2.2相似三角形的判定（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本练习以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C/拓展四层设计，实现从基础判定到中考应用的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|相似三角形判定全方法（平行、两角、两边夹角等）|基础题型为主，含尺规作图、网格分割等操作题| |B组能力进阶|判定方法综合应用|结合一线三等角、手拉手等模型，渗透方程思想| |C组思维拔高|动态探究与开放问题|设置几何探究题，培养分类讨论与创新意识| |拓展链接中考|中考真题演练|选取旋转、四边形综合等中考高频题型，强化模型意识|

分层作业 2.2相似三角形的判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据平行判断比例式成立或求线段的长 题型02根据两角判断三角形相似 题型03根据两边及夹角判断三角形相似 题型04根据三边判断三角形相似 题型05添加条件使两个三角形相似 题型06利用尺规作图求作两个三角形相似 题型07在网格中把一条线段按比例分割 题型08三角形相似判定方法的综合运用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据平行判断比例式成立或求线段的长 1．（25-26九年级上·河南·期末）如图，，交于点，下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． ( 题型0 2 )根据两角判断三角形相似 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 7．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． ( 题型0 3 )根据两边及夹角判断三角形相似 10．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 12．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 13．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 14．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． ( 题型0 4 )根据三边判断三角形相似 16．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 19．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 20．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． ( 题型0 5 )添加条件使两个三角形相似 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 22．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级下·河南商丘·开学考试）如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 25．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） ( 题型0 6 )利用尺规作图求作两个三角形相似 26．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，是的角平分线，点是边上一点，请你用尺规作图法在线段上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 28．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） ( 题型0 7 )在网格中把一条线段按比例分割 29．（25-26八年级下·上海·阶段检测）汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． (1)求证：K为对角线的四等分点； (2)请在图2中画出的三等分点，简单说明画法，并证明； 30．（2026·吉林长春·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 31．（25-26八年级下·上海·阶段检测）作图题 (1)已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 32．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）．请只借助一把没有刻度的直尺（只能画直线）在所给的网格中完成下列各题作图，并保留作图痕迹． (1)作线段，使，且； (2)在线段上作出点，使． ( 题型0 8 )三角形相似判定方法的综合运用 33．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 34．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 3．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）在中，已知是的角平分线，求证：． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． (1)求的值． (2)若，求的面积． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，，点E在射线上，连接，把绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点F，旋转角，射线与射线交于点P． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，已知点E在线段的延长线上，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，当时，求线段的长． 6．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 1．（方程思想）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（分类讨论思想）如图，在中，，，，点P是线段上一点，连接．将沿直线折叠，点A落在点D处．当平行于的一边时（不在的边上），线段的长为_____． 3．（最值问题）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 4．（手拉手相似模型）如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 5．（网格问题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 6．（一线三等角模型）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 7．（几何探究）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2相似三角形的判定 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 根据平行判断比例式成立或求线段的长 1.D 2.D 3.c 4.B 5. 【答案】证明：DE∥AB, CE CD AE BD' :DF∥AC, AF CD BF BD' AF CE FB AE 题型02 根据两角判断三角形相似 6.C 7. 【答案】证明：：DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED ∴.△ABCP△ADE 8. 【详解】证明：：∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠BCA=180°， .∠ADC=∠ACB :∠CAD=∠BAC, .△ADC∽△ACB 1/19 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 【详解】证明：：四边形ABCD是矩形， .∠DAC=90°，AB∥DC. ∴.∠EAF+∠BAE=90°，∠CDE=∠ABE. ,AE⊥BD, .∠EAB+∠ABE=90°， ∴∠EAF=∠ABE=∠CDE」 :AE⊥BD于点E,EF⊥EC交AD于点F, ∠AED=FEC=90 .∠AEF=90°-∠DEF,∠DEC=90°-∠DEF, ∴.∠AEF=∠DEC. ∠EAF=∠CDE, ∴.△AEF∽ADEC 题型03 根据两边及夹角判断三角形相似 10.B 11.90° 12. 【答案】证明：OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2, 04-1=20D=2 0B1.53·0C3, OA OD 0B0C' 又∠AOD=∠BOC, .AOADAOBC. 13. 【详解】证明：，AEAB=ADAC, AE AC AD AB' 又：∠DAE=∠CAB」 ∴.△ADE∽△ABC 14. 【答案】 AC 5 1 证明：：EC102 2119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC3_1 DC62' AC BC EC DC' 又∠ACB=∠ECD, ,△ACBP△ECD 15. 【答案】 证明：：△CDP是等边三角形， .PC=PD=CD=3,∠PCD=∠PDC=60°」 .∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC=120°， .∠ACP=∠PDB. AC 2 PC 3 2 PD3'BD=9=3, 2 AC PC ·PDBD' .△ACP△PDB 题型04 根据三边判断三角形相似 16.A 17.B 18. 【答案】 证明：：AB=2,BC=VP+1P=√2，AC=VP+32=V0, EF=3,DE=V32+32=3V2,DF=V32+62=3V5, 器器华祭号提号 AC BC AB√2 DF ∴△ABC∽△DEF 19. 【答案】 证明：：点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE-TAB,EF-IBC,DF-TAC, AB_BC_AC=2, 即DEEF DF ∴.△ABC∽△DEF 20. 【详解】证明：“∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， CE-4D.CF-4B.EF-D8. CE CF EF 1 AD AB DB 2' ,.∴ACEF△ADB, ∴.∠CFE=∠B 颗型05 添加条件使两个三角形相似 21.D 22.C 23.C 24.B 25.①②或①③ 题型0k 利用尺规作图求作两个三角形相似 26. 【详解】解：如图所示，点F即为所求.（作法不唯一）· ,BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD 若使得△BEFP△BAD, 则只需作∠BEF=∠A即可. 利用作一个角等于已知角的尺规作图方法作∠BEF=∠A,EF交BD于F,点F即为所求. 27. 【详解】解：如下图： 4119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 过点C作CD⊥AB交AB于点D, ∴，∠CDA=90° ,在△ACD和△ABC中， [∠CDA=∠ACB ∠A=∠A .△ACD∽△ABC 28. 【详解】解：如图，点E,F即为所求： B 题型07 在网格中把一条线段按比例分割 29. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AD⊥DC, 由折叠得，EH⊥DC,FI⊥DC,G⊥DC,DH=HⅢ=J=JC, .KH∥LI∥MJ∥AD, AK DH 1 AC DC4 .K为对角线AC的四等分点： (2)如图，点P,Q即为所作： PFOG B 图2 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：同(1)可证明AK=KL=LM=MC, 连接BM, 根据作图可得∠PKA=∠BMA,∠QLA=∠BMA KP∥BM∥Lg, .AP:PO:BO=AK KL:MC=1:1:1. 即点P,Q为线段AB的三等分点， 30. 【详解】(1)解：如图，点P即为所求作的点， M 图1 ,四边形MFNE是矩形， ∴.MP=NP, ∴点P是MN的中点： (2)解：如图所示，点H即为所求作的点， 图2 ·AE I BF .△AEH∽△BFH, AH AE 2 ·BHBF3' AH 2 .AB5' 2 ·4H=54B ,△ACH与△ABC同高， SACHSAABC 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31. 【答案】(1)点C如图所示， D B (2)点M如图所示： B 32 【答案】(1)如图，线段AC即为所求 B (2)如图，点D即为所求 题型nR 三角形相似判定方法的综合运用 33 【详解】(1)证明：：∠AFE=∠ABC,且∠EAF=∠CAB, .△AEF△ACB. (2)证明：，△AEF∽aACB」 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEAF .AC AB' AE AC AFAB’ ,∠A=∠A, ∴，△ABF∽△ACE 34. 【详解】(1)证明：：AD‖BC, .∠ADE=∠DBC, .∠AEB+∠C=180°，∠AEB+∠AED=180°， ∴∠AED=LC, 在△ADE与△DBC中， ∠ADE=∠DBC ∠AED=∠C ∴.△ADE∽△DBC: (2)证明：如图， E 由(1)知，△ADE∽△DBC, AD DE ·DBBC,即DEDB=ADBC' ..CD2=AD.BC, ∴.CD2=DEDB. CD DE 即DB=CD,且∠CDE=∠BDC: .ACDEABDC, ·LDCE=∠DBC, .∠ADE=∠DBC ∴，∠DCE=∠ADB 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 > 1.2 2.5 【答案】证明：如下图所示，过点C作CEAD,交BA的延长线于点E, AD‖EC, ∴∠1=∠4，∠2=∠3， :AD平分∠BAC, ∠1=∠2， .∠3=∠4， .AE=AC, AD EC, ABDB AE DC AB BD AC CD' AB AC BDCD· 4 3 B D 【详解】(1)解：：AB=BC,BE平分∠ABC, .AE=CE DGI BE EF AE CD CG DGAG' BD EG ,AD是边BC上的中线， 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=BD 1 Hc04t47=0V-=10-=07=02. 2 2 EFAE2 ·DGAG3 (2)解：：AB=BC,BE平分∠ABC, AE=CE,BE⊥AC, 1 54c=2x4x4=8. AD是中线， Sa0=234c=4 AF EF 2 ·ADDG3 .DF-14D 3 .SARDF=S△MBD= 3 5. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形，AC是对角线， AB∥CD ∴.LBAC=LDCF, .∠EDF=∠BAC, .ZEDF=ZDCF, .'∠DFP=∠CFD. ∴.△FDPOAFCD: (2)解：如图2，连接DB交AC于O, 0 B 图2 :四边形ABCD是菱形， ∴.∠D0C=90° 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CD=AD=B=2g,01=0c=4C=x12=6. 2 .OB=D0=4,A0=C0=6, 在Rt△DOF中，DF=5, 0F=VDF2-0D2=V52-42=3,FC=6-3=3, 由(1)得：△FDP△FCD. FD FC FP FD' ∴.FD2=FC·FP,即52=3FP, :FP2 CP--3-0 4P-4C+CP-12 1652 3, 33 ,四边形ABCD是菱形， .AD‖BC, 16 CE 3 CECP,即2=5 AD AP 3 解得：CE=8v3 13： (3)解：四边形ABCD是菱形， 图3 .AB=BC, .∠BAC=∠BCA, ..EF Il AB ∴.∠EFC=LBAC, ∴.∠EFC=∠BCA, .EF =EC, 由(1)得：∠FDE=∠BAC=∠BCA, 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FPD=∠EPC, ∴△FPD∽△EPC, FP DP EP CP ∠FPE=∠DPC, ∴.△FPEm△DPC, .LPDC=∠EFC, .∠EFC=LBAC=∠DAC, .∠PDC=∠DAC. .∠DCP=∠ACD ∴△DCP∽△ACD. CD CP .AC-CD' .CD2=CP.CA, 由(2)知：CD=2N3,AC=12, CP=13 ,4P=12-CP=12-13_23 33, ,ADI‖BC CE CP AD-AP' 6 CE 3 21323, 3 .CE=26v3 23， .EF=CE 26v13 23· 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=DC, ,∠AED+∠ADE=90°， :DE⊥CF ∠DFC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC, 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AED≌△DFC(AAS). ..DE=CF, D CF-: (2)解：四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90°， ∠AED=∠DFC, .AEDADFC, DE AD 5 CF DC3 (3)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∠B=∠CDF, .∠B+∠A=180°， :∠B+∠EGC=180°， ∴.∠EGD=∠A, .∠EGD=∠DGF. ∠DGF=∠A, :∠FDG=∠EDA, :AFDG△EDA, DG DF DADE· DG DA DFDE' ∠B+∠EGC=180°，∠B=∠CDF, .∠CDF+∠EGC=180° .∠CGD+∠EGC=180°， .∠CGD=∠CDF, .·∠DCG=∠FCD ADCG∽aFCD, 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG CD FD CE' DA CD DE CF' DE AD CF CD C组 思维拔高 1.A 2.2或6 3.i0-V2 4.2v6 5. 【详解】(1)解：如图， 由网格特点可得GEI‖HD,AG=GH, AE AG ·EDGH :AE ED, ∴点E是AD的中点， 片6=0 同理可得点F是BC的中点， 1 BF-2BC ,在ABCD中，AD∥BC,AD=BC, ∴AE=BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形， .EF∥AB 14/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图， B 由(1)同理可得点E,F分别是AD,BC的中点，EF∥AB∥CD, A0=1,0D=DE ·OHED G0_AE-1, .AO=OH,GO=OD .四边形AGHD是平行四边形， .GH∥AD 6 【答案】(1) 证明：EC⊥DE, .∠DEC=90°， ∠DAB=∠CBA=90°， ∴.∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠CEB=90°， ∴.∠ADE=∠CEB. ∴.△AED∽△BCE (2) 证明：由(1)得△AEDABCE. AD AE EB BC' .AE=EB, .AE2=AD.BC. 1 【详解】(1)解：AD=2AB: 理由如下： :矩形ABCD是可等垂四边形， ∴OB=OC,OB⊥OC,AB=CD, ∴.∠OCB=∠OBC=45° 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=90°， .∠AB0=45°， :∠A=90°， ∠AB0=∠AOB=45°， .AB=AO. 同理可得CD=OD, .AD=2AB (2)解：①AD=AB+CD: 理由如下： :四边形ABCD是可等垂四边形， BP=PC,BP⊥PC, .∠BPA+∠CPD=90°， .∠D=90° ∴∠PCD+∠CPD=90°， .∠BPA=∠PCD :AB∥CD ∠A=∠D=90°， ABPA≌△PCD(AAS), .AB=DP,PA=CD. ∴AD=DP+PA=AB+CD: ②略 (3)解： 5 理由如下： 当点B在AP上，点C在Dp上时，AB=PB=)AP=1, 设点O为等垂点，连接OB,OC,过点C作CE⊥AD于点E, 设CE=x, :四边形ABCD是可等垂四边形， ∴.OB=OC且OB⊥OC, 由(2)可知，△ABO≌△EOC, ∴OE=AB=1,AO=CE=x, ∴.DE=3-x-1=2-x, 16/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE ll AP. ∴ADCE△DPA, CE DE PA DA' x2-x “23 解得x4 5, ,DE=2-46 .CE=4 55 在 t△CDE 中，CD=VCE2+DE 当点B在DP上，点C在AP上时，BP=BDDP, 设点O为等垂点，连接OB,OC,过点B作BF⊥AD于点R, 设AC=y, ∠DAP=90°， .BF Il AP, .△DBFP△DPA, BF DF DB 1 PA AD DP 2' FP4-1 DF-4D 2 由(2)可知，△AOC≌aFBO, ..OA=BF=1,AC=FO=y, 1+y+3=3, 2 解得少分 17/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .∴.AC= 2 1)2 在 t△CDA 中，CD=√AC2+AD 拓展 链接中考 1.A 2.D 3.D 【详解】(1)解：略： (2)解：在矩形ABCD中， ∴.∠ABC=∠D=90°， 由(1)知△AEF≌△ABC, .AE=AB=2,EF=CB=4,∠AEF=∠B=90°， .'∠CAD=∠EAG,∠AEG=∠D .△AEG∽△ADC, AE EG ·ADCD' 2 EG …42’ .EG=1, .FG=4-1=3 18/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 19/19 分层作业 2.2相似三角形的判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据平行判断比例式成立或求线段的长 题型02根据两角判断三角形相似 题型03根据两边及夹角判断三角形相似 题型04根据三边判断三角形相似 题型05添加条件使两个三角形相似 题型06利用尺规作图求作两个三角形相似 题型07在网格中把一条线段按比例分割 题型08三角形相似判定方法的综合运用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据平行判断比例式成立或求线段的长 1．（25-26九年级上·河南·期末）如图，，交于点，下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一排除即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故该选项符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 ( 题型0 2 )根据两角判断三角形相似 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 7．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先根据以及得到，继而可用两角相等证明相似． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由矩形的性质得，则、，再根据垂直的性质可得，进而得到；再根据角的和差可得，最后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ( 题型0 3 )根据两边及夹角判断三角形相似 10．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 【答案】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 12．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 13．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 14．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，则可证明，，据此可证明结论． 【详解】略 ( 题型0 4 )根据三边判断三角形相似 16．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 17．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 18．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 19．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 20．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，解题关键是熟练运用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一核心性质，推导证明结论． ( 题型0 5 )添加条件使两个三角形相似 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 22．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 23．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； 24．（25-26九年级下·河南商丘·开学考试）如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：， ∴； ， ∴，即， ∵， ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ， ∴； ， ∴，无法得到， 所以一共有4个． 25．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． ( 题型0 6 )利用尺规作图求作两个三角形相似 26．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，是的角平分线，点是边上一点，请你用尺规作图法在线段上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是的角平分线，所以，若使得，则只需作即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一）． ∵是的角平分线， ∴， 若使得， 则只需作即可． 利用作一个角等于已知角的尺规作图方法作，交于，点即为所求． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的性质，需要确保两个三角形的对应角相等，过点C作交于点D即可． 【详解】解：如下图： 过点C作交于点D， ∴， ∴在和中， ， ∴． 28．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先作，再作即可，由于，则，故，再由得到是等边三角形，则，那么，则，再由即可证明． 【详解】解：如图，点即为所求； ( 题型0 7 )在网格中把一条线段按比例分割 29．（25-26八年级下·上海·阶段检测）汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． (1)求证：K为对角线的四等分点； (2)请在图2中画出的三等分点，简单说明画法，并证明； 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ， 由折叠得，， ， ， ∴为对角线的四等分点； (2)如图，点即为所作： 证明：同（1）可证明， 连接， 根据作图可得， ∴， ∴， 即点为线段的三等分点． 【分析】（1）由折叠得，，则，由平行线分线段成比例定理即可求证； （2）同（1）可证明，连接，通过作一个角等于已知角的方法，作，由平行线分线段成比例定理可得点为线段的三等分点； 【详解】（1）略 （2）略 30．（2026·吉林长春·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点P，则点P即为所求作的点； （2）取格点E，F，连接交于点H，则点H即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作的点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点P是的中点； （2）解：如图所示，点H即为所求作的点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与同高， ∴． 31．（25-26八年级下·上海·阶段检测）作图题 (1)已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 【答案】(1)点C如图所示. (2)点M如图所示： 【分析】（1）过点A任作射线，在上依次截取，连接，过点F作交于点C，根据平行线分线段成比例可得点C符合； （2）在延长线上取点E，使，连接交于点M，连接，则易得，而，则点M即为所求作的点． 【详解】（1）略； （2）略. 32．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）．请只借助一把没有刻度的直尺（只能画直线）在所给的网格中完成下列各题作图，并保留作图痕迹． (1)作线段，使，且； (2)在线段上作出点，使． 【答案】(1)如图，线段即为所求 (2)如图，点即为所求 【分析】（1）如图，由网格图，，即，可得为以点为直角顶点的等腰直角三角形，即可解答； （2）如图，构造“”字型三角形相似，使得两条水平线的比为，可得，即． 【详解】（1）略 ( 题型0 8 )三角形相似判定方法的综合运用 33．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】延长和交于点，作交于点，设，则，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形，从而，，利用，可得，可求，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得，进而，利用勾股定理，列方程，求出，最后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：延长和交于点，作交于点， 设，则， ，， ，即四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ，， ． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 3．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 【详解】略 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． (1)求的值． (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查知识点等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中线的性质、三角形面积公式相关知识点，解题的关键在于利用等腰三角形三线合一性质：准确识别等腰三角形中角平分线、中线和高的关系，从而得出线段相等和垂直关系，这是后续计算的基础， 熟练运用平行线分线段成比例定理，准确把握三角形中线与面积的关系：理解中线将三角形面积平分以及同高三角形面积比与底边比的关系，对于计算三角形各部分面积至关重要． （1）根据等腰三角形三线合一性质得到．利用平行线分线段成比例定理得到线段成比例，根据中线性质进行等量代换即可求解 ； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的面积（已知底和高），再由中线性质得到，由第一问得到的比例关系推出．最后根据同高的三角形面积比等于底边的比即可求出． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴． ∵， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵，平分， ∴，， ∴． ∵是中线， ∴． ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，，点E在射线上，连接，把绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点F，旋转角，射线与射线交于点P． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，已知点E在线段的延长线上，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两个角对应相等，两个三角形相似即可求证； （2）连接，根据勾股定理求出的长，分别计算出的长，根据题意得，由此即可求解； （3）证明可得，再证明，列出比例关系求得，再根据平行线分线段成比例可求出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即， 解得：； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质的综合，掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造相似三角形的知识是解题的关键． 6．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 1．（方程思想）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 2．（分类讨论思想）如图，在中，，，，点P是线段上一点，连接．将沿直线折叠，点A落在点D处．当平行于的一边时（不在的边上），线段的长为_____． 【答案】2或6 【分析】平行于的一边的位置共有两种：①，先证明，求出，，，然后设，根据勾股定理列方程求解即可；②，根据轴对称的性质，结合平行线的性质证明即可． 【详解】解：，，， ， 当时，， 沿直线折叠，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得； 当时，， 沿直线折叠，得到， ， ， ； 综上所述，线段的长为2或6． 【点睛】先要根据已知条件画出符合题意的不同位置的图形，然后根据相似三角形的性质、勾股定理等知识求解． 3．（最值问题）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，首先证明，从而，再根据，可求​，可知点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而可求最小值． 【详解】解：如图，取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ， 则​， 在和中， ​, ， ∴， ∵， ∴， ， 是直角三角形， ∴, ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ​∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，连接，交圆于，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形, ∵, ∴, ∴, 在中，​, ∴， ∴的最小值为． 4．（手拉手相似模型）如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 【答案】 【分析】延长至H，使得，连接，，利用三角形的中位线定理得到；然后利用旋转性质和等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而证明，利用相似三角形的性质可得到答案． 【详解】解：延长至H，使得，连接，， ∵点为的中点，， ∴是的中位线， ∴； 由旋转性质得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（网格问题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)解：所求图形如图所示． 【分析】（1）取与格线的交点F，连接即可； （2）同（1）取，与格线的交点E，F，连接，，与交于点O，连接并延长交于点H，连接即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格特点可得，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴， 同理可得点F是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图， 由（1）同理可得点E，F分别是，的中点，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 6．（一线三等角模型）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1) 证明：， ， ， ，， ， ． (2) 证明：由（1）得， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 7．（几何探究）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】(1) (2)①； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； (3)或 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②略 （3）解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 【点睛】在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答． 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $