第4章 相似三角形全章8大重点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“模型识别-方法迁移-综合应用”为主线，系统构建相似三角形解题体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|判定（AA/SAS/SSS）+性质（比例/面积比）+模型（A/X/母子型）|从概念到方法，建立问题转化框架| |题型归纳|8题型（1典例+3变式）|线段长（比例式列方程）、比值（中间比转化）、最值（函数/轨迹）、综合（四边形/函数/圆）|从单一应用到多知识融合，层层递进| |压轴挑战|15道综合题|折叠/旋转/动态问题中的相似构造|对接中考高难考点，提升创新意识|

第4章 相似三角形 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 题型4、相似三角形与四边形的综合 题型5、相似三角形与函数的综合 题型6、相似三角形的与圆的综合 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形问题，要熟练掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方）；解题关键在于找准或构造“A型”“X型”“母子型”等基本相似模型；求线段长时，常通过比例式列方程；求线段比值时，注意利用中间比进行转化；最值问题常结合对称、旋转、轨迹圆将动线段转化为定点到定直线的距离；与四边形、圆、函数综合时，要善于挖掘隐含的相似关系，并灵活运用方程思想与数形结合思想；实际测量问题要先建立几何模型，再借助相似比求解未知量． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 典例1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连接，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得，如图：过F作于H，则四边形是矩形，则；设，则，，，再证明，利用相似三角形的性质可得，整理为方程为，再利用一元二次方程根的判别式可得，的最大值为，最后代入方程求x的值即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， 如图：过F作于H，则四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 整理为关于x的一般式为：且该方程有实数根， ∴，解得：， ∴， ∴的最大值为， 当的长最大时，将代入方程，解得：，即， ∴当的长最大时，的长为． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段长度． 2.方法：识别或构造“A型”“X型”等基本模型；列出对应边比例式；设未知数建立方程求解． 变式1-1 （2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 变式1-2 图1中周长为58的矩形纸片剪掉一块边长为4的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中线段的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形于点M、N，则__________． 【答案】 10 【分析】如图（见解析），结合两个图形得出，，再证出，求出的长，即可得的长；先得出的长，再得出，的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图1和图2可知，，它们等于剪掉的那块正方形的边长，即；（理由是图2中的）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设图1中周长为58的矩形纸片的长为，则宽为， ∴，，， ∴， 解得或（此时，不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴，，， ∴图2中线段的长为10． 如图，延长，交于点， 由题意得：，，，，，，，，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于正确找出相似三角形． 变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，过点作交于点，设，根据平行四边形的性质推出点与点重合，且点在上，，根据勾股定理得，根据等腰直角三角形的性质得，，继而得到，，证明得，解得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作交于点，设， ∵与是的对角线， ∴点是的中点， ∵恰好经过中点， ∴点与点重合，且点在上， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且为斜边， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 即的长为． 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 典例2 （2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】/ 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段比值． 2.方法：寻找中间比进行转化；利用面积比、周长比与相似比的关系；注意黄金分割等特殊比值． 变式2-1 （2026·浙江杭州·二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为________． 【答案】 【分析】设原黄金矩形长为、宽为，由黄金分割定义得．结合题意，是为第一次裁剪剩余矩形的宽，是为第二次裁剪剩余矩形的宽，利用黄金矩形自相似性，剩余矩形依然是黄金矩形，因此新矩形宽与长的比值仍为黄金分割比，直接推出的值． 【详解】解：设原黄金矩形的长为，宽为， 根据黄金矩形定义：宽:长=，即. 从原矩形裁去边长为宽的正方形后，剩余新矩形的长为原矩形的宽，宽为， 由题意，第一次裁剪后剩余矩形的长，宽为， 剩余矩形仍是黄金矩形，它的宽与长之比依旧等于黄金分割比， 即：， 第二次裁剪后剩余矩形的长为第一次裁剪后剩余矩形的宽，宽为， 即：， 第三次裁剪后剩余矩形的长为第二次裁剪后剩余矩形的宽， ． 变式2-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图，内接于，，连接并延长，交于点，交于点，在上取一点，连接，交于点，若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的判定以及相似三角形的判定与性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，从而得到角相等，，，利用平行线的判定，求得，通过对应角的相等，求得，，设，利用三角形相似的性质求线段长度即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，为直径， ， ， 为的中点， 在中，， ， ，， ， ， 且， ， ， ， 且， ， 在中，同弧所对的圆周角相等， ， 且， ， ， ，， ， ， ， 设，在中， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 变式2-3 （2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H，则；证明与平行，由平行线分线段成比例定理得到，设，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵， ∴； ∵， ∴与平行， ∴， 设， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 典例3 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段最值． 2.方法：确定动点轨迹；将目标线段用相似比表示为某变量的函数；结合函数性质或几何不等式求最值． 变式3-1 （2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（  ）． A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用相似得到关于的代数式，再构建面积函数求最小值． 【详解】解：， ，相似比， 设，由相似：，，， 在上：， 在上：，， 综合得， ， ， ， 是开口向下的二次函数，越大，越小， 可取的最大值为，代入： ． 变式3-2 （25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】证明，得到，设，勾股定理得到，将的最大值转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为. 变式3-3 （2026·浙江杭州·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E是边上一动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得到，过点E作交于点H，连接．则在点E移动过程中，线段的最小值为______． 【答案】1 【分析】动点F的运动轨迹为以点A为圆心，以4为半径的正方形内部的，设，，得到，当时，y取得最大值1，此时点记作，过点R作于点T，得到，连接交于点Q，，．连接，根据题意，得，当F与Q重合，点H与R重合时，取得最小值，此时的最小值就是； 【详解】解：∵沿翻折得到，四边形是边长为4的正方形， ∴， 故点F到定点A的距离等于定长4， 故动点F的运动轨迹为以点A为圆心，以4为半径的正方形内部的， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， ∴有最大值，且当时，y取得最大值1，此时点记作， ∴， 过点R作于点T， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接交于点Q， 则， ． 连接，根据题意，得， 当F与Q重合，点H与R重合时，取得最小值，此时的最小值就是； 题型4、相似三角形与四边形的综合 典例4 （25-26八年级下·浙江温州·期末）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，交于点，利用正方形性质以及证明，得到，，为定值；再结合，通过相似证明，推出，设，从而得到其余选项比值随、移动改变． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则四边形为矩形， ∴，，， 又，， ∴， 又四边形是正方形， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在点，运动的过程中，为定值，为，B正确； 又，， ∴， ， 设， 则，，，， ， ， 不是定值，A错误； 不是定值，C错误； 不是定值，D错误． 题型模版 1.特征：相似三角形与正方形、矩形、菱形、平行四边形的综合问题． 2.方法：利用特殊四边形的边、角、对角线性质；寻找共角或等角以判定相似；结合勾股定理列方程． 变式4-1 （2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长，再证明，利用相似比求出的长即可． 【详解】解：过点作于点． 四边形是菱形， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ． 即菱形的边长为． 变式4-2 （2026·浙江台州·二模）如图，在菱形中，，E，F分别是边，上的点，连结，点A关于直线的对称点G恰好落在边上，连结，，交对角线于点M，若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】过点作交的延长线于点，先证明，然后证明，最后通过和平行得到求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ∴,， ∵ ∴，为等边三角形， ∴ 由对称可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， 同理可得，为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 变式4-3 （25-26九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知平行四边形，以为圆心，的长为半径作弧交于点．再分别以，为圆心，适当长度为半径作弧交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，已知，．作射线，交的延长线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ， ， 由题意可知平分， ， ， ． ， ． 又， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）运用角平分线加平行线推等腰模型得到，再结合得到，根据即得到四边形是平行四边形，继而证明四边形是菱形； （2）作于点，根据证明，从而得到，从而得到，，设，利用等腰三角形的性质得到，则，利用D求出x的值，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 设，则， ，解得， ∴， ，， ． 题型5、相似三角形与函数的综合 典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据图2最高点得出长，根据点横坐标得出长进而求出及点纵坐标；结合图2终点横坐标及选项D验证长，利用勾股定理逆定理推导长，从而判断选项． 【详解】解：由图2可知，的最大值为400，此时运动到点， ∴，解得，故A选项正确； 由图2可知，点为段的最低点，此时，过点D作， ∵点横坐标为36， ∴， 在中，， ∴点纵坐标为，故B选项正确； 在图1中，作点B关于的对称点F， 则，， 根据图2可知运动到点B和点F时，相等， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 由图2可知运动到点时， ∴， ∴， 选项C中，故C选项错误； 在中，， 若选项D正确，即点在函数图象上， 此时在段，， 则从点运动了， ∴， 又，∴， ∴，符合题意； 综上，D选项正确，C选项错误． 题型模版 1.特征：相似三角形与函数图象、解析式的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取关键信息；用相似比建立变量关系；联立方程求交点或参数． 变式5-1 （2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 【答案】B 【分析】首先结合图像确定，结合点的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此段函数图像的对称轴为，过点作于点，连接，即，证明，利用相似三角形的性质可解得，故选项A错误；在中，由勾股定理可得，易得，故选项B正确；当点与点重合时，取最大值，解得此时 ，故选项C错误；当时，利用勾股定理解得，易得点不在该函数图像上，故选项D错误． 【详解】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段， 当点在线段上时，函数的图像为段， 当，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， 当点运动到点，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， ∴， 由函数图像可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像的对称轴为， 如下图，过点作于点，连接， 当点与点重合时，取最小值，即取最小值， ∴取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，故选项A错误，不符合题意； 在中，， ∴，故选项B正确，符合题意； 当点与点重合时，取最大值，即此时， ∵， ∴， 即，故选项C错误，不符合题意； 当时，如图，即， ∴， ∴， ∴点不在该函数图像上，故选项D错误，不符合题意． 变式5-2 如图1，内接于，为的直径，．点为弧上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①求证：； ②若，，求的值． (3)设，，求关于的函数关系式． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)①证明：，是直径， ， ， 由（1）可得， ， ， ； ② (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到、，再利用垂线的定义得到，进而证明，再利用对顶角相等得出结论； （2）①根据圆周角定理得到，进而得到，结合（1）中结论得到，从而得出结论； ②连接，根据圆周角定理求出、，利用勾股定理求出长，易证明，求出长，由①知，则，据此求解即可； （3）设，则，利用勾股定理求出长，同（2）求出长和值，利用相似三角形的性质求出的值，再求出的值，两式相乘求出，从而求出与的函数关系式． 【详解】（1）略； （2）①略； ②解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 在中，由勾股定理得：， 、， ， ， ， 解得：， 由①知，， ； （3）解：， 设，则， 由（2）可知，， 由勾股定理得：， 由（2）可知：和， 、， ， ， ， ， 得：， 关于的函数关系式为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 变式5-3 （25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，，直线的表达式为，设点，根据平移的性质得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，，，证明，得到，求出，然后表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：令得，， 解得：，， ， 把代入中，得：， ， ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∵平移线段至， 设点，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点， 将点F代入，得 整理得，， 解得（舍去），， ∴； （3）解：，轴，交抛物线于点M， ， ∴，，， ， ∴， ，即， 解得， ，， ， ， 整理得，， 解得（舍去），， 的值是． 题型6、相似三角形的与圆的综合 典例6 如图，在中，，，以其三边为边向外分别作正方形，连结，点在外接圆上，，过点作交边于点，交边于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，而在中，由勾股定理得，因此需要进一步结合条件再寻找关于的等量关系．首先连接，过点作，结合， ，可求出，，然后根据利用相似三角形的判定和性质得到一个关于的等式，进而使问题得解． 【详解】解：如图，连接，过点作， ， ， ． 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ． ，， ， ． 在 中，由勾股定理，得 ． 如图，分别过作，，交于点，， 过点作． 设，， 由等面积法可知 ， 则． 为等腰直角三角形， ，， ． ， ． 在 和 中 ， ， 同理可知 ， ， ． 在等腰直角三角形中， ， 同理可知在等腰直角三角形中， ， ． ， ， ． 在和中， ， ，即 ． 在中，由勾股定理得， ， ， 题型模版 1.特征：相似三角形与圆的综合问题． 2.方法：利用圆周角定理、圆内接四边形性质寻找等角；结合圆幂定理、切割线定理建立比例关系． 变式6-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知是的中线，的外接圆交于点，直径于点．    (1)求证：． (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)证明：∵直径于点， ， ，     又， ． (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得得出，结合公共角，即可得证； （2）连结，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理求得，进而求得，由 得出，根据，代入比例式得出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，    ∵直径于点， ， 又，的半径为5， ，， ，     ， ，     ∵由（1）得， ，     又是的中线， ， ， ∴解得． 变式6-2 （2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 变式6-3 （2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 【答案】(1)；； (2)证明：如图，连接， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合圆周角定理与直角三角形的两锐角互余可得答案． （2）如图，连接，表示，证明，可得，求解，证明，再进一步证明即可． （3）如图，连接，证明，，可得，证明，可得，设，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， 同理：， ∴， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 解得：（大于直径，舍去）， ∴的长为． 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 典例7 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中，过F，H作直线分别交，于点M，N，已知，记正方形的面积为，图中两块阴影部分面积和为，则的值是______． 【答案】3 【分析】设，，证明得到，则有；过M作于Q，证明得到，则有，，可得；证明可得，则，进而可求解． 【详解】解：设，， 由题意，四边形是正方形，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过M作于Q，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求图形面积． 2.方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方；通过等积变形或割补法转化面积；注意同高、同底模型． 变式7-1 （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式7-2 （2026·浙江宁波·二模）如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出，再利用中点模型倍长中线模型证明，由此可得，进而可求，，再结合图形求面积即可. 【详解】解：如图，延长交延长线于，连接、，设，， 由折叠可知：，，， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∴, ∴与四边形的面积比为. 变式7-3 （25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 【答案】 【分析】设直线与、相交于点、，连接，由题意可得直线，、、三点共线，设，则，，证明，得出，设，则，，由对称性可得，，故，求出，，证明，得出的边上的高为，求出，，即可得解． 【详解】解：设直线与、相交于点、，连接，如图： ， ∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上， ∴直线，、、三点共线， ∵， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由对称性可得，，故， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的对应高之比为， ∴的边上的高为， ∴，， ∴，， ∴四边形与的面积之比为． 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 典例8 （2025·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到， 然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高， 由题意可得，， ∴. 即物体的高为， 故答案为：． 题型模版 1.特征：利用相似三角形解决测量、投影等实际问题． 2.方法：将实际问题抽象为相似三角形模型；利用同一时刻物高与影长成比例或构造“A型”模型计算． 变式8-1 （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】 【分析】由，，，得，所以，，所以，，即，，设，，则，，然后通过得，整理得，即，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴（米）， ∴河宽为米． 变式8-2 （2026·陕西咸阳·二模）咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 【答案】桥塔的高度为88米 【分析】先证明得，则，再证明，得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ，     ，即， ． ∴桥塔的高度为88米． 变式8-3 （25-26九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质． (1)由表中的数据可知，所以与满足反比例关系，用待定系数法求出反比例函数的解析式； (2)根据可知，利用相似三角形的性质可知，求出，即为自制的视力表中视力对应的“E”高． 【详解】（1）解：由表中数据可知， 与满足反比例关系， 设， 把代入， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是； 故答案为：反比例，； （2）解：， ， ， ，，， ， 解得：， 自制的视力表中视力对应的“E”高为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·上海·三模）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图①，在等边三角形中，点D是边上一动点（不与点B，C重合），以为边向右作等边，边与相交于点F，设，，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（     ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】设等边三角形的边长为a，先证明，可得，所以，根据二次函数的最大值为列方程求解，得到，即可求得答案． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，则， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，y的最大值为， ， 解得， 等边三角形的面积为． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、分别交于点F、G．若点F是的中点，，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】连接，首先证明为直径，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而证明均为等腰三角形，可得，；证明，由相似三角形的性质可解得，进一步可得；证明，由相似三角形的性质进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴为直径， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点在上，，过上一点作于点，使得，连结，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】由且可得，进而证得，利用相似比及建立、、的数量关系；作的角平分线，利用证得，结合角平分线性质及勾股定理列方程求解的长，进而求得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ①， 作的平分线交于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，平分， ∴点K到到等距， ∴， ， ， ， ②， 由①得， 代入②得， ， ， ， 在中，， ， ， 两边同乘得， 展开整理得， ， ， 即， 解得或， 经检验符合题意， ， ， ． 5．（2026·浙江温州·三模）【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 (1)如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数． (2)如图3，在中，，，点为的布洛卡点，且．设，请用m的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据等边所对的角相等列出等量关系式即可解得． （2）证明，再根据相似的性质求线段长即可． 【详解】（1）解：∵P为等边三角形的布洛卡点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ， 又， ，则， ， ，即， ． 6．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由得，由折叠得，可得，由等角对等边可得结论； （2）由折叠得，过点作交于点，交于点，得，得出，设，则，由勾股定理得出，证明，四边形是矩形，得，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：是等腰三角形，理由如下： ∵正方形对折得到折痕， ∴，且垂直平分,， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， 由折叠得垂直平分， ∴为的中点， ∴， 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴, 由折叠得, ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又, ∴四边形是矩形， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 【答案】(1)与相等的角是. 证明：，，， ； (2)证明：如图，在上截取，使，连接， 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在上截取，使，即可证明，可得和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明； （3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知：， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 则， 又， ， ， ， ，即， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，，是斜边上的中线，，． (1)求的长． (2)如图2，是线段上的一点，连接，作与关于直线对称，延长交直线于． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）①由直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，由折叠的性质可得，即可得出，，，由平行线的性质并结合等边对等角得出，延长交于点，作于点，则，，证明，设，则，求出，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；②由①可得，，从而可得，由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时的长最小为，进而得出的最小值为，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，是斜边上的中线，，， ∴， ∴； （2）解：①∵在中，，是斜边上的中线， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点，作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②由①可得：，， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时的长最小为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，内接于圆，，连接并延长交边于点，交圆于点，连接、． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当平分时． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得是等边三角形，然后问题可求解； （2）①由题意易得，然后问题可求证； ②由题意易得，则有，然后可得，设，则有，进而通过①中的相似可得，则，最后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）①证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接，已知． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图②，若是直径，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆内接四边形对角互补求解； （2）在上截取一点使，连接，证明，根据角的关系推导，得到结论； （3）由为直径得直角，结合相似三角形性质、等腰三角形边角关系求解． 【详解】（1）解： 四边形是的内接四边形， ， 又 ， ， ． （2）解：在上截取一点使，连接， ， ， ，， ，   ，， ， ，， ， ， ， ． （3）解：过点F作于点H，连接，在上截取一点使，连接， 根据（2）的结论，， ，， ， 根据圆周角定理，， 是等腰三角形， 根据等腰三角形性质，， ， 为直径， ， ， ．     11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，．根据等边对等角得到，则，根据等角的补角相等即可得到结论； （2）连结，，，证明，则，由即可得到结论； （3）证明，得到，又由，，得到，设 ，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， ； （2）证明：连结，，， ∵， ， ∵， ． 又由（1）知 ， ， ，即 ， ∵， ； （3）解：∵在中，， ， 而过点， ， ∵ ∴，， ， 又， ， ， ． 又，， ． 设 ， 又 ， ∴当时， ． 当时， ， 即 ， ∴当时， ． 12．（2026·浙江湖州·二模）如图，在锐角中，，以为直径作半圆交，于点，，在弦的延长线上取点，使 ，将沿翻折至，延长交射线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (3) 【分析】（1）先推导出 ，再根据翻折，得到，则 ，即可解答； （2）先推导出 ，得到，则，继而推导出，得到，则四边形是平行四边形，即可解答； （3）连结，设，则，，推导出 ，，设，推导出，，得到 ，即，继而推导出，得到，，延长，交于点，推导出 ，得到， ，进而推导出 ，得到，则，再根据，得到，解得，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴ ， ∵沿翻折至， ∴， ∴ ． （2）略 （3）解：如图，连结，设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ，， 设， ∵是直径， ∴，即：， ∵， ∴，， ∴ ，即， 由四边形内接于圆，同理可得 ∴， ∵， ∴， ∴，故，即： ，，， 延长，交于点， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，故 ，即： ， ， ∵， ∴ ， ∴，故 ， 即，， ∴， 由得：，故， 由，解得：， ∴，即：的值为． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），已知正方形，矩形，其中，B在边上，D在边上，正方形的边长为2．设矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）．将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处，为折痕，连接． (1)若M，N分别为的中点，求的长． (2)若，求矩形的面积． (3)如图（2），连接，若恰好经过点C，求证：． 【答案】(1) (2)8 (3)见解析 【分析】（1）由中点的定义可得，再利用勾股定理求解即可； （2）由翻折的性质可得是正方形，即、，进而得到，利用勾股定理可得，再结合可得，进而得到，整理得，再根据矩形的面积公式求解即可； （3）由（2）求解过程可知：，，，，是正方形，易证可得，即，整理得：；再证明，易证四边形是平行四边形可得；再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：∵M，N分别为的中点， ∴， ∴． （2）解：∵将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处， ∴是正方形， ∴，， ∵矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， ∴矩形的面积． （3）解：由（2）求解过程可知：，，，，是正方形， ∴，，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 14．（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 【答案】(1)树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 (3) 问题①目的：引导学生从解题上升到讲理，提炼共性原理（相似三角形判定与性质），核心是建立模型观念——通过构造“A型”或“X型”相似模型，将不可测的实际问题转化为可计算的比例问题，从而深化应用意识，理解数学是解决现实问题的有力工具． 用数学中相似三角形的判定和性质的知识来解决问题 问题②目的：建立数学与生活的桥梁．引导学生反思学习过程，审视数学与现实的联系；同时为教师提供教学反馈，优化实践环节设计．（以下答案仅供参考，写一条即可） 1.知识层面:理解了相似三角形“由平行判定相似”和“对应边成比例”的核心性质，掌握了将实际测量问题转化为几何模型的方法，体会到数学知识与现实生活的紧密联系． 2.能力层面:提升了动手操作能力(如测量高度、调整观测位置)、逻辑推理能力(通过已知条件推导相似关系)和问题解决能力，学会了用数学思维分析和解决实际测量难题． 3.思维层面:感悟到“建模思想”(将树高、影子等实际量抽象为三角形边长)和“转化思想”(将未知量转化为可测量的已知量)，培养了从实际情境中提取数学信息的意识． 4.实践层面:认识到测量过程中“同一时刻”“同一直线”等细节对结果准确性的影响，养成了严谨、细致的科学探究态度，理解了团队协作(如分工测量、核对数据)的重要性． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出，再根据求出即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出； （3）开放型题目，言之有理即可． 【详解】（1）解：由题意画出图形，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：树的高度为米； （2）如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：米， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． （3）略 15．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积． 【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3） 【分析】（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系； （2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系； （3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，，即可计算出，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积． 【详解】（1）∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （2）成立，理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴PH=AH=， ∴，， ∴， ∵，ED=2， ∴，， ∴， ∵， ∴△ABP∽△EDP， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴△ABP∽△EDP∽△CBD ∴ 故最后答案为． 【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 题型4、相似三角形与四边形的综合 题型5、相似三角形与函数的综合 题型6、相似三角形的与圆的综合 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形问题，要熟练掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方）；解题关键在于找准或构造“A型”“X型”“母子型”等基本相似模型；求线段长时，常通过比例式列方程；求线段比值时，注意利用中间比进行转化；最值问题常结合对称、旋转、轨迹圆将动线段转化为定点到定直线的距离；与四边形、圆、函数综合时，要善于挖掘隐含的相似关系，并灵活运用方程思想与数形结合思想；实际测量问题要先建立几何模型，再借助相似比求解未知量． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 典例1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连接，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（     ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段长度． 2.方法：识别或构造“A型”“X型”等基本模型；列出对应边比例式；设未知数建立方程求解． 变式1-1 （2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-2 图1中周长为58的矩形纸片剪掉一块边长为4的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中线段的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形于点M、N，则__________． 变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 典例2 （2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段比值． 2.方法：寻找中间比进行转化；利用面积比、周长比与相似比的关系；注意黄金分割等特殊比值． 变式2-1 （2026·浙江杭州·二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为________． 变式2-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图，内接于，，连接并延长，交于点，交于点，在上取一点，连接，交于点，若，则______． 变式2-3 （2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 典例3 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段最值． 2.方法：确定动点轨迹；将目标线段用相似比表示为某变量的函数；结合函数性质或几何不等式求最值． 变式3-1 （2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（  ）． A．24 B． C． D． 变式3-2 （25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 变式3-3 （2026·浙江杭州·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E是边上一动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得到，过点E作交于点H，连接．则在点E移动过程中，线段的最小值为______． 题型4、相似三角形与四边形的综合 典例4 （25-26八年级下·浙江温州·期末）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：相似三角形与正方形、矩形、菱形、平行四边形的综合问题． 2.方法：利用特殊四边形的边、角、对角线性质；寻找共角或等角以判定相似；结合勾股定理列方程． 变式4-1 （2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 变式4-2 （2026·浙江台州·二模）如图，在菱形中，，E，F分别是边，上的点，连结，点A关于直线的对称点G恰好落在边上，连结，，交对角线于点M，若，，则的长为______． 变式4-3 （25-26九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知平行四边形，以为圆心，的长为半径作弧交于点．再分别以，为圆心，适当长度为半径作弧交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，已知，．作射线，交的延长线于点，连接，若，求的长． 题型5、相似三角形与函数的综合 典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 题型模版 1.特征：相似三角形与函数图象、解析式的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取关键信息；用相似比建立变量关系；联立方程求交点或参数． 变式5-1 （2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 变式5-2 如图1，内接于，为的直径，．点为弧上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①求证：； ②若，，求的值． (3)设，，求关于的函数关系式． 变式5-3 （25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 题型6、相似三角形的与圆的综合 典例6 如图，在中，，，以其三边为边向外分别作正方形，连结，点在外接圆上，，过点作交边于点，交边于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：相似三角形与圆的综合问题． 2.方法：利用圆周角定理、圆内接四边形性质寻找等角；结合圆幂定理、切割线定理建立比例关系． 变式6-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知是的中线，的外接圆交于点，直径于点．    (1)求证：． (2)若，的半径为5，求的长． 变式6-2 （2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 变式6-3 （2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 典例7 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中，过F，H作直线分别交，于点M，N，已知，记正方形的面积为，图中两块阴影部分面积和为，则的值是______． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求图形面积． 2.方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方；通过等积变形或割补法转化面积；注意同高、同底模型． 变式7-1 （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 变式7-2 （2026·浙江宁波·二模）如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 变式7-3 （25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 典例8 （2025·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 题型模版 1.特征：利用相似三角形解决测量、投影等实际问题． 2.方法：将实际问题抽象为相似三角形模型；利用同一时刻物高与影长成比例或构造“A型”模型计算． 变式8-1 （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 变式8-2 （2026·陕西咸阳·二模）咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 变式8-3 （25-26九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·上海·三模）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图①，在等边三角形中，点D是边上一动点（不与点B，C重合），以为边向右作等边，边与相交于点F，设，，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（     ） A．6 B． C．9 D． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、分别交于点F、G．若点F是的中点，，，则的长为________． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点在上，，过上一点作于点，使得，连结，若，，则的长为________． 5．（2026·浙江温州·三模）【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 (1)如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数． (2)如图3，在中，，，点为的布洛卡点，且．设，请用m的代数式表示． 6．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 7．已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，，是斜边上的中线，，． (1)求的长． (2)如图2，是线段上的一点，连接，作与关于直线对称，延长交直线于． ①当时，求的长． ②求的最小值． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，内接于圆，，连接并延长交边于点，交圆于点，连接、． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当平分时． ①求证：． ②若，求的长． 10．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接，已知． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图②，若是直径，，求的值（用含k的代数式表示）． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 12．（2026·浙江湖州·二模）如图，在锐角中，，以为直径作半圆交，于点，，在弦的延长线上取点，使 ，将沿翻折至，延长交射线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)若，求的值． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），已知正方形，矩形，其中，B在边上，D在边上，正方形的边长为2．设矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）．将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处，为折痕，连接． (1)若M，N分别为的中点，求的长． (2)若，求矩形的面积． (3)如图（2），连接，若恰好经过点C，求证：． 14．（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 15．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $