第十八章 相似形全章高频重点题型突破（十三大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以“基础-核心-专练”三级架构系统覆盖相似形全章，通过21类题型构建从概念到综合应用的完整逻辑链，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|13类高频题型|聚焦比例线段、相似判定等基础概念，强调概念辨析与直接应用|从比例性质到相似三角形判定，构建“概念-性质-简单应用”的认知链条| |核心提升|8类重难题型|涵盖相似模型、动点综合、新定义问题，突出多知识点融合|以相似性质为核心，延伸至实际应用与动态问题，形成“性质-模型-综合应用”的能力进阶| |题型专练|63道分层题|精选各地期末、模考题，基础题与压轴题比例合理|通过典型题承载方法，实现从知识理解到解题技能的迁移，培养模型意识与应用能力|

第十八章 相似形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形及其性质 题型5 相似三角形的判定 题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 利用相似求坐标 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 重心的有关性质 题型12 相似三角形的实际应用 题型13 图形的位似 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割的实际应用 题型2 平行线分线段成比例的综合问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的动点问题综合 题型5 相似模型 题型6 重心的综合应用 题型7 相似三角形的实际应用压轴 题型8 相似三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． ◆题型2 黄金分割 4．（24-25八年级下·山东·期末）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，等腰三角形的性质和判定，黄金分割，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键． 根据点为线段的黄金分割点，设，则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， ， ，， ， ∵点为线段的黄金分割点， 设， 则， ， 化简得，， ， ， ， ． 故选：A． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：略． ◆题型3 平行线分线段成比例 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 8．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 9．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴． ◆题型4 相似多边形及其性质 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 11．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1）___________； （2）若四边形与矩形相似，则___________．    【答案】 4 【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得到答案； （2）设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， 由对折可得：，， ∴四边形是正方形． ∴， （2）设，则， ∵四边形与矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ∴， 即． 故答案为：4， 【点睛】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 ◆题型5 相似三角形的判定 13．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 即在，中， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，掌握角的和差运算是解题关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定方法进行证明即可． 【详解】略 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1） 略 （2） 略 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ◆题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 16．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在与上，已知的等量条件为公共角，若两个三角形相似，可再添加一组对应角相等，或的两组对应边成比例，即可判断得到答案． 【详解】解：A、，，两边对应成比例，夹角相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； B、，不是夹角，不能判断两个三角形相似，此项符合题意； C、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； D、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； 故选：B． 17．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 18．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)或或，证明过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2）解：添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． ◆题型7 利用相似三角形的性质求解 19．（25-26九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知为等边三角形，．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 即； (3) 证明：∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）利用等边三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）利用相似三角形的性质即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型8 利用相似求坐标 22．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    23．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于x的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点P在y轴上， ， 如图，在y轴正半轴上取一点P使， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． ◆题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． 【答案】(1) 如图所示（答案不唯一）： (2)点即为所求： 【分析】本题考查直尺作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）相似三角形的对应边成比例，选进行作图即可； （2）在点左边两个单位取点，在点右边三个单位取点，连接，与的交点即为所求的点． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接交于点， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 26．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【答案】(1) (2) ①点如图所示， ； ②点如图所示， ． 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②略 27．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； ◆题型10 相似三角形的动点问题 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 29．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【分析】主要考查的是相似三角形的性质和判定、含30度的直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当时，，， ， ； ②当时，，， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 30．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． ◆题型11 重心的有关性质 31．（25-26八年级上·北京海淀·期末）在中，设，的角平分线相交于点O．若点O也是的重心（三角形三条中线的交点），则______． 【答案】120 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内心与重心，三角形内角和定理，根据题意得出是等边三角形，是解题的关键． 由点O同时为角平分线交点和重心，推断为等边三角形，再计算的度数． 【详解】解：点O是，的角平分线的交点，也是的重心， 是等边三角形，． ，， ， 故答案为：120． 32．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 首先根据三角形重心的性质可得，根据直角三角形的性质可得，利用等边三角形的判定和性质得到，进一步得到，即 ，根据垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质可得 ，，进而得到，从而得到的值． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 ◆题型12 相似三角形的实际应用 34．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】变短了，短了2.8米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得出，，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案． 【详解】解：设小云在B点时，身高为，在点A时，身高为， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得，米； 同理，由，可求得米， 则小云的身影变短了米． ∴变短了，短了2.8米． 35．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 36．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即，解得：（cm）． （2）解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：（cm）． ◆题型13 图形的位似 37．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，位似图形的性质，由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故选：． 38．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 【答案】 16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 39．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． (1)将向上平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．请画出平移后的图形并写出点的坐标______； (2)直接写出的面积______； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)解：如图所示 (2)7 (3)或 【分析】（1）按照平移法则得到A、B、C三点的对应点，依次连接即可，同时可写出点的坐标； （2）利用割补法即可求解； （3）设，则，由面积关系解得或，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：略； （2）解：； （3）解：设，则， 以边为底边，则， 解得或， ∴P点的坐标为或； ◆题型1 黄金分割的实际应用 40．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 41．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 42．（2025·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1) 线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； (2) ①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． ◆题型2 平行线分线段成比例的综合问题 43．（2025·北京丰台·二模）如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．    (1)求的度数； (2)延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)， 证明：补全图形，如图所示，在上取，连接， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到，，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到，利用外角性质及等量代换即可得证； （2）在上取，连接，证明，进而证明，根据平行线分线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 则． （2）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 44．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 45．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，则过点O，先证明是的中位线，再根据中位线性质求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出结果． 本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，中位线定理，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法． 【详解】解：连接， ∵菱形，为对称中心， ∴过点O， ，， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ， 在中， ． 故答案为：． ◆题型3 相似三角形的判定与性质综合 46．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】证明，得由对称性得，可判断①正确；记交于点，由三角形内角和定理得可判断②正确；证明可得，可判断③；分别证明，，可判断④ 【详解】解：①四边形是正方形， 分别是边的中点， ， 点关于对称， ， ，故①正确； ②如图，记交于点， 由①知 ， ，故②正确； ③四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 关于对称， 三点共线， 是的中点， ，故③错误； ④如图，连接， 四边形是正方形， ， 又 ， ， 由①知 点关于对称， ， 又 ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论序号为①②④． 47．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为， ∴，； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为，可证明，得到，，证明是等腰直角三角形，推出；证明，得到，，求出，由勾股定理得，即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）略 48．（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据题意证明或构造相似三角形是解题关键． （1）证明，得到，即可得到； （2）①由（1）可求出，证明，得到，求出，即可得到； ②作交延长线于Q，设，得到，证明，得到，求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知， 即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，作交延长线于Q， 设， ∵M是中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ◆题型4 相似三角形的动点问题综合 49．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 50．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 51．（2025·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【分析】（1）①利用平移的性质画出图形； ②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长． （2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按照题意画出图形是解决本题的关键． ◆题型5 相似模型 52．（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据正方形对角线求边长，再利用相似三角形性质求线段比例，结合勾股定理计算，最后通过相似三角形比例关系求． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 53．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； (2) 证明：，， ， ， ， ， ， ∽； (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 54．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． ◆题型6 重心的综合应用 55．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及其性质．连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，先证四边形为平行四边形，从而得，进而可证点为的中点，从而得，则，设，则，则，再证，然后证，最后根据相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图所示：   点为的重心， ，分别为的中线， 点为的中点，点为的中点， ， 又， 四边形为平行四边形， ，即， 又点为的中点，由平行线分线段成比例可知，即点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 相似比为， 与的周长之比为， 故选：B． 56．（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键． （1）①结合“妙点”的定义以及等边三角形的性质，得出点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故，运用勾股定理算出，再代入进行计算，即可作答． ②充分理解“妙点”的定义，且结合等边三角形的性质，进行作图，分类讨论，即可作答． （2）按照题干要求，逐个情况作图，结合“妙点”的定义，运用数形结合思想进行全面分析，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意， ∵点是边长为4的等边内部一个“妙点”， ∴点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故， 结合三线合一，得， ∴， 则， 故答案为：． ②当点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心， 当点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有9个点符合要求， 则 ∴具有这种性质的点P共有10个． （2）解：依题意，第一种如图1（点在的右边）或图2（点在的左边）， ∵在中，是的一个“妙点”， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 第二种如图3， ∵是的一个“妙点”， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 则 同理得 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴； 第三种如图4， 与第二种同理，得 ∴； 第四种如图5，． ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 综上：满足题意的的度数分别为． 【点睛】本题考查了新定义，三角形内角和性质，重心的应用，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 57．（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了中线交点的性质，线段、面积最值的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据重心的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半可判定①；根据线段的和差关系，最值计算可判定②；但边上的高最大时，面积最大，可判定③；如图所示，过点作于点，运用勾股定理，等量代换即可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴， ∵点是中线交点， ∴，故①正确； ∵， ∴点在与为直径的圆上运动， ∴， 当共线时，值最小，最小值为：，故②错误； 如图所示， 当时，的面积最大，最大面积为，故③正确； 如图所示，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴得，， 由③得，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D ． ◆题型7 相似三角形的实际应用压轴 58．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 59．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 60．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设， 则,， 根据题意可得, ∴， ∴， ∴， 同理可得, ∴， 即， ， ∴， ∴． ◆题型8 相似三角形的新定义问题 61．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 62．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）将，代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，同（2）证明，，得到，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）解：如图，过点A作于点H，    ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．（2026·河南平顶山·三模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理得出，再由题意分两种情况讨论，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：， ∴在中，由勾股定理得，． 根据题意，分两种情况讨论： ①当时， 如图1，过点D作于点E， 设，则， ∴． ，即， ∴， ∴， ∴，即平分． 又，， ∴． ∵， ∴， ， ∴； ②当时， 如图2， 设，且， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 1．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，连接交于点，分别由和求出和即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形性质得出、，求出，再证明，根据相似三角形的性质可得求出，再结合已知条件即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 为边的中点， ， ∵， ， ， 的面积为， 的面积为. 故选：C． 4．（2026九年级上·山东青岛·专题练习）阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字形模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得，，，从而可得，然后证明字形模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 小孔到的距离为. 故选：A． 5．（2026·北京·模拟预测）如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接为的中点，连接分别与交于点N、K；则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理得到，即可判断①；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可判断②；根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到即可判断③；根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵正方形的边长为4，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，故③正确； 延长交于M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的结论有①③④． 6．（2026·北京丰台·一模）如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 【答案】 【分析】结合正方形的性质，利用勾股定理求得，接着证明，求得，从而得到，最后利用求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，，E为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 7．（2026·北京海淀·一模）如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，，结合的面积为15，得出，求出，再证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 8．（25-26九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，，给出下面三个结论：①是等腰直角三角形；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ∴， ， ， ∵ ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 9．（2025·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026九年级下·北京·专题练习）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块面积为4的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是____________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式求得原正方形边长及小正方形边长，进而确定拼成长方形的长和宽；构造直角三角形，利用勾股定理求出水平线段长；利用相似三角形性质或锐角三角函数求出线段的长，最后根据线段的和差关系求解． 【详解】解：点，点，点，如图， ∵原正方形地毯面积为4， ∴原正方形边长， ∵地毯被平分给三姐妹，拼成三个全等的小正方形， ∴三个小正方形面积之和为4，即每个小正方形面积为， 设小正方形边长为，则，解得（负值舍去）， ∴拼成的长方形（阴影部分）的长，宽， 在中，，，， 根据勾股定理得：， ∵长方形的对边平行， ∴长方形上边， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴ ， ∴，即，解得， ∴， 则图中的长应是． 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知平行四边形中，E是线段上一点，，连接交于点F． (1)证明：，并指出其相似比． (2)如果的面积为1，求的面积和的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 即 即相似比为． (2)的面积是，的面积是 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质得，证明，因为，得，即可作答． （2）结合（1）的，运用同高，面积的比等于底边的比，故，即，同理得，故，得四边形的面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 则（同高，面积的比等于底边的比）， ∵的面积为1， ∴ 则， 连接， ∵， ∴（同高，面积的比等于底边的比）， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 12．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：设，则， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ． 13．（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． (1)图中有_____对相似三角形； (2)连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 【答案】(1) (2)相似， 如图， ∵、分别为的两条高， ， ∵， ∴， ， ， ∵． ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解； （2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证 【详解】（1）解：图中有对相似三角形 ∵、分别为的两条高， ， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴共6对相似三角形， 故答案为：． （2）略 14．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，． (1)试判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先证明是等腰三角形，再证明，则，根据等腰三角形三线合一即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再用等积法求出，证明，则，代入已知线段长度即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明和是解题的关键． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 【答案】(1)，． (2)2 【分析】（1）延长与相交于点G，利用证明，推出，，据此可得到； （2）证明，得到，由G是的中点，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求出答案， 【详解】（1）解：，．理由如下： 延长与相交于点G， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴∠， 即； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 【答案】该塔的高为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用. 根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ，，， ， ， ， ，，，，． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 该塔的高为米． 17．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1， 当E在线段上时，若 求的长； (2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:； (3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) 证明：由（1）知， ∴. ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； (3) 【分析】对于（1），根据勾股定理求出，即可求出，再证明可得答案； 对于（2），结合（1）证明，可得，进而得出，可得，可得，即可得出答案； 对于（3），先确定当点共线时，取得最小值，画出图形，由（2）得根据翻折的性质得，再设，则，根据勾股定理表示，，即可得出，，接下来说明，结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵ 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，根据翻折的性质可知， 则， 当点共线时，取得最小值． 如图所示，由（2）得 由翻折得， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则， ∴， 则，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 相似形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形及其性质 题型5 相似三角形的判定 题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解 题型8 利用相似求坐标 题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型10 相似三角形的动点问题 题型11 重心的有关性质 题型12 相似三角形的实际应用 题型13 图形的位似 核心提升：重难题型归纳 题型1 黄金分割的实际应用 题型2 平行线分线段成比例的综合问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的动点问题综合 题型5 相似模型 题型6 重心的综合应用 题型7 相似三角形的实际应用压轴 题型8 相似三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． ◆题型2 黄金分割 4．（24-25八年级下·山东·期末）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． ◆题型3 平行线分线段成比例 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 9．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． ◆题型4 相似多边形及其性质 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1）___________； （2）若四边形与矩形相似，则___________．    12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． ◆题型5 相似三角形的判定 13．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，，，求证：． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． ◆题型6 选择或者补充条件使两个三角形相似 16．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：________（填序号）． 18．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． ◆题型7 利用相似三角形的性质求解 19．（25-26九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 21．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知为等边三角形，．求证： (1)； (2)； (3)． ◆题型8 利用相似求坐标 22．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 23．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． ◆题型9 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． 26．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 27．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． ◆题型10 相似三角形的动点问题 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 29．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 30．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ ◆题型11 重心的有关性质 31．（25-26八年级上·北京海淀·期末）在中，设，的角平分线相交于点O．若点O也是的重心（三角形三条中线的交点），则______． 32．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为______． 33．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． ◆题型12 相似三角形的实际应用 34．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 35．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 36．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 ◆题型13 图形的位似 37．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 39．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． (1)将向上平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．请画出平移后的图形并写出点的坐标______； (2)直接写出的面积______； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． ◆题型1 黄金分割的实际应用 40．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 42．（2025·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ ◆题型2 平行线分线段成比例的综合问题 43．（2025·北京丰台·二模）如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．    (1)求的度数； (2)延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明． 44．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 45．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为______． ◆题型3 相似三角形的判定与性质综合 46．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 47．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 48．（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． ◆题型4 相似三角形的动点问题综合 49．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 50．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2025·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． ◆题型5 相似模型 52．（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为______． 53．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 54．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． ◆题型6 重心的综合应用 55．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 56．（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 57．（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ ◆题型7 相似三角形的实际应用压轴 58．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 59．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 60．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到） ◆题型8 相似三角形的新定义问题 61．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 62．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 63．（2026·河南平顶山·三模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 1．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（ ）． A． B． C． D． 4．（2026九年级上·山东青岛·专题练习）阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京·模拟预测）如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接为的中点，连接分别与交于点N、K；则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 6．（2026·北京丰台·一模）如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 7．（2026·北京海淀·一模）如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 8．（25-26九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，，给出下面三个结论：①是等腰直角三角形；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 9．（2025·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 10．（2026九年级下·北京·专题练习）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块面积为4的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是____________． 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知平行四边形中，E是线段上一点，，连接交于点F． (1)证明：，并指出其相似比． (2)如果的面积为1，求的面积和的面积． 12．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． (1)图中有_____对相似三角形； (2)连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 14．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，． (1)试判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 16．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 17．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1， 当E在线段上时，若 求的长； (2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:； (3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $