第四章 整式的加减-2026-2027学年七年级数学上册练培优（人教版）

第4章整式的加减 4.1单项式 1、若单项式一"y是关于xy,的九次单项式，那么m+n= 3 答案：单项式的次数为所有字母指数之和，“m+n+3=9, 移项得：m+n=9-3,m+n=6 若关于x,y的单项式-mxy与关于x,y,z的单项式一3yz2的次数相同，系数互为倒数 单项式-mx3yn是 答案：-3x3y2 解析：单项式的次数是所有字母指数之和，左边次数：3+n,右边次数：1+2+2=5， 因此3+n=1+2+2,解得n=2。 系数互为倒数列方程：左边系数：-，右边系数： 互为倒数则乘积为1，即-m×(-3)=1,解得m=3。 1 代入得到单项式：把m=3、n=2代入-mx3y",得到-3x3y2。 3观察下列单项武：，少，君少，石 (1)写出第8个单项式。 (2)第n个单项式是什么？它的系数、次数分别是多少？ 答案： (1)(安)8x2y8 (2)系数：()”，次数：2+n=n+2 1 1 1 解析：(1)观察单项式： 1 2y、y、y、164,…可得出规律： 第n个单项式的系数是（乞）”，字母部分是xy”,所以第8个单项式是（宁）y。 (②)由(1)得第n个单项式是（分）”2y,系数是()”，次数是n+2。 58/129 第4章整式的加减 4.2多项式 1、已知关于x,y的多项式xy+2+2y-7与多项式x2y3+4y2-5的次数相同，那么 -5n2的值是() A.-45 B.-40 C.-20 D.20 答案：C 解析：由题意可知n+2+1=2+3,解得n=2,将其代入式子得-5n2=-5×22=-20, 故选C。 2、若关于x的多项式(a+2)x3-xb+x-ab为二次三项式，则当x=-1时，这个二次 三项式的值是() A.-6 B.-4 C.4 D.2 答案：D 解析：因为关于x的多项式(a+2)x3-x+x-ab为二次三项式，所以a+2=0,b=2, 解得a=-2,此时多项式为-x2+x+4。当x=-1时，-(-1)2+(-1)+4=-1-1+ 4=2,故选D。 3、观察图形，图①有2个三角形，记作α1=2；图②有3个三角形，记作a2=3;图③有 6个三角形，记作a3=6;图④有11个三角形，记作a4=11;按此方法继续下去，则a101= AAA △△△△△ △公公△△於△… △△△ 图① 图② 图3 图④ 答案：10002 解析：由题意得a1=2,a2=2+12=3,a3=2+22=6,a4=2+32=11,以此类推， 可得a=2+(m-1)2(n为正整数)。当n=101时，a101=2+(101-1)2=10002。 4、 已知多项式侧-0m-3列x+k2-1。 (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值。 (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值。 答案： 59/129 第4章整式的加减 (1)多项式为关于x的三次三项式，需满足最高次数为3，且三项均存在： |m=3 {-(m-3)≠0 由m=3得：m=3或m=-3。由-(m-3)≠0得：m≠3。 综上，m=-3。 (2)多项式不含常数项，说明常数项为0：k2-1=0,解得：k=1或k=一1。 5、定义：f(xy)是关于x,y的多项式，如果f(x,y)=fy,x)那么f(x,y)叫作“对称多项 式”。例如：f(x,y)=x2+x+y+y2,则fy,x)=y2+y+x+x2,显然f(x,y)=fy,x), 所以f(,y)=x2+x+y+y2是“对称多项式”。 (1)试说明f(x,y)=x2-2xy+y2是“对称多项式”。 (2)请写出一个“对称多项式"”：f(x,y)= (不多于四项)。 (3)如果f1(x,y)和f2(x,y)均为“对称多项式”，那么f1(x,y)+f2(x,y)一定是“对称多项式” 吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请举例说明。 答案： (1)证明：f(x,y)=x2-2xy+y2 将多项式中x、y互换，得：fy,x)=y2-2yx+x2=x2-2xy+y2 ·f(x,y)=fy,x),f(x,y)=x2-2xy+y2是“对称多项式”。 (2)答案：x3+xy+y3（答案不唯一) (3)不一定是。 举例：令f1(x,y)=x+y,f2(x,y)=-x-y f1(x,y)、f2(x,y)均为对称多项式，但f1(x,y)+f2(x,y)=(x+y)+(-x-y)=0, 结果为常数，不是多项式，因此不一定是对称多项式。 解析：(1)因为f(x,y)=x2-2xy+y2,所以fy,x)=y2-2xy+x2,可得f(x,y)=f0y,x), 故该多项式是“对称多项式”。 (2)x3+xy+y3（答案不唯一)，该多项式满足f(x,y)=fy,x),符合定义。 (3)f1(x,y)+f2(x,y)不一定是“对称多项式"，如f1(x,y)=x+y,f2(x,y)=-x-y,二者 相加结果为0，不是多项式。 60/129 第4章整式的加减 4.3合并同类项 1、如果代数式ax3-3x2-2x-3x3+bx2-3是关于x的二次三项式，那么() A.a=3,b≠3 B.a≠3，b=3 C.a≠3，b≠-3 D.a=3,b=-3 答案：A 解析：ax3-3x2-2x-3x3+bx2-3=(a-3)x3+(b-3)x2-2x-3,因为该代数式是关 于x的二次三项式，所以a-3=0,b-3≠0，所以a=3,b≠3，故选A。 2、若关于x,y的多项式mx2+nxy+2x-2xy-3x2+y+4中不含二次项，则m2+mn+ n2的值为 答案：19 解析：mx2+nxy+2x-2xy-3x2+y+4=(m-3)x2+(n-2)xy+2x+y+4,因为该关 于x,y的多项式不含二次项，所以m-3=0,n-2=0,所以m=3,n=2,所以m2+ mn+n2=32+3×2+22=9+6+4=19。 技巧归纳：若整式化简后不含某项，则该整式合并同类项后这一项的系数为0。 3、若-个三角形的三边长分别为5x,12x,13x,则这个三角形的周长为一，当x=3cm 时，这个三角形的周长为一。 答案：30x;90cm 解析：这个三角形的周长为5x+12x+13x=30x,当x=3cm时，这个三角形的周长为 30×3=90cm。 4、先合并同类项，再求值：2x2-4xy-3x2+3xy+4x2,其中(x+2)2+y-1=0。 答案：化简结果为3x2-xy,求值结果14 解析：2x2-4xy-3x2+3xy+4x2=2x2+4x2-3x2-4xy+3xy=3x2-xy。 因为(x+2)2+y-1=0,所以x+2=0,y-1=0,所以x=-2,y=1, 所以原式=3×(-2)2-(-2)×1=3×4+2=14。 61/129 第4章整式的加减 4.4去括号 1、下列各式中，去括号错误的是() A.x2-2(3x+y2)=x2-6x-2y2 B.2a-[3a-(a+1)]=2a-3a-a-1 C.-(3x2+y)+y3-x)=-3x2-y+y3-x D.(a2-4b2)-(a-2b)=a2-4b2-a+2b 答案：B 解析：A选项去括号正确；B选项2a-[3a-(a+1)]=2a-(3a-a-1)=2a-3a+a+1, 原式变形错误；C、D选项去括号均正确，故选B。 2、有理数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简|a+b-2b-1-311-c的结 果为() A.-a+b+3c-5 B.-a-3b+3c-1 C.-a+b-3c+1 D.a+3b+3c-5 答案：A 解析：由题图可知b<a<0<c<1,故a+b<0,b-1<0,1-c>0,代入化简得原 式=-a+b+3c-5,故选A。 3、公交车上原有乘客(4一b)人，中途上车若干人，此时车上共有乘客6a人，则中途上 车的乘客有」 人。 答案：2a+b 解析：列式计算：6a-(4a-b)=6a-4a+b=2a+b,即中途上车乘客为(2a+b)人。 4、无论x,y取何值，多项式(2x2-my+12)-(nx2+3y-6)的值都等于18，则m+n等 于 答案：-1 解析：原式化简得(2-n)x2+(-m-3)y+18,由多项式值恒为18，得2-n=0,-m- 3=0,解得m=-3,n=2,故m+n=-1。 62129 第4章整式的加减 5、先化简，再求值：3ab2-5a2h+2(ai分+ab的]+602b,其中a-b-3。 答案：化简结果为2b+1,结果为4 3a2-5a2b+2(ab2-3+b]+6m20 解析：化简原式： =3ab2-(5a2b+2ab2-1+ab2)+6a2b =3ab2-5a2b-2ab2+1-ab2+6a2b =a2b+1 将a= 京b=3代入：原式-(-护×3+1-京x3+1-1-7 1 63/129 第4章整式的加减 4.5整式的加减 1、某商户去批发市场购买了单价为m元的甲糖果30千克和单价为n元的乙糖果20千克，然 后将两种糖果混合，以单价”元全部售出，若m>心，则关于该商户的盈亏情况，判应 确的是() A.赔了 B赚了 C不赔不赚 D.无法确定 答案：A 解：先计算总成本：30m+20m（元) 再计算总收入：(30+20)×m+” 2 =25(m+n)=25m+25n（元) 利润=总收入一总成本 利润=25(m+n)-(30m+20m) =25m+25n-30m-20m =-5m+5n =5(n-m) m>n,n-m<0,5(n-m)<0,商户亏损，故选A。 2、若x2+3xy=3,xy-y2=-2,则x2+2xy+y2=一。 答案：5 x2+2xy+y2=(x2+3xy)-(xy-y2) 解： =3-(-2) =5 3、若多项式2x2+(b+1)x-y2-1与ax2-x+3y+1的和与x的取值无关，则a-b= 答案：-2 解：先求两个多项式的和： 2x2+(b+1)x-y2-1+ax2-x+3y+1 =(2+a)x2+bx-y2+3y :多项式的和与x取值无关，含x项的系数均为0。 即：古000解得：2-2，b-0a-b=-2-0=-2 解析：两多项式相加化简得(2+a)x2+bx-y2+3y,由和与x取值无关，得2+a=0,b=0, 解得a=-2,故a-b=-2。 4、已知A-B=7a2-7ab,且B=-3a2+6ab+4。 64/129 第4章整式的加减 (1)求A; (2)若a=2,b是a的相反数，求A的值。 答案：(1)A=4a2-ab+4(2)A=24 解： (1)由A-B=7a2-7ab,得： A =7a2-7ab+B =7a2-7ab+(-3a2+6ab+4) =7a2-7ab-3a2+6ab+4 =4a2-ab+4 .A=4a2-ab+4 (2)由题意得：a=2,b=-2 A=4×22-2×(-2)+4 代入A=4a2-ab+4得： =4×4+4+4 =16+4+4 =24 5、某小型工厂生产碗团和大黄米两种产品，每天合计生产1200袋，两种产品的成本和售价 如下表，设每天生产碗团x袋。 产品 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 碗团 35 40 大黄米 11 13 (1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简（利润=售价-成本）； (2)当x=400时，求每天的生产成本与每天获得的利润。 解： (1)由题意得：每天生产大黄米(1200-x)袋。 生产成本：35x+11(1200-x)=35x+13200-11x=24x+13200 每袋碗团利润：40-35=5（元) 每袋大黄米利润：13-11=2（元) 总利润：5x+2(1200-x)=5x+2400-2x=3x+2400 ·每天生产成本：(24x+13200)元，每天利润：(3x+2400)元。 65/129 第4章整式的加减 (2)当x=400时：生产成本：24×400+13200=22800（元） 总利润：3×400+2400=3600（元) 答案：(1)生产成本(24x+13200)元，利润(3x+2400)元； (2)生产成本22800元，利润3600元 6、阅读材料：“整体思想”是中学数学解题的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值 中应用极为广泛，如我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+ 1)(a+b)=3(a+b)。 (1)尝试应用：把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2的结果是？ (2)拓展探索：已知xy+x=-1,y-xy=-2,求代数式2x+(xy-y)]-3[(xy+x)2 xy]-xy的值。 答案：(1)5(a-b);(2)3 解：(1)3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2=(3-5+7)(a-b)2=5(a-b)2 (2)由题意得：xy+x=-1,y-xy=-2,即xy-y=2。 代入原式化简： 2x+(xy-y)2]-3[(xy+x)2-xy]-xy =2[x+(-2)2]-3[(-1)2-xy]-xy =2(x+4)-3(1-xy)-xy =2x+8-3+3xy-xy =2x+2xy+5 =2(xy+x)+5 =2×(-1)+5 =3 微专题作差法比较大小 作差法比较两个整式A,B大小的步骤：1.利用整式的加减求出两个整式的差A一B;2.分析差 的正负性：若A-B>0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-B<0,则A<B。 7、关于d+c与d一c的大小关系，下列说法正确的是（) A.仅与c有关 B.仅与d有关 C.与d,c都有关 D.与d,c都无关 解： 用作差法比较大小：(d+c)-(d-c)=d+c-d+c=2c 66/129 第4章整式的加减 当c>0时，2c>0,d+c>d-c; 当c=0时，2c=0,d+c=d-c; 当c<0时，2c<0,d+c&lt;d-c。 故大小关系仅与c有关，选A。 8、若M=a2+a+4,N=a-1,则M,N的大小关系为() A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N M-N=a2+a+4-(a-1) 解：用作差法比较大小： =a2+a+4-a+1 =a2+5 a2≥0，÷a2+5≥5>0，÷M-N>0,即M>N,故选B。 8 9、对于有理数m,n,定义一种新运算“△”，规定m△n=3m-4n若P=x△(-2)，Q=3△x, 试比较P与Q的大小。 解：根据新定义运算，分别求出P、Q: P=x△(-2)=3x-4×(-2)=3x+8 8 Q8Ax=3x34x=8-4 P-Q=(3x+8)-(8-4x) 作差： =3x+8-8+4x =7X 分类讨论： 当x>0时，7x>0,P>Q; 当x=0时，7x=0,P=Q; 当x<0时，7x<0,P<Q。 67/129第4章整式的加减 4.1单项式 若单项式”y”是关于xy,的九次单项式，那么m十 若关于x,y的单项式-mxy与关于x,y,2的单项式392的次数相同，系数互为倒 单项式-mx3yn是 1 1 1 3、观察下列单项武：2y,x2y,825,16 x2y4,0 (1)写出第8个单项式。 (2)第n个单项式是什么？它的系数、次数分别是多少？ 35/75 第4章整式的加减 4.2多项式 1、已知关于x,y的多项式xy+2+2y-7与多项式x2y3+4y2-5的次数相同，那么 -5n2的值是() A.-45 B.-40 C.-20 D.20 2、若关于x的多项式(a+2)x3-xb+x一ab为二次三项式，则当x=-1时，这个二次 三项式的值是() A.-6 B.-4 C.4 D.2 3、观察图形，图①有2个三角形，记作α1=2；图②有3个三角形，记作a2=3;图③有 6个三角形，记作a3=6;图④有11个三角形，记作a4=11;按此方法继续下去，则a101= AAA △△△△△ △公公△△公公公△… △△△ 图① 图② 图③ 图④ 4、已知多项式2例-(m-3)x+k2-1。 (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值。 (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值。 5、定义：f(x,y)是关于x,y的多项式，如果f(x,y)=fy,x),那么f(x,y)叫作“对称多项 式”。例如：f(x,y)=x2+x+y+y2,则fy,x)=y2+y+x+x2,显然f(x,y)=fy,x), 所以f(x,y)=x2+x+y+y2是“对称多项式”。 (1)试说明f(x,y)=x2-2xy+y2是“对称多项式”。 (2)请写出一个“对称多项式”：f(x,y)= (不多于四项)。 (3)如果f1(x,y)和f2(x,y)均为“对称多项式”，那么f1(x,y)+f2(x,y)一定是“对称多项式” 吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请举例说明。 36/75 第4章整式的加减 4.3合并同类项 1、如果代数式ax3-3x2-2x-3x3+bx2-3是关于x的二次三项式，那么() A.a=3,b≠3 B.a≠3，b=3 C.a≠3，b≠-3 D.a=3,b=-3 2、若关于x,y的多项式mx2+nxy+2x-2xy-3x2+y+4中不含二次项，则m2+mn+ n2的值为 3、若一个三角形的三边长分别为5x,12x,13x,则这个三角形的周长为一，当x=3cm 时，这个三角形的周长为一。 4、先合并同类项，再求值：2x2-4xy-3x2+3xy+4x2,其中(x+2)2+y-1=0。 37/75 第4章整式的加减 4.4去括号 1、下列各式中，去括号错误的是() A.x2-2(3x+y2)=x2-6x-2y2 B.2a-[3a-(a+1)]=2a-3a-a-1 C.-(3x2+y)+y3-x)=-3x2-y+y3-x D.(a2-4b2)-(a-2b)=a2-4b2-a+2b 2、有理数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简Ia+b-2b-1一3引1-c的结 果为() A.-a+b+3c-5 B.-a-3b+3c-1 C.-a+b-3c+1 D.a+3b+3c-5 3、公交车上原有乘客(4a-b)人，中途上车若干人，此时车上共有乘客6a人，则中途上 车的乘客有 人。 4、无论x,y取何值，多项式(2x2-my+12)-(nx2+3y-6)的值都等于18，则m+n等 于 -。 5、先化简，再求值：3b2-5a2b12ab3分1obd]16a20,其中a-3b-3. 38/75 第4章整式的加减 4.5整式的加减 1、某商户去批发市场购买了单价为m元的甲糖果30千克和单价为n元的乙糖果20千克，然 后将两种糖果混合，以单价””元全部售出，若m>心，则关于该商户的盈亏情况，判断 确的是() A.赔了 B赚了 C.不赔不赚 D.无法确定 2、若x2+3xy=3,xy-y2=-2,则x2+2xy+y2=。 3、若多项式2x2+(b+1)x-y2-1与ax2-x+3y+1的和与x的取值无关，则a-b=一。 4、已知A-B=7a2-7ab,且B=-3a2+6ab+4。 (1)求A; (2)若a=2,b是a的相反数，求A的值。 5、某小型工厂生产碗团和大黄米两种产品，每天合计生产1200袋，两种产品的成本和售价 如下表，设每天生产碗团x袋。 产品 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 碗团 35 40 大黄米11 13 (1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简（利润=售价-成本）； (2)当x=400时，求每天的生产成本与每天获得的利润。 39/75 第4章整式的加减 6、阅读材料：“整体思想”是中学数学解题的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值 中应用极为广泛，如我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+ 1)(a+b)=3(a+b)。 (1)尝试应用：把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)的结果是？ (2)拓展探索：已知xy+x=-1,y-xy=-2,求代数式2[x+(xy-y)2]-3[(xy+x)2- xy]-xy的值。 7、关于d+c与d-c的大小关系，下列说法正确的是() A.仅与c有关 B.仅与d有关 C.与d,c都有关 D.与d,c都无关 8、若M=a+a+4,N=a-1,则M,N的大小关系为() A.M<N B.M>N C.M-N D.M≥N 9、对于有理数m,n,定义一种新运算”A”,规定m△n=3m-4n若P=x△(-2)，Q=3△x, 8 试比较P与Q的大小。 40/75