第3章 勾股定理 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 初中数学 一、选择题(每小题3分,共24分.每小题只有一个选项是符合 题意的) 1. (★☆☆)下列正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,网 格中的三角形是直角三角形的是 （ ） C 初中数学 解析    C中,三角形三边长的平方分别为10,10,20,∵10+10=20, ∴这个三角形是直角三角形,本选项符合题意.故选C. 初中数学 2. (2025江苏镇江京口期中,★☆☆)如图所示的图形可以用来 验证勾股定理的有 （ ）   A. 1个　　    B. 2个　　     C. 3个　　    D. 4个 C 初中数学 解析　题图①:∵S梯形ACED= (a+b)(a+b),S梯形ACED= ab+ ab+ c2, ∴ (a+b)(a+b)= ab+ ab+ c2,∴a2+2ab+b2=ab+ab+c2,∴a2+b2 =c2,故题图①可以验证勾股定理.同理,题图③可以验证勾股定 理.题图②:图形的总面积可以表示为c2+2× ab=c2+ab,也可以 表示为a2+b2+2× ab=a2+b2+ab,∴c2+ab=a2+b2+ab,∴a2+b2=c2, 故题图②可以验证勾股定理. 题图④不可以验证勾股定理.故选C. 初中数学 3. (★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且AC⊥ BD,若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值为 （ ）   A. 8　　    B. 14　　    C. 20　　    D. 26 C 初中数学 解析　∵AC⊥BD,∴AB2=AO2+BO2,CD2=OC2+OD2,BC2=BO2+ CO2,AD2=OA2+OD2,∴AB2+CD2=BC2+AD2,∵AD=2,BC=4,∴AB 2+CD2=42+22=20,故选C. 初中数学 4. (★☆☆)如图所示的是由单位长度均为1的小正方形组成 的网格,A,B,C,D都是网格线的交点,则由其中任意三个点顺次 连接而成的三角形是直角三角形的个数为 （ ）   A. 1　　    B. 2　　    C. 3　　    D. 4 B 初中数学 解析　如图,连接AB,BD,AC,AD,CD,BC. 易知BC=5,∴BC2=25.由勾股定理,得AB2=22+12=5,AC2=22+42=2 0,BD2=32+42=25,AD2=CD2=12+32=10.∵AB2+AC2=BC2,AD2+CD2 =AC2,AB2+AD2≠BD2,BD2+CD2≠BC2,∴△ABC和△ADC是直 角三角形,△ABD和△CBD不是直角三角形, 即直角三角形有2个.故选B. 初中数学 5. (2025江苏常州月考,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AD平分∠CAB交BC于D,过点D作DE∥AC交AB于点E.若AB= 8,BD=4,则点D到AB边的距离是 （ ）   A.  　　    B.  　　    C.  　　    D. 3 B 初中数学 解析　如图,作DF⊥AB于点F, ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠BAD= ∠CAB, 初中数学 ∵DE∥AC,∠C=90°, ∴∠CAD=∠ADE,∠BDE=∠C=90°, ∴∠EAD=∠ADE, ∴AE=DE, ∵BE2=DE2+BD2,AB=8,BD=4, ∴(8-AE)2=AE2+42, ∴AE=3, ∴BE=AB-AE=8-3=5,DE=AE=3, 初中数学 ∵S△BDE= DF·BE= DE·BD, ∴5DF=12, ∴DF= , ∴点D到AB边的距离是 . 初中数学 6. (2025江苏南通海门期末,★★☆)在△ABC中,AB=20,AC=13, 高AD=12,则△ABC的面积为 （ ） A. 66　　     B. 126　　     C. 54或44　　     D. 126或66 D 初中数学 解析　如图1,当AD在△ABC内部时,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ ADC=90°,∵AB=20,AD=12,AC=13,∴BD2=AB2-AD2=202-122=1 62,CD2=AC2-AD2=132-122=52,∴BD=16,CD=5, ∴BC=BD+CD=21,∴△ABC的面积= ×21×12=126; 如图2,当AD在△ABC外部时,由(1)可知BC=BD-CD=11,∴△ ABC的面积= ×11×12=66. 综上,△ABC的面积为126或66. 初中数学        初中数学 7. 【新考向·数学文化】(2024江苏南通启东期末,★★☆)勾 股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅 五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的 特点是勾为奇数,弦与股相差1,柏拉图研究了勾为偶数,弦与 股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的 勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是(结果用含m的式子表示)  （ ） A. m2-1　　    B. 2m+2　　    C. m2+1　　    D. 2m+3 C 初中数学 解析　∵m≥3,且m为正整数,∴2m为偶数,设股是a,则弦为a+2. 根据勾股定理,得(2m)2+a2=(a+2)2, 解得a=m2-1,∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.故选C. 初中数学 8. (2025江苏泰州海陵期中,★★☆)如图,∠MON=90°,已知△ ABC中,AC=BC=10,AB=12,△ABC的顶点A,B分别在边OM,ON 上,当点B在边ON上运动时,点A随之在边OM上运动,△ABC的 形状保持不变,在运动过程中,点C到点O的最大距离为(         )   C A. 12.5　　    B. 13　　     C. 14　　     D. 15 初中数学 解析　如图,取AB的中点D,连接CD,OD,OC,∵AC=BC=10,AB =12,D是AB的中点,∴CD⊥AB,BD= AB=6,∴CD2=BC2-BD2=1 02-62=82,∴CD=8,又∵△AOB为直角三角形,D为斜边AB的中 点,∴OD= AB=6,∵OC≤OD+DC,∴当O,D,C三点共线时,OC 有最大值,最大值是OD+CD,∵OD+CD=6+8=14,∴点C到点O 的最大距离为14. 初中数学 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. (2025江苏苏州姑苏月考,★☆☆)如图,在△ABC中,AD是BC 边上的高线,BE是AC边上的中线,DF⊥BE于F,BF=FE,若BD= 5,CD=8,则AD=_________.       6     初中数学 解析　如图,连接DE,   ∵DF⊥BE,BF=FE,∴ED=BD=5, ∵AD是BC边上的高线,∴∠ADC=90°,∵BE是AC边上的中线, ∴AE=CE,DE= AC=5,∴AC=10, ∴AD= = =6,故答案为6. 初中数学 10. 【新考向·尺规作图】(2023江苏扬州中考,★☆☆)如图,△ ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=15,以点B为圆心,适当长为半径画 弧,分别交BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点E,作射线BE交AC于点D,则线段 AD的长为_________.           初中数学 解析　如图,过点D作DH⊥BC于点H. 在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=15, ∴BC2=AB2+AC2=82+152=289,∴BC=17. 由作图可知BE平分∠ABC, ∵DA⊥AB,DH⊥BC,∴DA=DH. ∵S△ABC=S△ABD+S△DCB,∴ ×8×15= ×8×AD+ ×17×DH,∴AD= DH= . 初中数学 11. (2025江苏常州期中,★☆☆)如图,△ABC为直角三角形,∠ ACB=90°,分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形,面 积分别记为S1,S2,S3,若S1+S3-S2=16,则阴影部分的面积为_______.       4     初中数学 解析　在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,则S1+S2=S3. ∵S1+S3-S2=16,∴S1+S1+S2-S2=16,∴S1=8, ∴S阴影部分= ×8=4. 初中数学 12. (★☆☆)如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉 船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位 置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了_________米.       9     初中数学 解析　∵在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米, ∴AB2=BC2-AC2=172-82=225,∴AB=15米. ∵CD=10米,∴AD2=CD2-AC2=100-64=36,∴AD=6米, ∴BD=AB-AD=15-6=9(米),∴船向岸边移动了9米. 初中数学 13. (2025江苏无锡梁溪期末,★☆☆)如图,在△ABC中,CE平 分∠ACB交AB于E,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点M,若 CM=3,则CE2+CF2的值为__________.       36     初中数学 解析　∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ACE=∠BCE,∠ ACF=∠DCF,∴∠ECF= ∠BCD= ×180°=90°,∵EF∥BD,∴ ∠MEC=∠BCE,∠DCF=∠F,∴∠ACE=∠MEC,∠ACF=∠F, ∴EM=CM,MF=CM,∴EF=2CM=6,∴在Rt△ECF中,由勾股定 理得,CE2+CF2=62=36. 初中数学 14. (2025江苏南京江宁月考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ ACB=90°,分别以△ABC的各边为直径作半圆,图中阴影部分 在数学史上称为“希波克拉底月牙”.若BC·AC=12,则图中阴 影部分的面积为_________.       6     初中数学 解析　∵∠ACB=90°,∴BC2+AC2=AB2, ∴阴影部分的面积= ·π· + ·π· +S△ABC- ·π· = S△ABC= AC·BC=6. 初中数学 15. (2024江苏常州天宁期中,★★☆)勾股定理被记载于我国 古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明 勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为 “赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它由八个全等的直角三 角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形 MNXT的面积分别为S1,S2,S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S 2+S3=__________.     48     初中数学   初中数学 解析　设八个全等的直角三角形的长直角边的长为a,短直角 边的长为b,则S1=(a+b)2,S2=42=16,S3=(a-b)2, ∵a2+b2=EF2=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2× 16+16=48. 初中数学 16. (2025江苏苏州期中,★★★)如图①,在△ABC中,∠ACB=9 0°,∠A=30°,点E在边AC上,将△BCE沿BE翻折,点C恰好落在 边AB上的点D处,可以探究得到 = .请在这一结论的基础 上继续思考:如图②,在△OPM中,∠OPM=90°,∠M=30°,若OM =2,点G是OM边上的动点,则PG+ MG的最小值为_________.           初中数学   初中数学 解析　如图,作点P关于直线OM的对称点P',PP'交OM于D,作P 'N⊥PM于N点,交OM于G'点,连接P'G,作GB⊥PM于B,   ∴PD=P'D,∠PDM=90°,PG=P'G, ∵∠M=30°,∴GB= GM, 初中数学 ∴PG+ MG=P'G+GB≥P'N,∴当G在G'的位置,B与N重合时, PG+ MG有最小值,最小值为P'N的长, ∵∠OPM=90°,∠M=30°,OM=2,∴OP= OM=1,∴PM= , ∴在Rt△PDM中,PD= PM= ,∴PP'=2PD= , ∵∠M=30°,∠PDM=90°,∴∠MPD=60°, ∵∠PNP'=90°,∴∠PP'N=30°,∴PN= PP'= , ∴在Rt△PP'N中,由勾股定理得P'N= , ∴PG+ MG的最小值为 .故答案为 . 初中数学 三、解答题(共72分) 17. 【学科特色·教材变式】(2025江苏宿迁沭阳期末,★☆☆) (6分)如图,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E,F分别 是BD,AC的中点. (1)请你猜想EF与AC的位置关系,并给予证明. (2)当AC=16,BD=20时,求EF的长. 初中数学 解析    (1)EF⊥AC.证明如下: 如图,连接AE,CE,   ∵∠BAD=90°,E为BD的中点, ∴AE= DB, 初中数学 ∵∠DCB=90°,∴CE= BD, ∴AE=CE, ∵F是AC的中点,∴EF⊥AC. (2)∵AC=16,BD=20,E,F分别是BD,AC的中点, ∴AE=CE= BD=10,CF=8,∵EF⊥AC, ∴EF= =6. 初中数学 18. 【跨语文·诗歌】(2025江苏扬州邗江期末,★☆☆)(8分)明 朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋 千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地. 送行二步恰竿齐,五尺板高离地……”翻译成现代文为如图, 秋千OA静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1尺),将它往前推进 两步(EB=10尺),此时踏板升高,离地五尺(BD=5尺),求秋千绳 索(OA或OB)的长度. 初中数学   初中数学 解析　设OA=OB=x尺, 由题意知EC=BD=5尺,AC=1尺, ∴EA=EC-AC=5-1=4(尺),OE=OA-AE=(x-4)尺, ∵在Rt△OEB中,OE=(x-4)尺,OB=x尺,EB=10尺, ∴由勾股定理得,x2=(x-4)2+102,解得x=14.5. ∴秋千绳索(OA或OB)的长度为14.5尺. 初中数学 19. (2024山东聊城期末,★☆☆)(8分)已知等腰三角形ABC的 底边长BC=20 cm,D是AC上的一点,且BD=16 cm,CD=12 cm. (1)求证:BD⊥AC. (2)求△ABC的面积.   初中数学 解析    (1)证明:∵122+162=202,∴CD2+BD2=BC2, ∴△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,∴BD⊥AC. (2)设AD=x cm,则AC=(x+12)cm, ∵AB=AC,∴AB=(x+12)cm, 在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,∴(x+12)2=x2+162, 解得x= ,∴AC= +12= (cm), ∴△ABC的面积= BD·AC= ×16× = (cm2). 初中数学 20. (2024江苏南京玄武期中,★☆☆)(8分)等腰直角三角板 ABC按如图所示的方式放置,直角顶点C在直线m上,分别过点 A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D. (1)求证:EC=BD. (2)若设△AEC的三边长分别为a,b,c,请利用此图证明勾股定理.   初中数学 证明    (1)∵△ACB是等腰直角三角形, ∴∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ACE+∠BCD=90°. ∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCD. ∵在△AEC与△CDB中,  ∴△AEC≌△CDB(AAS). ∴EC=BD. (2)由(1)得,BD=CE=a,CD=AE=b, 初中数学 ∴S梯形AEDB= (a+b)(a+b)= a2+ab+ b2, S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC= ab+ ab+ c2=ab+ c2, ∴ a2+ab+ b2=ab+ c2. ∴a2+b2=c2. 初中数学 21. (2024江苏徐州期中,★★☆)(8分)“儿童散学归来早,忙趁 东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1)班的 小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直 高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD为15米;② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③DE为 1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE. (2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米,那么他应该往回收 线多少米? 初中数学   初中数学 解析    (1)在Rt△CDB中,由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=252-152 =400,∴CD=20米, ∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米). 答:风筝的垂直高度CE为21.6米. (2)如图,若风筝下降到点M处,连接BM,则CM=12米, ∴DM=8米, ∴BM= = =17(米), ∴BC-BM=25-17=8(米), 初中数学 ∴他应该往回收线8米.   初中数学 22. (2024江苏无锡宜兴期中,★★☆)(10分)如图,一个长方体 盒子(无盖)的长,宽,高分别为12 cm,8 cm,30 cm.在AB的中点C 处有一滴蜂蜜,一只小虫从P处爬到C处去吃蜂蜜,则它爬行的 最短路程是多少?   初中数学 解析　如图,展开长方体盒子的部分侧面,连接PC,则PC的长 就是这只小虫从P处爬到C处的最短路程,   ∵在Rt△APC中,AP=12+8=20(cm),AC= ×30=15 cm, ∴由勾股定理得,PC= =25(cm), ∴这只小虫从P处爬到C处的最短路程是25 cm. 初中数学 23. (2025江苏南通月考,★★☆)(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°, 点M为边AB的中点,点D在边BC上. (1)如图①,若AC=6,BC=8,MD⊥AB,求MD的长. (2)如图②,过点M作ME⊥MD与边AC交于点E,连接DE,试探究 线段AE,DE,DB之间的数量关系,并说明理由.   初中数学 解析    (1)如图,连接AD,   ∵点M为边AB的中点,MD⊥AB, ∴直线MD是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD, 设AD=BD=x,则CD=8-x, ∵在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2,∴x2=62+(8-x)2, 初中数学 解得x= ,∴BD= , ∵在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB= =10, ∵S△ABD= AB·DM= BD·AC, ∴DM= = . (2)ED2=AE2+BD2. 理由:如图,作AN∥BC交DM的延长线于点N,连接EN, 初中数学   ∴∠NAM=∠B,∠ANM=∠BDM, ∵AM=BM,∴△ANM≌△BDM(AAS), ∴AN=BD,MN=MD,∵ME⊥MD, ∴直线ME是线段DN的垂直平分线,∴ED=EN, ∵∠C=90°,AN∥BC,∴∠EAN=90°, ∴EN2=AE2+AN2,∴ED2=AE2+BD2. 初中数学 24. (2025广东佛山期中,★★★)(12分)我们定义:在一个图形 上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图 形的周长,我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”. (1)如图①,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,请你在图①中作出 △ABC的一条“等分积周线”. (2)在图①中,过点C能否画出一条“等分积周线”?若能,说出 确定的方法;若不能,请说明理由. 初中数学 (3)如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,EF垂直平分AD, 垂足为F,交BC于点E,已知AB=4,BC=10,CD=6.求证:直线EF为 四边形ABCD的“等分积周线”.   初中数学 解析    (1)如图,直线BD即为所求.   详解:∵AB=BC,∴△ABC为等腰三角形, 作线段AC的中垂线BD交AC于D,则AD=CD, ∴S△ABD=S△CBD= S△ABC,AB+AD=BC+CD. 初中数学 (2)不能,理由:如图,若直线CD平分△ABC的面积,则S△ADC=S△DBC, ∴AD=BD, ∵AC≠BC, ∴AD+AC≠BD+BC, ∴过点C不能画出一条“等分积周线”.   初中数学 (3)证明:如图,连接AE,DE,设BE=x,则CE=10-x,   ∵∠B=∠C=90°, ∴AB2+BE2=AE2,CE2+CD2=DE2, ∵EF垂直平分AD,∴AE=DE,AF=DF,S△AEF=S△DEF, ∴AB2+BE2=CE2+DC2, 初中数学 ∵AB=4,CD=6, ∴42+x2=(10-x)2+62,解得x=6, ∴BE=6=DC,CE=4=AB, ∴AF+AB+BE=DF+EC+DC,S△ABE=S△DCE, ∵S四边形ABEF=S△ABE+S△AEF,S四边形DCEF=S△DEF+S△DCE, ∴S四边形ABEF=S四边形DCEF, ∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”. 初中数学 $