第2章 简单事件的概率（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学“简单事件的概率”单元强化卷，以肇兴侗寨、世界杯吉祥物等文化与热点为情境，覆盖概率核心知识，梯度设计适配单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|必然事件（如三角形内角和）、古典概型（盲盒）|结合生活场景，基础概念辨析| |填空题|6/18|频率估计概率（射击数据）、游戏公平性|数据意识与应用意识结合| |解答题|8/72|统计与概率综合（粽子调查）、策略探究（取糖果）|突出数学建模与逻辑推理，体现创新意识|

第2章 简单事件的概率（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C A A A C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12．不公平 13．③④ 14． 15．② 16． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)必然事件 (2)随机事件-------------3分 (3)随机事件 (4)不可能事件-------------6分 (5)必然事件-------------8分 【详解】（1）解：“在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾”是必然事件； （2）解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； （3）解：“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件； （4）解：∵在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴“过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； （5）解：“太阳从西边落下”是必然事件． 18．(1)解：公平，理由如下： ∵小华猜数时，共有6种等可能的结果，其中，是奇数的结果有3种，是偶数的结果也有3种， ∴A方案猜“是奇数”的概率为，猜“是偶数”的概率为， ∴A方案，小华无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，小晴获胜的概率也均为，双方获胜概率相等， ∴这个方案对双方公平．-------------4分 (2)解：建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”，理由如下： 同理可得：A方案：小晴无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为， B方案：小晴猜数时，共有6种等可能的结果，其中，猜“是大于3的数”的结果有3种，猜“是小于3的数”的结果有2种， ∴B方案，小晴选择猜“是大于3的数”的概率为，选择猜“是小于3的数”的概率为， ∵， ∴为了让小晴更容易获胜，建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”．-------------8分 【分析】（1）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式，小华获胜的概率，由此即可得； （2）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式、B方案中的两种方式，小晴获胜的概率，由此即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 19．(1)-------------3分 (2)列树状图如下： 甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的-------------8分 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右即可得出答案； （2）根据甲得了分，乙得了分可得最多再掷三次游戏就结束，列树状图求出乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束， 列树状图略 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 20．(1)随机；-------------2分 (2)； (3)10个 【分析】（1）这批盲盒里有梅普尔、萨尤、克拉奇三种吉祥物，所以抽取一个盲盒，可能抽到梅普尔，也可能抽不到，因此这是一个随机事件； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据题意可知，替换前后盲盒总数不变，由“抽到梅普尔的概率为”可得替换后梅普尔盲盒的数量，减去原有的梅普尔盲盒的数量即可． 【详解】（1）解：这批盲盒里有梅普尔、萨尤、克拉奇三种吉祥物，所以抽取一个盲盒，可能抽到梅普尔，也可能抽不到，因此这是一个随机事件； （2）解：盲盒总数为，萨尤的数量是40个， 根据概率公式得：；-------------5分 （3）解：根据题意可知，替换前后盲盒总数不变， （个）， ∴替换的盲盒数量为10个．-------------8分 21．(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【详解】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；-------------2分 （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12；-------------5分 （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平．-------------8分 22．(1)，补充条形统计图如下： ； (2) (3) 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的居民有（人）， 喜欢C类红枣粽的人数有（人）；-------------3分 （2）解：扇形统计图中C所对应的圆心角的度数；-------------6分 （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2， ∴他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率．-------------10分 23．(1)， (2)第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为 (3)棵 【详解】（1）解：，；-------------3分 （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为；-------------7分 （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵．-------------10分 24．(1)3-------------2分 (2)1；4 (3)；先手；6 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；-------------7分 （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜．-------------12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 简单事件的概率（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 【答案】D 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．太阳从西边升起一定不会发生，是不可能事件； B．任意三角形的内角和为，不是，该事件一定不会发生，是不可能事件； C．购买一张彩票可能中奖也可能不中奖，是随机事件； D．抛出的篮球受重力作用，一定会下落，该事件一定发生，是必然事件． 2．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 3．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，取试验次数足够大时的稳定频率即可得到概率的估计值． 【详解】∵由表格数据可得，随着投掷次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在常数附近， ∴投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 4．肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（     ） A．小星一定能拿到鼓楼纪念品 B．小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C．小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D．小星拿到三种纪念品的可能性相同 【答案】C 【分析】先计算盲盒总数量，再根据不同类型盲盒的数量比较拿到对应纪念品的可能性大小，盲盒数量越多，拿到的可能性越大，据此判断各选项正误． 【详解】解：盲盒总个数：， ∵鼓楼盲盒共5个，花桥盲盒共2个，吊脚楼盲盒共1个，且， ∴拿到鼓楼纪念品的可能性最大，拿到吊脚楼纪念品的可能性最小，无法保证一定拿到鼓楼纪念品，三种纪念品被拿到的可能性不相同， 因此选项A、B、D错误，C正确． 5．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 6．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用列举法列出所有等可能结果，再找出满足条件的结果，最后代入概率公式计算即可． 【详解】解： 人分别为甲、乙、丙、丁，从人中任选人，所有等可能的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共种， 其中抽到两位同学选择项目相同的结果只有“甲乙”这种， 所求概率． 7．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位， 已经售出，剩余座位为， 所有情况列表如下， C 共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种， 所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是． 8．已知某种品牌的饮料每一箱（每箱24瓶）中都有4瓶饮料的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的饮料，但连续打开4瓶均未中奖，此时小明在剩下的饮料中随机打开一瓶，那么他打开的这瓶饮料中奖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：剩余饮料总瓶数为（瓶）， ∵连续打开的4瓶均未中奖， ∴剩余饮料中印有“奖”字的仍有4瓶， ∴随机打开一瓶中奖的概率为． 9．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 【答案】C 【分析】观察统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在 附近，即概率约为 ，分别计算各选项的概率，找出概率为 的选项即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在 附近， 该事件发生的概率约为 ． A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是的概率为，不符合题意； C．从只装有张黑桃和张红桃的扑克牌盒中随机抽取一张，总共有种等可能结果，红桃有种，抽出的牌是红桃的概率为，符合题意； D．从分别标有的张纸条中，随机抽出一张，其中的倍数有共个， 抽到的倍数的概率为，不符合题意． 10．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．小丽与同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，她随机出“剪刀”的概率为________． 【答案】 【分析】总共有3种等可能的出拳结果，出“剪刀”是其中1种，直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：小丽随机出拳，共有“石头”“剪刀”“布”3种等可能的结果， 其中出“剪刀”的结果只有1种， 因此随机出“剪刀”的概率为. 12．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率，掌握用概率公式计算概率是解题的关键． 根据概率公式计算转动一次甲和乙的平均得分，比较平均得分是否相等，若相等则游戏规则公平，否则不公平． 【详解】解：由题意可知，转盘被分为4个面积相等的扇形，共有4种等可能的结果， 其中指针停在红色区域的结果有2种，停在黄色或蓝色区域的结果共2种， 根据概率公式得，，， 转动一次，甲的平均得分为分， 转动一次，乙的平均得分为分， ， 甲乙平均得分不相等，该游戏规则不公平． 13．下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，即可得到结果． 【详解】解：必然事件的定义为：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件， ①明天是否为晴天不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件， ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，属于随机事件， ③标准大气压下，冰在温度高于时会熔化为水，高于，该事件一定发生，属于必然事件， ④根据有理数的大小比较法则，大于一切负数，该事件一定成立，属于必然事件． 14．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中靶心的频率 0.9 0.8 0.80 0.88 0.84 0.858 0.861 0.858 估计该运动员射击一次便命中靶心的概率为________．（保留小数点后两位） 【答案】 【分析】在大量重复试验中，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：由表格数据可知，当射击次数不断增大，击中靶心的频率稳定在附近，因此估计该运动员射击一次命中靶心的概率为． 15．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 16．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 【答案】(1)必然事件 (2)随机事件 (3)随机事件 (4)不可能事件 (5)必然事件 【详解】（1）解：“在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾”是必然事件； （2）解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； （3）解：“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件； （4）解：∵在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴“过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； （5）解：“太阳从西边落下”是必然事件． 18．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 【答案】(1)解：公平，理由如下： ∵小华猜数时，共有6种等可能的结果，其中，是奇数的结果有3种，是偶数的结果也有3种， ∴A方案猜“是奇数”的概率为，猜“是偶数”的概率为， ∴A方案，小华无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，小晴获胜的概率也均为，双方获胜概率相等， ∴这个方案对双方公平． (2)解：建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”，理由如下： 同理可得：A方案：小晴无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为， B方案：小晴猜数时，共有6种等可能的结果，其中，猜“是大于3的数”的结果有3种，猜“是小于3的数”的结果有2种， ∴B方案，小晴选择猜“是大于3的数”的概率为，选择猜“是小于3的数”的概率为， ∵， ∴为了让小晴更容易获胜，建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”． 【分析】（1）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式，小华获胜的概率，由此即可得； （2）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式、B方案中的两种方式，小晴获胜的概率，由此即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 19．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【答案】(1) (2)列树状图如下： 甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右即可得出答案； （2）根据甲得了分，乙得了分可得最多再掷三次游戏就结束，列树状图求出乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束， 列树状图略 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 20．2026年世界杯是史上首次由三个国家联合举办的比赛，它的吉祥物是梅普尔Maple（代表加拿大）、萨尤Zayu（代表墨西哥）和克拉奇Cuch（代表美国）．某体育用品公司定制了一批外观相同的吉祥物盲盒，其中梅普尔50个，萨尤40个，克拉奇30个． (1)小远从这批盲盒中抽取一个，能抽到梅普尔是一个_____事件（填写“必然”“随机”“不可能”） (2)小光从这批盲盒中抽取一个，抽到萨尤的概率是多少？ (3)因这批盲盒上市后深受球迷喜爱，体育用品公司准备定制第二批，原计划各吉祥物的数量与第一批相同．后来，为了让球迷抽到梅普尔的概率为，需把部分克拉奇的盲盒替换成梅普尔，求替换的盲盒数量． 【答案】(1)随机； (2)； (3)10个 【分析】（1）这批盲盒里有梅普尔、萨尤、克拉奇三种吉祥物，所以抽取一个盲盒，可能抽到梅普尔，也可能抽不到，因此这是一个随机事件； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据题意可知，替换前后盲盒总数不变，由“抽到梅普尔的概率为”可得替换后梅普尔盲盒的数量，减去原有的梅普尔盲盒的数量即可． 【详解】（1）解：这批盲盒里有梅普尔、萨尤、克拉奇三种吉祥物，所以抽取一个盲盒，可能抽到梅普尔，也可能抽不到，因此这是一个随机事件； （2）解：盲盒总数为，萨尤的数量是40个， 根据概率公式得：； （3）解：根据题意可知，替换前后盲盒总数不变， （个）， ∴替换的盲盒数量为10个． 21．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【详解】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 22．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： (1)本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； (2)扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； (3)小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 【答案】(1)，补充条形统计图如下： ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意求出参加调查的总人数和喜欢C类红枣粽的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以C类粽子所占的比例即可； （3）画出树状图，得出共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2，即可求解． 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的居民有（人）， 喜欢C类红枣粽的人数有（人）； （2）解：扇形统计图中C所对应的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2， ∴他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 23．【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为 (3)棵 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 24．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 简单事件的概率（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 2．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 3．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 4．肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（     ） A．小星一定能拿到鼓楼纪念品 B．小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C．小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D．小星拿到三种纪念品的可能性相同 5．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 6．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（     ） A． B． C． D． 7．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． C 8．已知某种品牌的饮料每一箱（每箱24瓶）中都有4瓶饮料的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的饮料，但连续打开4瓶均未中奖，此时小明在剩下的饮料中随机打开一瓶，那么他打开的这瓶饮料中奖的概率是（     ） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 10．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．小丽与同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，她随机出“剪刀”的概率为________． 12．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 13．下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 14．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中靶心的频率 0.9 0.8 0.80 0.88 0.84 0.858 0.861 0.858 估计该运动员射击一次便命中靶心的概率为________．（保留小数点后两位） 15．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 16．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 18．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 19．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 20．2026年世界杯是史上首次由三个国家联合举办的比赛，它的吉祥物是梅普尔Maple（代表加拿大）、萨尤Zayu（代表墨西哥）和克拉奇Cuch（代表美国）．某体育用品公司定制了一批外观相同的吉祥物盲盒，其中梅普尔50个，萨尤40个，克拉奇30个． (1)小远从这批盲盒中抽取一个，能抽到梅普尔是一个_____事件（填写“必然”“随机”“不可能”） (2)小光从这批盲盒中抽取一个，抽到萨尤的概率是多少？ (3)因这批盲盒上市后深受球迷喜爱，体育用品公司准备定制第二批，原计划各吉祥物的数量与第一批相同．后来，为了让球迷抽到梅普尔的概率为，需把部分克拉奇的盲盒替换成梅普尔，求替换的盲盒数量． 21．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 22．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： (1)本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； (2)扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； (3)小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 23．【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 24．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $