专题01 空间向量的共线和共面问题7种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量的共线和共面问题7种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 判断空间向量共线 题型 02 证明空间三点共线 题型 03 由空间向量共线求参数值 题型 04 空间共线向量定理的推论及其应用 题型 05 空间向量共面的判断 题型 06 空间向量共面求参数 题型 07 空间共面向量定理的推论及其应用 ▌题型01 判断空间向量共线 1.核心逻辑 （1）若非零向量，存在唯一实数，满足，则与共线（平行）；零向量与任意向量共线。 2.解题步骤 （1）对题目给出的复杂向量式，利用向量加减、数乘化简； （2）尝试变形，看能否将其中一个向量整理成另一个向量的实数倍数形式； （3）若能找到常数，则两向量共线；无法整理出倍数关系，则不共线； （4）若出现零向量，可直接判定两向量共线。 3.易错提醒 （1）仅局部成倍数，不能整体写成，不能判定共线； （2）忽略前提条件，直接套用共线公式。 【例1】（2026高二·浙江金华·期中）在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【详解】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 【变式1-1】（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式1-2】（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式1-3】【多选】（2026高二·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. ▌题型02 证明三点共线 1.核心逻辑 （1）设三点，满足以下任意一个条件，即可证三点共线： ①存在实数，使得； ②对空间任意一点，； ③对空间任意一点，，且。 2.解题步骤 （1）以三点中同一点为起点，构造两个向量（如）； （2）通过向量线性运算化简，证明一个向量是另一个向量的实数倍； （3）补充关键依据：两个平行向量拥有公共点； （4）下结论：向量平行且有公共点，故三点共线。 3.易错提醒 只证明向量平行，缺少“有公共点”这一条件，推导逻辑不完整。 【例2】（2026高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【变式2-1】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】略 【变式2-2】（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. 【答案】(1) (2) ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）略 【变式2-3】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【答案】 在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 【分析】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】略 ▌题型03 由空间向量共线求参数值 1.核心逻辑 （1）两向量共线，将等式两侧统一为同一组基底向量，同类基底系数对应相等，列方程求解参数。 2.解题步骤 （1）根据共线条件写出等式； （2）将等式左右全部拆分、整理成相同基底的线性组合； （3）等式两边相同基底的系数一一对应相等，列出含参数的方程； （4）解方程求出参数后代回原式，验证等式成立。 3.易错提醒 向量移项、拆分基底时符号出错，导致系数等式列写错误。 【例3】（2026高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【变式3-1】（2026高二·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【变式3-2】（2026高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式3-3】（2026高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C ▌题型04 空间共线向量定理的推论及其应用 1.核心逻辑 （1）推论：直线上任意一点，向量满足； （2）特殊结论（中点）：若是中点，则； （3）常用于线段分点、动点向量表示、比例转化类题目。 2.解题步骤 （1）取直线上两点，确定基底向量； （2）设直线上动点，用参数写出表达式； （3）结合题目给出的线段比例（中点、三等分点等）求出参数； （4）化简式子，得到目标向量关系式。 3.易错提醒 中点向量公式遗忘系数，直接写成。 【例4】（2026高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式4-1】（2026高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，，，则________. 【答案】 【分析】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解. 【详解】， ，即 又，三点共线，，解得 故答案为： 【变式4-2】（2026高二·甘肃武威·课后作业）已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________. 【答案】－2 【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：. 故答案为． 【点睛】本题主要考查四点共面的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【变式4-3】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. ▌题型05 空间向量共面的判断 1.核心逻辑 （1）三个向量共面的充要条件：存在实数，使得； （2）几何判定：三个向量全部平行于同一个平面，则三向量共面。 2.解题步骤 （1）假设线性关系式； （2）利用向量加减、数乘化简题干式子，统一为同一组基底； （3）判断是否存在实数能让等式恒成立； （4）存在实数解则三向量共面，无实数解则不共面。 3.易错提醒 （1）混淆“三个向量共面”和“向量所在直线共面”；忽略零向量特殊情况。 【例5】【多选】（2026高二·广东深圳·阶段检测）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的概念，以及向量共面的相关知识，然后依次分析每个选项与“与、共面”之间的条件关系. 【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面； 反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得， 所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求； 当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”； 但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式， 所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求； “不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系， 即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求； 因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”； 反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求. 故选：BD. 【变式5-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式5-3】（2026高二·全国·专题练习）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案. 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. ▌题型06 空间向量共面求参数 1.核心逻辑 （1）三向量共面存在实数解，对比基底系数建立方程组，求解未知参数。 2.解题步骤 （1）根据共面条件设线性等式； （2）将等式左右两侧全部拆分为同一组基底向量； （3）左右相同基底的系数对应相等，得到方程组； （4）消去，解出题目参数，代回验证方程组有解。 3.易错提醒 求出参数后不检验方程组是否存在实数解，直接写答案。 【例6】（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 【变式6-1】（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 【变式6-2】（2026高一·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 【变式6-3】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. ▌题型07 空间共面向量定理的推论及其应用 1.核心逻辑 （1）四点共面，满足任意一条即可证明： ①； ②任取空间一点，； ③任取空间一点，，且； ④存在一组向量互相共线（如）。 2.解题步骤 （1）在四个点中选取公共起点，构造平面内两个基底向量； （2）通过向量运算，将第四个点对应的向量写成前两个向量的线性组合； （3）若选用含空间定点的形式，必须验证三个系数相加等于1； （4）书写结论：四点满足共面向量推论，故四点共面。 3.易错提醒 使用证明时，忘记验证。 【例7】【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 【变式7-1】【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 【变式7-2】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式7-3】（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的共线和共面问题7种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 判断空间向量共线 题型 02 证明空间三点共线 题型 03 由空间向量共线求参数值 题型 04 空间共线向量定理的推论及其应用 题型 05 空间向量共面的判断 题型 06 空间向量共面求参数 题型 07 空间共面向量定理的推论及其应用 ▌题型01 判断空间向量共线 1.核心逻辑 （1）若非零向量，存在唯一实数，满足，则与共线（平行）；零向量与任意向量共线。 2.解题步骤 （1）对题目给出的复杂向量式，利用向量加减、数乘化简； （2）尝试变形，看能否将其中一个向量整理成另一个向量的实数倍数形式； （3）若能找到常数，则两向量共线；无法整理出倍数关系，则不共线； （4）若出现零向量，可直接判定两向量共线。 3.易错提醒 （1）仅局部成倍数，不能整体写成，不能判定共线； （2）忽略前提条件，直接套用共线公式。 【例1】（2026高二·浙江金华·期中）在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式1-3】【多选】（2026高二·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 ▌题型02 证明三点共线 1.核心逻辑 （1）设三点，满足以下任意一个条件，即可证三点共线： ①存在实数，使得； ②对空间任意一点，； ③对空间任意一点，，且。 2.解题步骤 （1）以三点中同一点为起点，构造两个向量（如）； （2）通过向量线性运算化简，证明一个向量是另一个向量的实数倍； （3）补充关键依据：两个平行向量拥有公共点； （4）下结论：向量平行且有公共点，故三点共线。 3.易错提醒 只证明向量平行，缺少“有公共点”这一条件，推导逻辑不完整。 【例2】（2026高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【变式2-1】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【变式2-2】（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. 【变式2-3】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    ▌题型03 由空间向量共线求参数值 1.核心逻辑 （1）两向量共线，将等式两侧统一为同一组基底向量，同类基底系数对应相等，列方程求解参数。 2.解题步骤 （1）根据共线条件写出等式； （2）将等式左右全部拆分、整理成相同基底的线性组合； （3）等式两边相同基底的系数一一对应相等，列出含参数的方程； （4）解方程求出参数后代回原式，验证等式成立。 3.易错提醒 向量移项、拆分基底时符号出错，导致系数等式列写错误。 【例3】（2026高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【变式3-1】（2026高二·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【变式3-2】（2026高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（2026高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 ▌题型04 空间共线向量定理的推论及其应用 1.核心逻辑 （1）推论：直线上任意一点，向量满足； （2）特殊结论（中点）：若是中点，则； （3）常用于线段分点、动点向量表示、比例转化类题目。 2.解题步骤 （1）取直线上两点，确定基底向量； （2）设直线上动点，用参数写出表达式； （3）结合题目给出的线段比例（中点、三等分点等）求出参数； （4）化简式子，得到目标向量关系式。 3.易错提醒 中点向量公式遗忘系数，直接写成。 【例4】（2026高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式4-1】（2026高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，，，则________. 【变式4-2】（2026高二·甘肃武威·课后作业）已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________. 【变式4-3】（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． ▌题型05 空间向量共面的判断 1.核心逻辑 （1）三个向量共面的充要条件：存在实数，使得； （2）几何判定：三个向量全部平行于同一个平面，则三向量共面。 2.解题步骤 （1）假设线性关系式； （2）利用向量加减、数乘化简题干式子，统一为同一组基底； （3）判断是否存在实数能让等式恒成立； （4）存在实数解则三向量共面，无实数解则不共面。 3.易错提醒 （1）混淆“三个向量共面”和“向量所在直线共面”；忽略零向量特殊情况。 【例5】【多选】（2026高二·广东深圳·阶段检测）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 【变式5-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高二·全国·专题练习）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 ▌题型06 空间向量共面求参数 1.核心逻辑 （1）三向量共面存在实数解，对比基底系数建立方程组，求解未知参数。 2.解题步骤 （1）根据共面条件设线性等式； （2）将等式左右两侧全部拆分为同一组基底向量； （3）左右相同基底的系数对应相等，得到方程组； （4）消去，解出题目参数，代回验证方程组有解。 3.易错提醒 求出参数后不检验方程组是否存在实数解，直接写答案。 【例6】（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【变式6-1】（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】（2026高一·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 ▌题型07 空间共面向量定理的推论及其应用 1.核心逻辑 （1）四点共面，满足任意一条即可证明： ①； ②任取空间一点，； ③任取空间一点，，且； ④存在一组向量互相共线（如）。 2.解题步骤 （1）在四个点中选取公共起点，构造平面内两个基底向量； （2）通过向量运算，将第四个点对应的向量写成前两个向量的线性组合； （3）若选用含空间定点的形式，必须验证三个系数相加等于1； （4）书写结论：四点满足共面向量推论，故四点共面。 3.易错提醒 使用证明时，忘记验证。 【例7】【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的共线和共面问题7种常见考法归类 ▌题型01 判断空间向量共线 【例1】【答案】D 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【详解】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 【变式1-1】【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式1-2】【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式1-3】【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. ▌题型02 证明三点共线 【例2】【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【变式2-1】【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】略 【变式2-2】【答案】(1) (2) ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）略 【变式2-3】【答案】 在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 【分析】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】略 ▌题型03 由空间向量共线求参数值 【例3】【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【变式3-1】【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【变式3-2】【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式3-3】【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C ▌题型04 空间共线向量定理的推论及其应用 【例4】【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式4-1】【答案】 【分析】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解. 【详解】， ，即 又，三点共线，，解得 故答案为： 【变式4-2】【答案】－2 【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：. 故答案为． 【点睛】本题主要考查四点共面的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【变式4-3】【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. ▌题型05 空间向量共面的判断 【例5】【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的概念，以及向量共面的相关知识，然后依次分析每个选项与“与、共面”之间的条件关系. 【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面； 反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得， 所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求； 当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”； 但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式， 所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求； “不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系， 即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求； 因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”； 反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求. 故选：BD. 【变式5-1】【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 【变式5-2】【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式5-3】【答案】D 【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案. 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. ▌题型06 空间向量共面求参数 【例6】【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 【变式6-1】【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 【变式6-2】【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 【变式6-3】【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. ▌题型07 空间共面向量定理的推论及其应用 【例7】【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 【变式7-1】【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 【变式7-2】【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式7-3】【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $