培优专题02 整式运算及应用（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题02 整式运算及应用 (题型突破举一反三) 题型01合进同类项 E 典例精析 【典例1】C E举一反 【变式1】B 【变式2】 15 5 【答案】 2a+3b 3 【变式3】 【答案】36 【变式4】 【答案】(1)<，<，> (2)a-4b-c 题型02去括号 典例精析 三举一反 【变式1】C 【变式2】 【答案】3 【变式3】 【答案】13 【变式4】 【答案】3x4 1/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03整式加减的运算 典例精析 【典例3】A 举一反三 【变式1】D 【变式2】B 【变式3】 【答案】(1)4a-3b (2)4ab (3)10x2-9y2 (4)3x2+15x-4 【变式4】 【答案】(1)-x (23xy2-2x2y (3)10x+3 (4)x2+1 (5)-3x2y-2y-3xy (6)-2x2+x-6 【变式5】 【答案】(1)8x2+x a- 题型04整式加减中的化简求值问题 典例精析 【典例4】 【答案】8 2/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】22 【变式2】 【答案】4013 【变式3】 7 【答案】(1)ab-3ab2,4 (2)x+y+8.y,-35 【变式4】 【答案】-4ab-10a2+10b2,38 题型05整式加减中的整除问题 三 典例精析 【典例5】B E 举一反三 【变式1】D 【变式2】C 【变式3】 (2) 解：当一个三位数abc满足a+b+c可以被9整除，则该三位数就能被9整除.理由如下： abc=100a+10b+c=(99a+a)+(9b+b)+c=(99a+9b)+(a+b+c), 因为99a和9b都能被9整除，所以99a+9b能被9整除： 因此，如果a+b+c可以被9整除，那么abc就能被9整除 (3) 解：这个三位数能被3整除，理由如下， 设这个百位数字为m,m为小于4的正整数，则十位数字为2m+3,个位数字为3m :.这个三位数为100m+10(2m+3)+3m=123m+30=3(41m+10), m为正整数， 3/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 这个三位数能被3整除。 【变式4】 【答案】(1)100a+10b+c (2)证明：abc=100a+10b+c =(99a+9b)+(a+b+c) =3(33a+3b)+(a+b+c) 33a+3b是整数 :.3(33a+3b)能被3整除 又，a+b+C能被3整除 .abc能被3整除； 应用：5或14 题型06整式加减中的无关型问题 三典例精析 【典例6】 1 【答案】g E 举一反三 【变式1】 【答案】(1)5y+6 (2)64 【变式2】 【答案】(1) 这个多项式的值与x的取值无关，理由如下： (2x2-3x2y-2y2）-(x3-2y2+y)+(-x23+3x2y-2y） =2x3-3x2y-2y2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-2y =(2x3-x3-x)+(-3x2y+3xy)+(-2y2+2.y2）+(-y3-2y） =-3y3 ,化简的结果中不含关于x的项， 4/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .原式的值与x的取值无关： (2)24 【变式3】 【答案】(1)8： (2)a+10b的值为常数6，与n的取值无关. 【变式4】 【答案】(1)10mn+2n-2 1 (2)m=- 5 题型07整式加减中的定值问题 典例精析 【典例7】 【答案】(1)4 2)定值为2，k的值为8 举一反三 【变式1】 【答案】(1)254,1 (2)A-B+C-D的值为定值，这个定值为0 (3)解：A+B-C-D不是定值.理由： 当x是奇数时， A+B-C-D =-x+(-x-24)-(x+3)-(x+27) =-4x-54; 当x是偶数时， A+B-C-D =x+x+24-（-x-3)-（-x-27) =4x+54 【变式2】 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】-2 【变式3】 【答案】(1)= (2代数式a-2b+4c-3d的值是定值，其定值为-68 题型08整式加减中的错解问题 三典例精析 【典例8】 【答案】B=7+3x+1:A-B=-2x-2 (2)①2A-C: ②C=x2+4x,A= x2+x-1, 4-B=21-C=23+x-(e+4刻 =x2+2x-2-x2-4x =-2x-2 举一反三 【变式1】 【答案】(1)M=4x2-x-11;(2)5x2-4x-4 【变式2】 【答案】 解：3x2y+4x2y-(7x2y2-y2）】]-7(xy+y2-xy2） =3x2y+(4x2y-7x2y2+y2）7x2y-7y2+7x2y =3x2y+4x2y-7x2y2+y2-7x2y-7y2+7x2y2 =-6y2: ,化简结果中不含x项， 云小明同学把“x=2”错看成“x= ”,但计算结果仍正确： 2 又：化简结果中是“y”,“1”、“-1”的平方是一样的， 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·小颖同学把“y=1”错看成“y=1”,计算结果也是正确的 【变式3】 【答案】(1)B=2ab-ab3 (2)2A+B=8a2b-5ab 【变式4】 【答案】-3x2-7x-1 题型09整式加减中的污染问题 三 典例精析 【典例9】 【答案】(1)x2-4x+4 5 214 举一反王 【变式1】 【答案】(1)13x2y (2)-4 (3)-3 【变式2】 【答案】(1)2a2+13 (2)3 【变式3】 【答案】(1)13x2y (2)-3 题型10整式加减中的比较大小问题 典例精析 【典例10】 【答案】(1)x+6>3y-4 (2)P<Q 7/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】(1)C=8a+2b,C2=6a+4b (2C1>C, 【变式2】 67 【答案】(1)-7>8 (2)①=(4a+2b+6c)cm,2=(4a+4b+4c)cm,=(2a+4b+6c)cm: ②丙种方式最节省打包带，证明如下： (4a+2b+6c)-(2a+4b+6c) =4a+2b+6c-2a-4b-6c =2a-2b. :a>b, .a-b>0, 2a-2b>0, .(4a+2b+6c)>(2a+4b+6c), 丙种方式比甲节省打包带. (2a+4b+6c)-(4a+4b+4c) =2a+4b+6c-4a-4b-4c =2(c-a）, .a>c, ∴.c-a<0, .2(c-a)<0 .(4a+4b+4c)>(2a+4b+6c). ·丙种方式比乙节省打包带. 综上所述，丙种方式最节省打包带. 【变式3】 【答案】图(1)中阴影区域的周长大，大12厘米 【变式4】 【答案】(1)3a2+8a+3>3a2+7a+1 8/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①3,4：②-4x2+10(答案不唯一) 9/9 培优专题02 整式运算及应用 （题型突破·举一反三） 题型01 合并同类项 题型02 去括号 题型03 整式加减的运算 题型04 整式加减中的化简求值问题 题型05 整式加减中的整除问题 题型06 整式加减中的无关型问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的错解问题 题型09 整式加减中的污染问题 题型10 整式加减中的比较大小问题 ▌题型01 合并同类项 简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例1】（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴A选项错误； B、 ∵与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B选项错误； C、∵， ∴C选项正确； D、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并， ∴D选项错误． 【变式1】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期中）多项式化简后不含项，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 根据多项式不含项，则项的系数之和为零． 【详解】中不含项， ， ； 故答案是：． 【变式4】（25-26七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， (1)用“＜”或“＞”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴确定a、b、c的符号，进而确定相关代数式的符号； （2）利用（1）的结论，根据绝对值的性质化简绝对值，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，所以，，． 故答案为：，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． ▌题型02 去括号 去括号时需注意括号外面的系数和符号 【典例2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号法则，括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号． 根据去括号法则判断即可． 【详解】解：∵原式为，括号前是负号， ∴去括号后，括号内各项变号：变，变，变， 结果为，与选项C一致． 故选：C． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 【变式4】（24-25七年级上·吉林·阶段检测）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． 【答案】 【分析】本题考查的是去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 去括号得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填写． 故答案为：． ▌题型03 整式加减的运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【典例3】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∴结果比原来大． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，先通过等式变形得到，再代入、的表达式，利用去括号、合并同类项法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道习题：，对甲、乙两位同学的说法判断正确的是（    ） 甲同学：当时，原式； 乙同学：无论取何值，原式的值不变 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据去括号、合并同类项法则化简原式，再验证甲、乙同学的说法是否正确． 【详解】解： ∵化简后原式为常数，与取值无关 ∴甲同学计算结果为，错误，乙同学说法正确， ∴只有乙正确， 故选：B． 【变式3】（22-23七年级上·全国·期末）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 【变式4】（21-22七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 【变式5】（20-21九年级上·山东青岛·期中）化简： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案； （2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案； （3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． ▌题型04 整式加减中的化简求值问题 【典例4】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】把所求的代数式去括号，合并同类项化简为最简形式，再把给出的代数式代入求值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段上截取线段，若恰好为的中点，，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义和整式的化简求值，先根据线段相等关系和中点性质求出的值，再对整式进行化简后代入计算．首先由得出的长度，结合是中点求出的长度即的值，然后对给定整式展开、合并同类项化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵为的中点， ∴，即． ． 将代入得：原式； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【答案】4013 【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可. 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式. 故答案为： 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 【变式4】（21-22七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． ▌题型05 整式加减中的整除问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 【典例5】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数，所有数位上的数字之和能被3整除，关于这个三位数的说法正确的是（   ） A．一定能被2整除 B．一定能被3整除 C．一定能被4整除 D．一定能被5整除 【答案】B 【分析】本题考查能被3整除的数的判定，整式加减的应用，通过将三位数转化为代数式，结合已知条件推导其整除性即可． 【详解】解：∵三位数， ∴， ∵、均为3的倍数，且能被3整除， ∴能被3整除， A选项需个位为偶数，题中无此条件，错误．C选项需后两位能被4整除，题中无此条件，错误．D选项需个位为0或5，题中无此条件，错误． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，这是2025年某月的日历，用框随意圈出五个数，所圈的五个数的和一定（   ） A．能被2整除 B．能被3整除 C．能被4整除 D．能被5整除 【答案】D 【分析】本题考查了日历中的数字规律与整式的加减应用，关键是设出中间数，用代数式表示出其他四个数，再求和分析整除性． 【详解】解：设中间的数为，则其余四个数分别为、、、． 五个数的和为：， ∴所圈的五个数的和一定能被整除； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则的值总能(   ) A．被3整除 B．被9整除 C．被11整除 D．被22整除 【答案】C 【分析】本题考查整式加减运算的应用，列代数式，先用含a的式子表示出M和N的十位数字、个位数字，进而表示出，即可求解． 【详解】解：由题意知，数字M的个位数字是a，十位数字为， 数字N的十位数字是a，个位数字为， 则， 因此的值总能被11整除， 故选C． 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当一个三位数满足可以被9整除，则该三位数就能被9整除．理由如下： ， 因为和都能被9整除，所以能被9整除； 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除 (3) 解：这个三位数能被3整除，理由如下， 设这个百位数字为，为小于的正整数，则十位数字为，个位数字为， 这个三位数为， 为正整数， 这个三位数能被3整除． 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）仿照题干材料分解整式即可； （3）将三位数表示出来，再分成一个整式即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知三位数为百位数字十位数字个位数字， 设这个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则； （2）略 （3）略 【变式4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】 阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题： 设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．解答如下： 解： ． 因为是整数，所以可以被9整除． 因此，如果能被9整除，那么能被9整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_________； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【应用】若四位数能被9整除，则m与n的和是_________． 【答案】（1） （2）证明： ∵是整数 ∴能被3整除 又∵能被3整除 ∴能被3整除； 应用：5或14 【分析】本题考查了数的整除，整式加减的应用，列代数式． （1）依据三位数的数位计数规则写出代数式； （2）参照问题背景的代数推理思路，将三位数拆分为含3的倍数的部分与各位数字和的部分，结合整除的性质完成验证； 应用部分：根据四位数能被9整除的判定规则（各位数字之和能被9整除），结合数字的取值范围确定m与n的和的可能值． 【详解】（1）解： （2）略 应用： 解：∵四位数能被9整除 ∴能被9整除 设（k为正整数） ∵m、n是0到9的整数 ∴或 当时，； 当时， 答：m与n的和是5或14． ▌题型06 整式加减中的无关型问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 【典例6】（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）当为何值时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】首先按照去括号、合并同类项的步骤进行运算，然后根据题意可得，求解即可获得答案． 【详解】解：原式 ， ∵多项式中不含项， ∴，解得． 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值．”在求的值时，小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求多项式． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，正确运算是解题的关键； （1）根据加减运算互逆的关系，求得多项式，根据多项式的值与字母的取值无关，进而求得的值； （2）把求得的中即可求解． 【详解】（1）解：因为，且， 所以 ． 因为整式A的值与字母x的取值无关， 所以， 所以， 所以多项式A为． （2）解：． 当时，． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式． (1)这个多项式的值与的取值有关吗？请说明理由． (2)当时，求这个多项式的值． 【答案】(1) 这个多项式的值与的取值无关，理由如下： ． ∵化简的结果中不含关于的项， ∴原式的值与的取值无关； (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，关键是利用运算法则进行计算； （1）将多项式化简后进行说明； （2）将字母的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，原式． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【答案】(1)； (2)的值为常数，与的取值无关． 【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算． （1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可； （2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于、、的方程，再通过消元法消去，推导出为固定常数，从而说明其与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 【变式4】（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知代数式，． (1)求； (2)当m取何值时，的值与n无关． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及整式加减中的无关型问题． （1）先计算，再将P和的多项式代入计算，计算过程中通过去括号，合并同类项最终化简即可； （2）由的值与n无关可知，含n项的系数为0，将整理为“含n项常数项”的形式，提取公因式n后得到含n项的系数为，再令含n项的系数等于0，解一元一次方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵的值与n无关， ∴含n项的系数为0， ∴， ∴，解得． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和的值． 【答案】(1) (2)定值为，的值为 【分析】本题考查整式加减运算与代数式的化简与求值，以及“定值问题”的处理思路． （1）先代入，分别计算和，再求的值． （2）先化简，使其成为关于的一次多项式，再根据“无论取何值，值为定值”的条件，令含的项的系数为，从而求出和定值． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ； （2）解： ． 无论取何值，的值为定值， 含的项的系数为，即， 解得，此时． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)254，1 (2)的值为定值，这个定值为0 (3)的值不是定值，理由见解析 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，探究规律、利用规律解决问题，探究复杂问题中的等量关系． （1）由题意知8个数为一行，每一行的第一个数是行数，后面的数依次加1，由此规律可判断2025所在的位置； （2）根据图表，用含有x的代数式分别表示A、B、C、D，即可得出结论； （3）分A表示的数为奇数或偶数两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 故2025在第254行，第1列； 故答案为：254，1； （2）解：是定值． 由题知， ， ∴的值为定值，这个定值为0． （3）解：不是定值．理由： 当x是奇数时， ； 当x是偶数时， . 【变式2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先把原多项式化简，再由无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，即可求解． 【详解】解： ∵多项式的值都等于定值12， 解得：， ． 【变式3】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）图1是2026年1月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d． (1) （选填“”“”或“”）． (2)当图2在图1的不同位置时，式子的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)代数式的值是定值，其定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后即可解决问题． 【详解】（1）解：设（为正整数），则，，， 则：，， ， 故答案为：； （2）解：代数式的值是定值，理由如下： 设（为正整数），则，，， 为定值， 的值为定值，其定值为． ▌题型08 整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 【典例8】（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②略 【变式1】（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可； （2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案． 【详解】解：（1）根据题意列得： ， 即； （2）正确答案为： ， 即正确答案为． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】 解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据错误的运算式，结合的表达式，反向计算求出； （2）将和求出的代入，进行整式的加减运算； 【详解】（1）解：∵小嘉将“”错看成“”，得到的结果是， ∴ ； （2）解： ． 【变式4】（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴正确答案为：． ▌题型09 整式加减中的污染问题 【典例9】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 【变式1】（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据整式加减法的运算法则计算即可； （2）根据整式加减法的运算法则得，又因为的值为常数，得被墨水污染的数字为3，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 则 ； （2）解：依题意， ， ∵的值为常数， ∴， ∴． 【变式3】（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将10代入“■”化简即可； （2）先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可． 【详解】（1）根据题意，原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）设■所表示的数字是a，则 原式＝ ＝ ＝ 因为化简结果为常数，所以， 所以■所表示的数字是 【点睛】本题考查了整式的加减－－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． ▌题型10 整式加减中的比较大小问题 多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 【典例10】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【变式1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】请用“作差法”解决下列问题： (1)比较和的大小． (2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为，，（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． ①用含a、b、c的代数式分别表示，，． ②当时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，，； ②丙种方式最节省打包带，证明如下： ， ， ， ， ， 丙种方式比甲节省打包带． ， ， ， ， ， 丙种方式比乙节省打包带． 综上所述，丙种方式最节省打包带． 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）利用求差法比较大小即可； （2）①根据图形列出代数式即可；②利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解： （2）解：①， ， ， ②略 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到厘米是解题的关键． 设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为，大长方形的宽为，，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为厘米，图（1）中阴影部分的周长为厘米，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【变式4】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 整式运算及应用 （题型突破·举一反三） 题型01 合并同类项 题型02 去括号 题型03 整式加减的运算 题型04 整式加减中的化简求值问题 题型05 整式加减中的整除问题 题型06 整式加减中的无关型问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的错解问题 题型09 整式加减中的污染问题 题型10 整式加减中的比较大小问题 ▌题型01 合并同类项 简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例1】（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期中）多项式化简后不含项，则为______． 【变式4】（25-26七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， (1)用“＜”或“＞”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． ▌题型02 去括号 去括号时需注意括号外面的系数和符号 【典例2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 【变式4】（24-25七年级上·吉林·阶段检测）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． ▌题型03 整式加减的运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【典例3】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道习题：，对甲、乙两位同学的说法判断正确的是（    ） 甲同学：当时，原式； 乙同学：无论取何值，原式的值不变 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式3】（22-23七年级上·全国·期末）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】（21-22七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【变式5】（20-21九年级上·山东青岛·期中）化简： (1)． (2)． (3)． ▌题型04 整式加减中的化简求值问题 【典例4】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段上截取线段，若恰好为的中点，，，则代数式的值为________． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【变式4】（21-22七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． ▌题型05 整式加减中的整除问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 【典例5】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数，所有数位上的数字之和能被3整除，关于这个三位数的说法正确的是（   ） A．一定能被2整除 B．一定能被3整除 C．一定能被4整除 D．一定能被5整除 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，这是2025年某月的日历，用框随意圈出五个数，所圈的五个数的和一定（   ） A．能被2整除 B．能被3整除 C．能被4整除 D．能被5整除 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则的值总能(   ) A．被3整除 B．被9整除 C．被11整除 D．被22整除 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 【变式4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】 阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题： 设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．解答如下： 解： ． 因为是整数，所以可以被9整除． 因此，如果能被9整除，那么能被9整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_________； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【应用】若四位数能被9整除，则m与n的和是_________． ▌题型06 整式加减中的无关型问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 【典例6】（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）当为何值时，多项式中不含项． 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值．”在求的值时，小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求多项式． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式． (1)这个多项式的值与的取值有关吗？请说明理由． (2)当时，求这个多项式的值． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【变式4】（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知代数式，． (1)求； (2)当m取何值时，的值与n无关． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和的值． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）图1是2026年1月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d． (1) （选填“”“”或“”）． (2)当图2在图1的不同位置时，式子的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由． ▌题型08 整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 【典例8】（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【变式1】（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式3】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【变式4】（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ ▌题型09 整式加减中的污染问题 【典例9】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【变式1】（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式M中含的项的系数（题中的“●”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为5，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字． 【变式3】（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ ▌题型10 整式加减中的比较大小问题 多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 【典例10】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【变式1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】请用“作差法”解决下列问题： (1)比较和的大小． (2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为，，（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． ①用含a、b、c的代数式分别表示，，． ②当时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【变式4】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $