第十四章 全等三角形 专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

目录 专题1 一线三垂直模型 1 专题2 一线三等角模型 2 专题3 手拉手模型 4 专题4 倍长中线模型 8 专题5 半角模型 13 专题6 角平分线模型 14 专题7 动点问题 15 专题1 一线三垂直模型 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证： （1）△CDA≌△BEC； （2）BE＝AD﹣DE． 2．如图，在△ABC中，AB＝BC． （1）如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN． （2）如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由． 专题2 一线三等角模型 3．如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于 　 　 ． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 5．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）． （1）如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； （2）如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； （3）如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　 ．（直接写出答案） 专题3 手拉手模型 6．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 7．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AHB；（用含α的式子表示） （3）求证：HC平分∠AHE． 8．综合与实践课上，李老师以“发现﹣探究﹣拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，连接BE．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当α＝90°时，线段AD，BE的数量关系为 　 　 ，∠ABE＝　 　 °； 【类比探究】 ②如图2，当α＝60°时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2） 如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，若AC＝8，则四边形ABCD的面积为多少？（直接写出结果）． 9．综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证△ABD≌△ACE． ①请你帮助小明证明△ABD≌△ACE． ②如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B，点D、点E在一条直线上，BE交AC于点O．小明发现△ABD与△ACE依然全等．当∠BAC＝∠DAE＝60°时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了∠BEC．则∠BEC＝　 　 °； （2）类比探究 在图2的基础上，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，如图3．根据上述思路判断线段BE与CE的位置关系，并说明理由． 10．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 专题4 倍长中线模型 11．佳佳同学遇到这样一个问题：如图①，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请回答： ①为什么△BED≌△CAD？写出推理过程． ②求AD的取值范围． （2）如图②，AD是△ABC的中线，点M在AC上，连结BM交AD于点N，且∠MAN＝∠BND．求证：BN＝MN+MC． 12．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日星期日晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝2，BD＝1，若BC的长度为奇数，求BC边的长度． 我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE．因为BD是AC边上的中线，所以CD＝AD． 在△CDB和△ADE中，因为CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE，所以△CDB≌△ADE．所以BC＝AE． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务：（1）小亮判断△CDB≌△ADE的依据是　 　 ； （2）请你根据小亮的思路求出BC边的长度：　 　 （写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E，连接CE交AD于点F，若AB＝CF，∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，则∠AEF的度数为　 　 °． 13．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为　 　 ． 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，求EP的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3） 如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 14．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日星期日晴 巧用中线构造全等数学问题． 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝2，BD＝1，若BC边的长度为奇数，求BC边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE． 因为BD是AC边上的中线，所以CD＝AD． 在△CDB和△ADE中， 因为CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， 所以△CDB≌△ADE．所以BC＝AE． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断△CDB≌△ADE的依据是　 　 ； （2）请你根据小亮的思路求出BC边的长度：　 　 （写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E，连接CE交AD于点F，若AB＝CF，∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，求∠AEF的度数． 15．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【初步感知】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 　 　 （请直接写出答案）． 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长． 【拓展探究】 （3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由． 专题5 半角模型 16．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°．求证：EA平分∠BEF，FA平分∠DFE． 17．综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ADF≌△ABG，再证明△AEF≌△AEG．则EF，BE，DF之间的数量关系为 　 　 ． 【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，那么线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】如图3，在△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，那么线段BD，DE，EC围成的三角形的面积为 　 　 ． 专题6 角平分线模型 18．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠ADC． 19．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 专题7 动点问题 20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． （1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； （2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？ 21．如图①，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为ts． （1）PB＝　 　 ；（用t的式子表示） （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （3）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 专题1 一线三垂直模型 1 专题2 一线三等角模型 3 专题3 手拉手模型 6 专题4 倍长中线模型 15 专题5 半角模型 27 专题6 角平分线模型 32 专题7 动点问题 34 专题1 一线三垂直模型 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证： （1）△CDA≌△BEC； （2）BE＝AD﹣DE． 【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠CAD＝∠BCE，结合已知条件，直接证明△CDA≌△BEC（AAS）； （2）根据全等三角形的性质得CD＝BE，CE＝AD，根据线段的和差关系即可求解． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△CDA和△BEC中， ∴△CDA≌△BEC（AAS）． （2）解：由（1）知，△CDA≌△BEC， ∴CD＝BE，CE＝AD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE， ∴BE＝AD﹣DE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝BC． （1）如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN． （2）如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由． 【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠AMB＝∠BNC＝90°，则∠MAB+∠ABM＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABM+∠NBC＝90°，于是根据等量代换得到∠MAB＝∠NBC，根据“AAS”可证明△ABM≌△BCN，根据全等三角形的性质得AM＝BN，BM＝CN，则MN＝BM+BN＝AM+CN； （2）根据三角形内角和定理和平角的定义证得∠BAM＝∠CBN，根据“AAS”△ABM≌△BCN，根据全等三角形的性质得到AM＝BN，BM＝CN，即可得到MN＝BN+BM＝AM+CN． 【解答】证明：（1）∵AM⊥MN于M，CN⊥MN于点N， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴∠MAB+∠ABM＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠NBC＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC， ∵在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝BN，BM＝CN， ∴MN＝BM+BN＝AM+CN； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 设∠AMB＝∠ABC＝∠BNC＝α， ∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠CBN＝180°﹣α， ∴∠BAM＝∠CBN， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝BN，BM＝CN， ∴MN＝BN+BM＝AM+CN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 专题2 一线三等角模型 3．如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于 　3　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，CE＝BD，进而得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝6，BD＝CE，即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）． （1）如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； （2）如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； （3）如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　5　 ．（直接写出答案） 【分析】（1）由∠BDA＝90°＝∠AFC，∠ABD＝∠CAF，AB＝AC，证明△ABD≌△CAF（AAS）即可； （2）由∠1＝∠ABE+∠BAE，∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAE+∠CAF＝∠BAC，∠1＝∠2＝∠BAC，可得∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF，进而可证△ABE≌△CAF（ASA）； （3）同理（2），△ABE≌△CAF（ASA），则S△ACF＝S△BAE，S△ACF+S△BDE＝S△BAE+S△BDE＝S△ABD，由，可求S△ABD＝5，进而可得△ACF与△BDE的面积之和． 【解答】（1）证明：由题意知，∠BDA＝90°＝∠AFC， ∵∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BAD+∠CAF， ∴∠ABD＝∠CAF， 在△ABD与△CAF中， ， ∴△ABD≌△CAF（AAS）； （2）证明：由题意知，∠1＝∠ABE+∠BAE，∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAE+∠CAF＝∠BAC， ∵∠1＝∠2＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF， 在△ABE与△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； （3）解：同理（2），△ABE≌△CAF（ASA）， ∴S△ACF＝S△BAE， ∴S△ACF+S△BDE＝S△BAE+S△BDE＝S△ABD， ∵CD＝2BD， ∴BC＝BD+CD＝3BD， ∴， ∴， 解得，S△ABD＝5， ∴△ACF与△BDE的面积之和为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 专题3 手拉手模型 6．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】根据条件证△CBD≌△CAE，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理、垂直的定义即可求解． 【解答】解：AE⊥BD，理由如下： 如图，AB交CD于点O， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△CBD与△CAE中， ， ∴△CBD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADO＝∠CEO， ∵∠AOD＝∠COE， ∴∠OAD＝∠OCE＝90°， ∴AE⊥BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键． 7．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AHB；（用含α的式子表示） （3）求证：HC平分∠AHE． 【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS，即可证明△ACD≌△BCE； （2）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE，继而求得∠AHB＝∠ACB＝α； （3）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得CM＝CN，即可证得HC平分∠AHE． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠CAD+∠AOC＝∠CBE+∠BOH， ∴∠AHB＝∠ACB＝α； （3）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ∴CM＝CN， ∴HC平分∠AHE． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 8．综合与实践课上，李老师以“发现﹣探究﹣拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，连接BE．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当α＝90°时，线段AD，BE的数量关系为 AD＝BE ，∠ABE＝　90　 °； 【类比探究】 ②如图2，当α＝60°时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，若AC＝8，则四边形ABCD的面积为多少？（直接写出结果）． 【分析】（1）①先证明∠ACD＝∠BCE，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，由全等三角的性质可得出AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出∠DBC＝∠CBE＝45°，再根据角的和差关系即可得出∠ABE＝90°．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出∠A＝∠CBA＝60°，用SAS证明△ACD≌△BCE，用全等三角形的性质可得出∠A＝∠CBE＝60°，即可得出∠ACB＝∠CBE，根据内错角相等，两直线平行得出AC∥BE． （2）过A作AG⊥AC交CB延长线于G，先证明∠ADC＝∠ABG，再根据角的和差关系得出∠DAC＝∠BAG，利用ASA证明△ACD≌△AGB，由全等的性质得出S△ACD＝S△AGB，AG＝AC，根据S△ACD+S△ABC＝S△AGB+S△ABC得出S四边形ABCD＝S△ACG，计算即可． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣CDB＝∠DCE﹣∠CDB， 即∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠DBC＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝90°， 故答案为：AD＝BE，90； ②AC∥BE，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB， ∴， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠A＝∠CBE＝60°， ∴∠ACB＝∠CBE， ∴AC∥BE； （2）如图3，过A作AG⊥AC交CB延长线于G， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ACD+∠CDA+∠CAD＝180°， ∴∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， 又∵∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， ∵∠DAB＝∠CAG＝90°， ∴∠DAB﹣∠BAC＝∠CAG﹣∠BAC， 即∠DAC＝∠BAG， 在△ACD和△AGB中， ， ∴△ACD≌△AGB（ASA）， ∴S△ACD＝S△AGB，AG＝AC， ∴S△ACD+S△ABC＝S△AGB+S△ABC， ∴． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 9．综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证△ABD≌△ACE． ①请你帮助小明证明△ABD≌△ACE． ②如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B，点D、点E在一条直线上，BE交AC于点O．小明发现△ABD与△ACE依然全等．当∠BAC＝∠DAE＝60°时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了∠BEC．则∠BEC＝　60　 °； （2）类比探究 在图2的基础上，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，如图3．根据上述思路判断线段BE与CE的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）①根据等式的性质可得出∠BAD＝∠CAE，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE即可； ②证明△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADE＝∠AED＝60°，则∠ADB＝120°，根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠ADB＝∠AEC，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知△ABD≌△ACE，得出∠ABD＝∠ACE，然后根据三角形的内角和定理可求出∠BEC＝90°，即可得证． 【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠CAE+∠DAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ②解：∵∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∵将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B，点D、点E在一条直线上， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°， 故答案为：60； （2）解：BE⊥CE．理由如下： 由（1）可知△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AOB＝∠EOC，∠BAC＝90°， 在△AOB中，∠BAC+∠ABD+∠AOB＝180°， 在△EOC中，∠OEC+∠ACE+∠EOC＝180°， ∴∠BEC＝∠BAC＝90°， ∴BE⊥CE． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． 10．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【解答】解：（1）如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE． 如图2， 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中． ． ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE （3）如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI＝GNI＝90° 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN ∴EM＝GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键． 专题4 倍长中线模型 11．佳佳同学遇到这样一个问题：如图①，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请回答： ①为什么△BED≌△CAD？写出推理过程． ②求AD的取值范围． （2）如图②，AD是△ABC的中线，点M在AC上，连结BM交AD于点N，且∠MAN＝∠BND．求证：BN＝MN+MC． 【分析】（1）①利用SAS公理证明△BED≌△CAD； ②根据全等三角形的性质得到BE＝AC，再根据三角形的是三边关系解答即可； （2）延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，得到△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质得到BE＝AC，∠E＝∠DAC，证明AM＝MN、BE＝BN，进而证明结论． 【解答】（1）解：①∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 在△BED和△CAD中， ， ∴△BED≌△CAD（SAS）； ②∵△BED≌△CAD， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5； （2）证明：如图②，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE， 由①可知：△BED≌△CAD， ∴BE＝AC＝AM+MC，∠E＝∠DAC， ∵∠MAN＝∠BND，∠MNA＝∠BND， ∴∠MAN＝∠MNA， ∴AM＝MN，∠E＝∠BND， ∴ME＝BN， ∴BN＝MN+MC． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 12．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日星期日晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝2，BD＝1，若BC的长度为奇数，求BC边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE． 因为BD是AC边上的中线，所以CD＝AD． 在△CDB和△ADE中， 因为CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， 所以△CDB≌△ADE．所以BC＝AE． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断△CDB≌△ADE的依据是　边角边（或SAS）　 ； （2）请你根据小亮的思路求出BC边的长度：　1或3　 （写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E，连接CE交AD于点F，若AB＝CF，∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，则∠AEF的度数为　88　 °． 【分析】（1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为SAS； （2）由△CDB≌△ADE（SAS），得到BC＝AE，则BE＝BD+DE＝2，再由AB﹣BE＜AE＜AB+BE即可求解； （3）先证明△ADB≌△GDC（SAS），则AB＝CG，∠G＝∠FAE，由AB＝CF，得到CG＝CF，则∠CFG＝∠G＝∠AFE＝∠FAE，由于∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，再由三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）在△CDB和△ADE中， ∵CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， ∴△CDB≌△ADE（SAS）， ∴BC＝AE， ∴小亮判断△CDB≌△ADE的依据是“SAS”， 故答案为：边角边（或SAS）； （2）在△CDB和△ADE中， ∵CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， ∴△CDB≌△ADE（SAS）． ∴BC＝AE． ∵AB＝2，BD＝1， ∴BE＝BD+DE＝2， ∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴0＜AE＜4 ∵BC的长度为奇数， ∴BC可以为1或3， 故答案为：1或3； （3）延长AD至点G，使得DG＝AD，连接CG， 同上可证明：△ADB≌△GDC（SAS）， ∴AB＝CG，∠G＝∠FAE， ∵AB＝CF， ∴CG＝CF， ∴∠CFG＝∠G， ∴∠CFG＝∠G＝∠AFE＝∠FAE， ∵∠ACE＝16°，∠CAD＝30°， ∴∠AFE＝180°﹣∠AFC＝180°﹣（180°﹣∠CAF﹣∠ACE）＝46°， ∴∠AEF＝180°﹣∠FAE﹣∠AFE＝180°﹣46°×2＝88°， 故答案为：88． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点是解题的关键． 13．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为SAS ． 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，求EP的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝DE＝6，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【解答】（1）解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴判定两个三角形全等的依据为SAS， 故答案为：SAS； （2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ， 在△PDE与△PQF中， ， ∴△EDP≌△QFP（SAS）， ∴FQ＝DE＝6， 在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ， 即8﹣6＜2EP＜8+6， ∴EP的取值范围是1＜EP＜7； （3）证明：延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG， 在△DFC和△DGB中， ， ∴△DFC≌△DGB（SAS）， ∴BG＝CF， 在△EDF和△EDG中， ， ∴△EDF≌△EDG（SAS）， ∴EF＝EG， 在△BEG中，两边之和大于第三边， ∴BG+BE＞EG， 又∵EF＝EG，BG＝CF， ∴BE+CF＞EF． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确作出图形是解题的关键． 14．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日星期日晴 巧用中线构造全等数学问题． 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝2，BD＝1，若BC边的长度为奇数，求BC边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE． 因为BD是AC边上的中线，所以CD＝AD． 在△CDB和△ADE中， 因为CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， 所以△CDB≌△ADE．所以BC＝AE． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断△CDB≌△ADE的依据是　边角边（或SAS）　 ； （2）请你根据小亮的思路求出BC边的长度：　1或3　 （写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E，连接CE交AD于点F，若AB＝CF，∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，求∠AEF的度数． 【分析】（1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为SAS； （2）由△CDB≌△ADE（SAS），得到BC＝AE，则BE＝BD+DE＝2，再由AB﹣BE＜AE＜AB+BE即可求解； （3）先证明△ADB≌△GDC（SAS），则AB＝CG，∠G＝∠FAE，由AB＝CF，得到CG＝CF，则∠CFG＝∠G＝∠AFE＝∠FAE，由于∠ACE＝16°，∠CAD＝30°，再由三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）在△CDB和△ADE中， ∵CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， ∴△CDB≌△ADE（SAS）， ∴BC＝AE， ∴小亮同学判断△CDB≌△ADE的依据是“SAS”， 故答案为：边角边（或SAS）； （2）在△CDB和△ADE中， ∵CD＝AD，∠CDB＝∠ADE，DB＝DE， ∴△CDB≌△ADE（SAS）． ∴BC＝AE． ∵AB＝2，BD＝1， ∴BE＝BD+DE＝2， ∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴0＜AE＜4， ∵BC的长度为奇数， ∴BC可以为1或3， 故答案为：1或3； （3）延长AD至点G，使得DG＝AD，连接CG， 同上可证明：△ADB≌△GDC（SAS）， ∴AB＝CG，∠G＝∠FAE， ∵AB＝CF， ∴CG＝CF， ∴∠CFG＝∠G， ∴∠CFG＝∠G＝∠AFE＝∠FAE， ∵∠ACE＝16°，∠CAD＝30°， ∴∠AFE＝180°﹣∠AFC＝180°﹣（180°﹣∠CFA﹣∠ACE）＝46°， ∴∠AEF＝180°﹣∠FAE﹣∠AFE＝180°﹣46°×2＝88°． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点是解题的关键． 15．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【初步感知】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 （请直接写出答案）． 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长． 【拓展探究】 （3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由． 【分析】（1）证明△BDE和△CDA全等得BE＝AC＝10，由三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜AB+BE，进而得4＜AE＜16，再根据DE＝AD得AE＝2AD，则4＜2AD＜16，由此得中线AD的取值范围； （2）延长ED交AB的延长线于H，证明△BDH和△CDE全等得BH＝CE＝20.2m，DH＝DE，则AH＝AB+BH＝31m，再证明AD为线段EH的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得AE的长； （3）延长AF到P，使FP＝FA，连接BP，则AP＝2AF，证明△BFP和△CFA全等得∠P＝∠CAF，BP＝AC，则BP∥AC，从而得∠ABP+∠BAC＝180°，根据∠DAE+∠BAC＝180°得∠ABP＝∠DAE，由此可证明△ABP和△DAE全等得AP＝DE，∠BAP＝∠ADE，由此得DE和AF的数量关系；然后根据∠BAD＝90°得∠BAP+∠DAG＝90°，则∠ADE+∠DAG＝90°，由此得DE和AF的位置关系． 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝6，AC＝10， ∴BE＝AC＝10， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE， 即10﹣6＜AE＜10+6， ∴4＜AE＜16， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∵4＜2AD＜16， ∴中线AD的取值范围是：2＜AD＜8， 故答案为：2＜AD＜8． （2）延长ED交AB的延长线于H，如图2所示： 根据题意得：AB⊥BC，EC⊥BC， ∴∠HBD＝∠ECD＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDE中， ， ∴△BDH≌△CDE（ASA）， ∴BH＝CE＝20.2m，DH＝DE， ∴AH＝AB+BH＝10.8+20.2＝31（m）， ∵∠ADE＝90°， ∴AD⊥EH， 又∵DH＝DE， ∴AD为线段EH的垂直平分线， ∴AE＝AH＝31m； （3）DE＝2AF，DE⊥AF，理由如下： 延长AF到P，使FP＝FA，连接BP，如图3所示： 则AP＝2AF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BFP和△CFA中， ， ∴△BFP≌△CFA（SAS）， ∴∠P＝∠CAF，BP＝AC， ∴BP∥AC， ∴∠ABP+∠BAC＝180°， ∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE， ∴∠BAD+∠CAE＝180°， ∴∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠ABP＝∠DAE， ∵BP＝AC，AC＝AE， ∴BP＝AE， 在△ABP和△DAE中， ， ∴△ABP≌△DAE（SAS）， ∴AP＝DE，∠BAP＝∠ADE， ∵AP＝2AF， ∴DE＝2AF， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAP+∠DAG＝90°， ∴∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠AGE＝180°﹣（∠ADE+∠DAG）＝90°， ∴AG⊥DE， 即AF⊥DE． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 专题5 半角模型 16．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°．求证：EA平分∠BEF，FA平分∠DFE． 【分析】AM⊥QF交CB的延长线于点M，证明∠MAB＝∠FAD，∠EAM＝∠EAF＝45°，进而依据“ASA”判定△ABM和△ADF全等得AM＝AF，再依据“SAS”判定△EAM和△EAF全等得∠AEM＝∠AEF，据此可得出结论． 【解答】证明：过点A作AM⊥AF交CB的延长线于点M，如图所示： ∴∠MQF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠MQF＝∠BAD＝90°，∠ABM＝∠D＝90°， ∴∠MQF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF， ∴∠MAB＝∠FAD， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAM＝∠MAB+∠FAD＝45°， ∴∠EAM＝∠EAF＝45°， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（ASA）， ∴AM＝AF， 在△EAM和△EAF中， ， ∴△EAM≌△EAF（SAS）， ∴∠AEM＝∠AEF， ∴AE平分∠BEF； 同理FA平分∠DFE． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 17．综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ADF≌△ABG，再证明△AEF≌△AEG．则EF，BE，DF之间的数量关系为 EF＝BE+DF ． 【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，那么线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】如图3，在△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，那么线段BD，DE，EC围成的三角形的面积为 　2　 ． 【分析】【模型建立】沿着小明的思路，先证△ADF≌△ABG，再证△AEF≌△AEG，即可得出结论； 【类比探究】延长CE至点M，使得BM＝DF，连接AM，先证△ABM≌△ADF，再证△MAE≌△FAE，即可得出结论； 【拓展应用】将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接EG，则△ACG＝△ABD，得CG＝BD，因此S△ABC＝S四边形AGCD＝14，可证得△ADE≌△AGE（SAS），则DE＝GE，S△ADE＝S△AGE＝6，得BD、DE、EC围成的三角形面积＝S△EGC，即可求解． 【解答】解：【模型建立】四边形ABCD是正方形，如图1，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， ∴∠ABG＝180°﹣90°＝90°． 在△ADF和△ABG中， ， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAG＝∠BAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝45°＝∠EAF． 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）． ∴EG＝EF， ∴EG＝BG+BE， ∵BG＝DF， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； 【类比探究】EF＝BE+DF；理由如下： 延长CB至点M，使得BM＝DF，连接AM，如图2， ∵∠ABC与∠D互补， ∴∠D+∠ABC＝180°． ∵∠ABM+∠ABE＝180°， ∴∠ABM＝∠D． 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAM，AM＝AF． ∵， ∴， ∴∠BAE+∠FAD＝∠EAF． ∵∠DAF＝∠BAM， ∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF， ∴∠MAE＝∠EAF， 在△MAE和△FAE中， ， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴ME＝EF． ∵ME＝BE+MB，MB＝DF， ∴EF＝BE+DF； 【拓展应用】已知AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接EG，如图3， ∴△ABD≌△ACG，BD＝CG，∠BAD＝∠CAG，AD＝AG， ∴S△ABC＝S四边形AGCD＝14． ∵∠BAC＝2∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE＝∠CAG+∠CAE＝∠GAE． ∵AD＝AG，AE＝AE， ∴△ADE≌△AGE（SAS）， ∴S△ADE＝S△AGE＝6， ∴DE＝GE． ∵BD＝CG，EC＝EC， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为CG、GE、EC围成的三角形面积． S△EGC＝S四边形AGCD﹣S△ADE﹣S△AGD＝14﹣6﹣6＝2， 故答案为：2． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 专题6 角平分线模型 18．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠ADC． 【分析】过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME＝MC，从而证明DM平分∠ADC； 【解答】证明：如图：过点M作ME⊥AD，垂足为E， ∵AM平分∠DAB， ∴∠3＝∠4， ∵MB⊥AB，ME⊥AD， ∴ME＝MB（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC＝MB， ∴ME＝MC， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴DM平分∠ADC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）； 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 19．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 【分析】过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，由角平分线的性质可知DE＝DF，则可证明△ADF≌△CDE，可证明AD＝DC． 【解答】证明： 如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°， ∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠C， 在△ADF和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AD＝CD． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形利用角平分线的性质证得全等是解题的关键． 专题7 动点问题 20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． （1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； （2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？ 【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP． （2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可． 【解答】解：（1）结论：△BPD与△CQP全等． 理由：经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm， ∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）． （2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等； ①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况； ②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝； 故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等． 【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 21．如图①，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为ts． （1）PB＝　（4﹣t）cm ；（用t的式子表示） （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （3）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，得出AP＝tcm，根据AB＝4cm，得出BP＝（4﹣t）cm即可； （2）利用“SAS”证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可； （3）△ACP与△BPQ全等，分两种情况：①△ACP≌△BPC，②△ACP≌△BQP，建立方程组求得答案即可． 【解答】解：（1）∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝tcm， ∵AB＝4cm， ∴BP＝（4﹣t）cm， 故答案为：（4﹣t）cm； （2）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ；理由如下： ∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为ts， 当t＝1时，AP＝BQ＝1cm，BP＝AC＝3cm， 由题意知：∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PQ⊥PC； （3）存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等；理由如下： ∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，运动速度为xcm/s，它们运动的时间为ts， 由题意可得：AC＝3cm，AP＝tcm，BQ＝xtcm，BP＝（4﹣t）cm， ①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 依题意得：， 解得：； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 依题意得：， 解得：， 综上所述，存在t＝1，x＝1或t＝2，x＝1.5使得△ACP与△BPQ全等． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/5 21:47:59；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $