3.3勾股定理的简单应用（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

第3章 勾股定理 3.3勾股定理的简单应用 学 习 目 标 1 2 能运用勾股定理解决一些简单的实际问题 能运用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题 新知探究 在日常生活中，勾股定理及其逆定理有广泛的应用。 问题 新知探究 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2：1和16：9，哪款手机的屏幕面积更大？( 1英寸 ≈ 2.54cm ) 问题 新知探究 解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸、x英寸； 乙手机屏幕的长、宽分别为16y英寸、9y英寸。 根据勾股定理，得( 2x )2 + x2 = 5.52，( 16y )2 + ( 9y )2 = 5.42。 解得：x2 =6.05，y2 = 。 ∴2x2 = 12.1，144y2 ≈ 12.5， ∴甲手机屏幕的面积为12.1平方英寸，乙手机屏幕的面积约为12.5平方英寸。 ∴乙手机屏幕的面积更大。 典例分析 例1 《九章算术》中有一道”折竹“问题：”今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈 ( 1丈 = 10尺 )，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 典例分析 解：如图，竹子在点B处折断，竹梢点A着地， △ABC是直角三角形。 设BC = x尺，则AB = ( 10 - x )尺， 根据勾股定理，得：x2 + 32 = ( 10 - x )2。 解得：x = 4.55。 答：折断处离地面4.55尺。 B C A 3 10 - x x 问题 新知探究 你能利用勾股定理说明”垂线段最短“吗？ 如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点。求证：PA < PQ。 A P Q l 证明：∵PA⊥l， ∴△APQ为直角三角形。 根据勾股定理，得PQ2 = PA2 + AQ2。 ∵AQ > 0， ∴PQ2 = PA2 + AQ2 > PA2。 ∴PA < PQ。 典例分析 例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高， 设CD = h，AD = m，DB = n。求证：h2 = mn。 C B A D m n h 证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得 AC2 = h2 + m2。 在Rt△DBC中，根据勾股定理，得 BC2 = h2 + n2。 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2 + BC2 = AB2。 ∵AB = m + n， ∴h2 + m2 + h2 + n2 = ( m + n )2。 ∴h2 = mn。 探究 新知探究 解：a1 = ； a2 = ； a3 = = 2； a4 = ； a5 = ；…… a99 = = 10。 如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值。 拓展 新知探究 1. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在正方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 A B a A B a a a 解：最短路程 = AB = = a。 拓展 新知探究 2. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在长方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 解：分三种情况讨论： ① AB = = ； B A a b c A B a c b 拓展 新知探究 ② AB = = ； B A a b c A B a b c 拓展 新知探究 ③ AB = = ； 综上，最短路程 = ， 即最短路程 = 。 B A a b c A B a c b 解：分两种情况讨论： ① AC + BC = 2r + h； 拓展 新知探究 3. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在圆柱表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 A B h 2r C 拓展 新知探究 ② 圆柱的侧面展开图是矩形： AB = ； 综上，最短路程 = min{ 2r + h，}。 A B h 2r C A B A h πr C 新知探究 正方体、长方体中的最短路径问题： 提分笔记 正方体中，从A到B的最短路程 = a； 长方体中，从A到B的最短路程 = 。 新知探究 圆柱中的最短路径问题： 提分笔记 从A到B的最短路程 = min{ 2r + h，}。 题型探究 例1-1 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 长度不变问题 题型一 解：如图，BC = 5尺，△ABC是直角三角形， 设AC = x尺，则AB = ( x + 1 )尺， 根据勾股定理，得x2 + 52 = ( x + 1 )2， 解得：x = 12，∴x + 1 = 13， 答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。 x x + 1 5 B C A 题型探究 例1-2 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺 ( AC = 1尺 )，将它往前推进两步 ( EB = 10尺 )，此时踏板升高离地五尺 ( BD = 5尺 )，求秋千绳索 ( OA或OB ) 的长度。 长度不变问题 题型一 解：设OA = OB = x尺， ∵EC = BD = 5尺，AC = 1尺， ∴EA = EC - AC = 4尺，OE = OA - AE = ( x - 4 )尺， 根据勾股定理可得：x2 = ( x - 4 )2 + 102， 解得：x = 14.5，答：秋千绳索的长度是14.5尺。 题型探究 解题思路： ① 找到题目中的不变量 ( 多数题目需设出所求 )； ② 根据变化前后的相关信息表示其他量； ③ 利用 ( 构造 ) 直角三角形，利用勾股定理解出未知量 ( 多数题目需列方程解决所求 )。 长度不变问题 题型一 题型探究 例2-1 某企业计划对一块四边形空地进行绿化。如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 8米，AD = 6米，CD = 26米，BC = 24米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用。 逆定理与面积问题的实际应用 题型二 解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 82 + 62 = 102， 在△BCD中，∵BD2 + BC2 = 102 + 242 = 262 = CD2， ∴△BCD是直角三角形，∠CBD = 90°， 题型探究 例2-1 某企业计划对一块四边形空地进行绿化。如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 8米，AD = 6米，CD = 26米，BC = 24米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用。 逆定理与面积问题的实际应用 题型二 ∴S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = AB·AD + BC·BD = × 6 × 8 + × 10 × 24 = 24 + 120 = 144 ( 平方米 )， ∴需费用60 × 144 = 8640 ( 元 )， 答：预计绿化的费用8640元。 题型探究 例2-2 如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB = 90°， AD = 9cm，BD = 12cm。 ( 1 ) 求AB的长； ( 2 ) 若BC = 36cm，AC = 39cm，求图中阴影部分的面积。 逆定理与面积问题的实际应用 题型二 解：( 1 ) ∵∠ADB = 90°，AD = 9cm，BD = 12cm， 在RtABD中，由勾股定理得： AB = = 15 ( cm )； 题型探究 例2-2 如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB = 90°， AD = 9cm，BD = 12cm。 ( 1 ) 求AB的长； ( 2 ) 若BC = 36cm，AC = 39cm，求图中阴影部分的面积。 逆定理与面积问题的实际应用 题型二 ( 2 ) ∵AB2 + BC2 = 152 + 362 = 225 + 1296 = 1521， AC2 = 392 = 1521， ∴AB2 + BC2 = AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC = 90°， ∴S阴影 = AB·BC - AD·BD = × 15 × 36 - × 9 × 12 = 216 ( cm2 )。 题型探究 例3-1 如图，有一个棱长为1m且封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到顶点B，求这只昆虫沿表面爬行的最短路程。 最短路径问题 题型三 B A 解：如图，展开后由勾股定理得： 最短路程 = AB = = ( m )。 B A 题型探究 例3-2 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长。 最短路径问题 题型三 B A 3 4 12 解：最短路程 = = ( cm )。 题型探究 例3-3 如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。( π取3 ) 最短路径问题 题型三 解：① AC + BC = 8 + 4 = 12 ( cm )； ②如图，沿AC将圆柱的侧面展开， BC = = 2π ≈ 6 ( cm )， 在Rt△ABC中，AB = = 10cm； ∵12m > 10cm， ∴最短路线的长为10cm。 C B A C B A C 题型探究 例3-3 如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。( π取3 ) 最短路径问题 题型三 解：① AC + BC = 8 + 4 = 12 ( cm )； ②如图，沿AC将圆柱的侧面展开， BC = = 2π ≈ 6 ( cm )， 在Rt△ABC中，AB = = 10cm； ∵12cm > 10cm， ∴最短路线的长为10cm。 C B A C B A C 题型探究 例4 著名的“赵爽弦图”如图 ( 1 ) 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4 × ab + ( b - a )2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则a2 + b2 = c2。 勾股定理的证明与实际应用综合 题型四 题型探究 例4 ( 1 ) 图 ( 2 ) 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”， 请你利用图 ( 2 ) 推导勾股定理； 勾股定理的证明与实际应用综合 题型四 解：( 1 ) 梯形ABCD的面积为 × ( a + b )( a + b ) = a2 + ab + b2， 也可以表示为2 × ab + c2 = ab + c2， ∴a2 + ab + b2 = ab + c2，即a2 + b2 = c2； 题型探究 例4 ( 2 ) 如图 ( 3 ) ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB = AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H ( A，H，B在同一条直线上 )，并新修一条路CH，且CH⊥AB。测得CH = 2.4千米，HB = 1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米； 勾股定理的证明与实际应用综合 题型四 ( 2 ) ∵CA = x km，∴AH = ( x - 1.8 )km， 在Rt△ACH中，CA2 = CH2 + AH2， 即x2 = 2.42 + ( x - 1.8 )2，解得x = 2.5，即CA = 2.5km， ∴CA - CH = 2.5 - 2.4 = 0.1 ( km )， 答：新路CH比原路CA少0.1千米； 题型探究 例4 ( 3 ) 在第 ( 2 ) 问中，若AB ≠ AC，CH⊥AB，AC = 4千米， BC = 5千米，AB = 6千米，求AH的长。 勾股定理的证明与实际应用综合 题型四 ( 3 ) 设AH = x km，则BH = ( 6 - x )km， 在Rt△ACH中，CH2 = CA2 - AH2， 在Rt△BCH中，CH2 = CB2 - BH2， ∴CA2 - AH2 = CB2 - BH2， ∴42 - x2 = 52 - ( 6- x )2，解得：x = ， ∴AH 的长为km。 正方体、长方体中的最短路径问题： 正方体中，从A到B的最短路程 = a； 长方体中，从A到B的最短路程 = 。 圆柱中的最短路径问题： 从A到B的最短路程 = min{ 2r + h，}。 课 堂 总 结 感谢聆听! $