个数为___________； (2)若设第①行的第个数是，则第②行的第个数是___________，第③行的第个数是___________；（用含的式子表示）； (3)设分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读材料，回答问题．   用10根手指可以直观地表示：从1-9这九个数字中任选一个数字与9相乘的结果．   如图，将两手平伸，从左边开始数至第4个手指，将它弯起，此时它的左边有3个手指，右边有6个手指，“36”正是“”结果． (1)按照上述方法计算：将两手平伸，从左向右依次数至第_____个手指，将其弯起，此时，这个手指的左边有______个手指，右边有_____个手指；将这两个数字按从左到右的顺序组合在一起，正是“”的结果． (2)小茗将问题一般化，解决（且n为整数）的问题． 一方面，按照材料中所给的“指算法”，从左手开始数，数到第n根手指向下弯，此时该手指左边有______根手指，右边有______根手指，则对应的两位数可表示为______，将此式化简，得到______． 另一方面，． 结果相等，故方法得证． (3)当一个数的个位与十位相同时，也可以通过类似的“指算法”求解：从左往右数，个位数是几，就弯起第几根手指，这根手指左边的手指数代表百位数；这根弯曲的手指当作9，代表十位数；而这根手指右边的手指数代表个位数．例如：计算33乘以9的结果，如图所示，由于33的个位数是3，所以从左往右数，弯曲第3根手指……根据上述规则，可以得出乘积为297． 设m是这个特殊两位数的个位数字，请你仿照第（2）题的方法，尝试用含有m的代数式说明此法的合理性．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题05 与整式加减有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 题型02 单项式、多项式规律探究 题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型04 整式加减中的不含型问题 题型05 整式加减中的无关型问题 题型06 整式加减中的幻方问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 题型09 整式加减中的新定义化简问题 题型10 规律探索问题 ▌题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 【典例1】（24-25七年级上·天津·期末）若关于x的多项式的次数与单项式 的次数相同， 则______________；   _________________． 【答案】 3 【分析】本题考查了多项式，根据多项式的次数、单项式的次数得出方程组是解题关键．根据多项式的次数，单项式的次数求解即可． 【详解】解：∵多项式的次数与单项式 的次数相同， ∴，， ∴． 故答案为：3，． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知多项式的次数是5，单项式与多项式中的四次项是同类项，则的值是_______． 【答案】7 【分析】本题考查了多项式的定义，同类项的定义，求代数式的值． 根据多项式次数定义，最高次项次数为5，可求m；根据同类项定义，相同字母指数相同，可求n，然后代入计算即可． 【详解】解：多项式次数为5，项的次数最高， 故， 解得； 单项式与四次项是同类项， 故的指数相同， 即， 解得； 因此． 故答案为：7． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式与单项式的定义，根据多项式的次数为6，可求出m的值；根据单项式的次数与多项式次数相同，可求出n的值，进而计算． 【详解】解：多项式是六次四项式，最高次项为 ，其次数为，解得． 单项式的次数为，与多项式次数相同，即， 解得． 因此， 故答案为：4 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 【详解】解： ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为：． ▌题型02 单项式、多项式规律探究 【典例2】（2026七年级上·四川南充·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：，． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，……．则第n个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探索，找到各单项式的规律是解题的关键．系数的分母是从2开始的平方，分子是从3开始的奇数，x的指数是从2开始的偶数，照此写出前几个，由此可写出第n个单项式． 【详解】解： ； ； ； ； ； ， 第个单项式为：． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级下·云南昭通·阶段检测）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 【变式3】（24-25九年级下·云南昆明·阶段检测）按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的规律题，根据所给各多项式，观察系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第一个单项式为，，，…， 则第个单项式是：， 第二个单项式为：，，，… 则第个单项式是：， 则多项式第个代数式是：， 故选：A ▌题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知单项式与是同类项，那么___________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义可得、的值，再代入到所求代数式中计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若单项式与的差仍是单项式，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，即，从而求出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 单项式与的差仍是单项式， ∴ 单项式与是同类项， ∴ ， ∴ ， 故答案为： 1． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知m是有理数，代数式与的和是单项式，则代数式的值是______． 【答案】16 【分析】将与相加并计算，根据题意求得m的值，然后将其代入中计算即可． 本题考查整式的加减，代数式求值，单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 代数式与的和是单项式， ， 解得：， 则， 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值及同类项的定义，关键是先化简待求式，再利用同类项的定义确定字母的值，最后代入计算．首先对待求式去括号、合并同类项得到最简形式；然后根据同类项中相同字母的指数相等，求出、的值；最后将、代入最简式计算出结果． 【详解】解： 。 与是同类项， ，； 当，时，原式． ▌题型04 整式加减中的不含型问题 【典例4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【变式1】（22-23七年级上·吉林·期中）若关于的多项式不含的一次项和二次项，则___________，___________． 【答案】 3 0 【分析】本题考查了多项式项的应用，熟悉掌握多项式的概念是解题的关键． 化简，令一次项和二次项系数为即可． 【详解】解：∵ ， 又∵式子不含的一次项和二次项， ∴，， 解得：，， 故答案为：；． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式，，若中不含项和y项，则的值为____． 【答案】1 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，求出，根据结果不含项和y项，得到这两项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵中不含项和y项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·山东滨州·期末）多项式与多项式相减后，结果不含项，则常数m的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，理解不含某项即该项的系数为0是解题的关键；根据题意列式求出两个多项式的差，再根据结果不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， 结果不含项， ， ， 故答案为：7． ▌题型05 整式加减中的无关型问题 【典例5】（25-26七年级上·河南信阳·期中）多项式：的值与x，y的取值无关， 则的值为 _______ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题，已知字母的值求代数式的值．先合并同类项，得出，再结合“与x，y的取值无关”，得 ，，解得，，代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵多项式的值与，无关， ∴ ，， ∵，， 则 ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若代数式的值与字母无关，则_____ 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减－无关型问题，解题的关键是掌握代数式的值与x无关，则含x的同类项合并后系数必须为0． 先去括号合并同类项，再根据题意得出，分别求出a、b的值，即可得出结论． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖南永州·期末）若整式的值与字母的取值无关，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程，代数式求值等知识点，由“整式的值与字母的取值无关”得出，是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，将整式整理为，由“整式的值与字母的取值无关”可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解： ， 整式的值与字母的取值无关， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知，，当____________时，代数式的值与x无关． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算的表达式，再根据其值与x无关，令含x项的系数为零，求解y的值 【详解】解：，， ， ， 的值与x无关， 含x项的系数为零，即， 解得， 故答案为：． ▌题型06 整式加减中的幻方问题 【典例6】（2025·陕西汉中·模拟预测）立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，理解题意是解题的关键．设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，根据题意表示出其他方框内的数，进而列式求出的值即可求解． 【详解】解：设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，则其他方框内的数如下： ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意完善三阶幻方是解题的关键．根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得，变形即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式加减是解题的关键，根据题意得到，，从而得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．如图3是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，______． 【答案】 1 0 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设图3三阶幻方第一排第一个数字为t，中间的数字为e，则有，然后问题可求解，设图4的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为S，则有：，进而问题可求解． 【详解】解：设图3三阶幻方第一排第一个数字为t，中间的数字为e，则有， ∴； 设图4的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为S，则有：， ∴； 故答案为1；0． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·福建莆田·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先对原多项式进行整式的加减运算并合并同类项，再根据多项式的值为定值的条件，确定含与的项的系数为0，求出、的值后计算． 【详解】解： ∵无论，取什么值，多项式的值都等于定值6， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为_____． 【答案】18 【分析】根据整式的加减运算法则计算出的值，由题意可知的值与a的值无关，则a的系数为零，由此即可求解． 本题主要考查整式的运算，掌握整式的混合运算方法，以及与某未知数无关则该未知数的系数为零的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∵当为任意数值时，的值为定值， ∴的值与a的值无关， ， ， ． 故答案为：18． 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，这是一个运算程序示意图，不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值（不变的值），则______． 【答案】3 【分析】本题考查运算程序图和代数式值的无关问题，首先根据运算程序示意图，得到运算的代数式，再根据输出值为定值，可知代数式的值与x无关，则合并后的代数式中x的系数为0，据此可得a的值． 【详解】解：根据运算程序示意图可知∶， 整理得：， ∵不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（21-22七年级下·福建宁德·开学考试）将如图的8个小长方形纸片按右图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为和，若小长形的长为b，宽为a，（），当不变而变长时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中，的值恒为定值，则__________．        【答案】5 【分析】用含的代数式表示阴影部分的长与宽，再根据面积的计算方法结合和的值始终相等，可得满足的关系式． 【详解】解：设长方形的长为x， 面积为的阴影部分的长为，宽为， ∴， 面积为的阴影部分的长为，宽为， ∴， ∵和的值始终相等， ，即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列代数，理解图形中各个长方形边长之间的关系是正确解答的关键． ▌题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查整式的加减运算，设被污染的数字为k，化简，根据结果是单项式，分2种情况讨论求解即可． 【详解】解：设被污染的数字为k，则：， ∵化简的结果是单项式， ∴或， ∴或； 故被污染的数字是2或3； 故答案为：2或3． 【变式1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）嘉淇准备完成题目：化简：发现系数“□”印刷不清楚．妈妈告诉她：“我看到该题标准答案的结果是常数”，则题目中“□”应是______． 【答案】6 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 设“□”为，根据整式的运算法则进行化简后，由答案为常数即可求出“□”的答案． 【详解】解：设“□”为， ， 该题标准答案的结果是常数， ，解得， 题目中“□”应是6． 故答案为：6． 【变式2】（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据整式加减法的运算法则计算即可； （2）根据整式加减法的运算法则得，又因为的值为常数，得被墨水污染的数字为3，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 则 ； （2）解：依题意， ， ∵的值为常数， ∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键； （1）直接去括号、合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号、合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）解：∵系数“”是， ； （2）解： ， 计算结果是常数， ∴，解得， ∴原式． ▌题型09 整式加减中的新定义化简问题 【典例9】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）定义：我们称使等式成立的有理数为“唯一根数组”，记作【】．例如：由于，因此【】是“唯一根数组”．若【】是“唯一根数组”，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，根据新定义得到，进而推出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级上·北京西城·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”比如3与－4是关于－1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于________的“平衡数”． 【答案】11 【分析】根据定义计算即可求得 【详解】解：∵， ∴ ，k为常数 则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的加减中无关类型，理解题意求得的值是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有，例如：，则_______（用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，理解新运算的定义，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键．先根据新运算的定义列出运算式子，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式___________． 【答案】 【分析】根据题意，与互为平衡数，得，得到，然后再整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵与互为平衡数， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．解题的关键根据题意建立等式，再运用整体代入法求值． 【变式4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，根据“关联多项式”的定义，多项式A、B、C互为关联多项式，需满足或或，分别计算这三种情况，得到a和b的值，再求． 【详解】解：由题意，A、B、C互为关联多项式，因此可能的情况如下： 若，， 所以，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 故答案为：或或． ▌题型10 规律探索问题 【典例10】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放．图①中有1个字母“C”和4个字母“H”，图②中有2个字母“C”和6个字母“H”，图③中有3个字母“C”和8个字母“H”，…，依此规律继续摆放下去． (1)用含n的代数式表示图中字母“H”的个数； (2)若图中有a个字母“C”和596个字母“H”，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，列代数式，解一元一次方程，解题的关键是找出图形的分布规律． （1）根据给出示例，用代数式表示出图形的分别规律即可； （2）根据代数式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形中，有1个字母“C”和4个字母“H”； 第2个图形中，有2个字母“C”和6个字母“H”； 第3个图形中，有3个字母“C”和8个字母“H”； …… 第个图形中，有个字母“C”和个字母“H”； （2）解：由题意得：当时， 解得， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 【变式2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）观察下面三行数： ，4，，16，…；① 1，，4，，…；② ，5，，17，…；③ (1)第①行数的第6个数为___________，第②行数的第6个数为___________； (2)若设第①行的第个数是，则第②行的第个数是___________，第③行的第个数是___________；（用含的式子表示）； (3)设分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查数字的规律，熟练掌握数字的规律是解题的关键； （1）根据题意可得到第①行数的规律为， 第②行数的规律为，分别代入即可得到答案； （2）观察第③行数，第 n 个数是，结合（1）中规律即可得到答案； （3）由（1）中规律分别求出第①行的第个数：第②行的第个数，第③行的第个数，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：首先，观察第①行数，可以发现，第 n 个数是，因此，第6个数为： 接下来，观察第②行数，可以发现，第 n 个数是，因此，第6个数为：， 故答案为：，． （2）解：由（1）可得，第①行数，第 n 个数是；第②行数，第 n 个数是， 观察第③行数，第 n 个数是， 设第①行的第个数是，则第②行的第个数是，第③行的第个数是 故答案为：；． （3）解：设分别为第①②③行的第2025个数， ∴，， ∴ 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读材料，回答问题．   用10根手指可以直观地表示：从1-9这九个数字中任选一个数字与9相乘的结果．   如图，将两手平伸，从左边开始数至第4个手指，将它弯起，此时它的左边有3个手指，右边有6个手指，“36”正是“”结果． (1)按照上述方法计算：将两手平伸，从左向右依次数至第_____个手指，将其弯起，此时，这个手指的左边有______个手指，右边有_____个手指；将这两个数字按从左到右的顺序组合在一起，正是“”的结果． (2)小茗将问题一般化，解决（且n为整数）的问题． 一方面，按照材料中所给的“指算法”，从左手开始数，数到第n根手指向下弯，此时该手指左边有______根手指，右边有______根手指，则对应的两位数可表示为______，将此式化简，得到______． 另一方面，． 结果相等，故方法得证． (3)当一个数的个位与十位相同时，也可以通过类似的“指算法”求解：从左往右数，个位数是几，就弯起第几根手指，这根手指左边的手指数代表百位数；这根弯曲的手指当作9，代表十位数；而这根手指右边的手指数代表个位数．例如：计算33乘以9的结果，如图所示，由于33的个位数是3，所以从左往右数，弯曲第3根手指……根据上述规则，可以得出乘积为297． 设m是这个特殊两位数的个位数字，请你仿照第（2）题的方法，尝试用含有m的代数式说明此法的合理性．    【答案】(1)8；7；2 (2)；；； (3) 证明：根据题意，这个两位数的十位数字也是，所以这个两位数为 一方面： ， 另一方面：根据“指算法”，乘积的百位数为，十位数为9，个位数为， ∴乘积为， 结果相等，故方法得证． 【分析】本题考查代数式的实际应用，正确理解题意并列出对应的代数式是关键． （1）根据题意进行填空即可； （2）根据题意进行填空即可； （3）根据题意，表示出这个两位数以及乘积，再根据“指算法”，表示出乘积的百位数、十位数和个位数，进行验证即可． 【详解】（1）解：根据题意，应将从左往右数第8个手指弯曲，左边有7个手指，右边有2个手指， 故答案为：8；7；2． （2）解：根据题意，左边有个手指，右边有个手指，对应的两位数可表示为，化简得到； 故答案为：；；；． （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $