1.3.2 空间向量运算的坐标表示（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过A/B/C组及拓展分层设计，以“基础巩固-能力进阶-思维拔高-高考衔接”为路径，覆盖空间向量坐标运算全知识点，适配新授课差异化教学，培养运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|10个基础知识点（加减、数量积、平行垂直等坐标表示）|“知识点速记+题型巩固练”，基础选择为主，强化概念理解与运算能力| |B组|综合应用（共面参数、夹角计算、模长与距离综合）|选择、填空、解答题结合，提升推理能力与空间向量综合应用| |C组及拓展|创新与高考对接（数学文化、新定义、动点轨迹、高考真题）|融入跨学科情境与探究性问题，发展创新意识与应用意识，衔接高考要求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.3.2空间向量运算的坐标表示 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 空间向量加、减、数乘的坐标表示 1.B: 2.C: 3.A; 4.D 知识点02 空间向量数量积的坐标表示 5.A; 6.C: 7.D; 8.B 9.C 知识点03 利用空间向量基本定理求参数 10.C: 11.A: 12.B: 13.A 知识点04 空间向量垂直的坐标表示 14.B; 15.A: 16.C: 17.C: 18.B; 19.C; 知识点05 空间向量模长的坐标表示 20.C: 21.B; 22.C 23.B 知识点06 空间向量两点间距离公式 24.B; 25.B: 26.C: 27.2 28.4 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点07 空问向量夹角的坐标表示 29.B 30.B 31.A 32.A 33.C; 34.B 知识点08 空间向量投影向量的坐标表示 35.D 36.B 37.A 38.B 39.B; 知识点09 判断空间向量（坐标表示）是否共面 40.A 41.D: 知识点10 空间向量（坐标表示）共面求参数 42.B 43.A 44.A 45.C 39.6: B组 能力进阶 一、单选题 1.C: 2.C: 3.D 4.D; 5.A;6.A;7.B 8.D 二、多选题 9.ABC; 10.BC: 11.AC 三、填空题 13. V70 12.(2,-2,0) 3 14. 7 四、解答题 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【答案】()5：2)4：(31 【详解】(1)因为a=(-1,0,1),6=(1,-2,0), 所以a+6=(1+1,0-2,1+0)=(0,-2,1, 所以a+=V0+(-2}2+P=5； (2)因为a=(-1,01),6=(1,-2,0), 所以ā-6=(-1-1,0+2,1-0)=(-2,2,1)， 所以a-(a-b)=(-1)x(-2)+0×2+1x1=3, a=V-1y+02+下=2，la-=-2y2+22+=3, 设a与(a-b)的夹角为0， 则cos0= -(a-)32 aa-B2x3 2 又0e0小，得9- (3)因为a=（-1,0,1),6=(1,-2,0), 所以2a+b=(-1,-2,2),ā-b=(-1-t,2,1), 因为2a+6与a-6垂直，所以(2a+bā-b)=0, 故-1×(-1-)+(-2)×2t+2×1=0,解得t=1. 16. 【路案1a后：a小0 【详解】(1)由已知得：AB=(1,0,0),AC=(5,0,1 m(c〉的号 :〈ABAC〉E10小向里布与C的夹角为君 (2)m=AB-1AC=(1-V5,0,-t,i=AB+1AC=(1+30,) 3111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,m与万夹角为锐角，∴.历i>0且m与i不共线 11) 由m:>0'可得(-V5d+5)->0,解得220 当m与i共线时，存在实数入，使得历=抗， 1-3t=1+3) 即0=1x0 ,解得，与不共线，②， -t=×t t=0 m ii t≠0 0e得e(小》 【路1aE0-别小，r-别：003 17 【详解】(a)由题意可得B,L0,E,D0Q0,0 数E=0-子F=0别 2由④可知E-0所-0 所以0-++P-E0=0x0(}11 16 1 217 所以在 上的投影向量的坐标为 DFDF 25 0100'25 BE DF 16 【案15：号 【详解】(1)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,八，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,1,0),C(01,0),B(11,1),C(0,1,1),设P(,0,z0≤x≤1,0≤z≤1) 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B A D: BP=(x-1,-1,z）CB=(1,0,1) 由于BP.CB=0,所以x-1+z=0,即x=1-2. 又c=(k,-l2)所以C=+1+z=0-2+1+2=22-22+2=2 时05：所以当：时G网花翔是恤5得9 (2)BP=(x-1,-1,z,BC=(-1,0,1), 因为BP.BC=1,所以-x+1+z=1,即x=z. cos(BC,BP)= C·BP CBP -1-F2j 13 由于 ,所以 ,12323 (利用二次函数的性质求解)， 0≤z≤1 2-2+4 即当2=0或1时，cos(BC,BP)取得最小值)，因此（⑧C,BP)的最大值为3 即BC与BP夹角的最大值为3， 2:0 19【答案】（证明见解折：2 10 【分析】(1)(2)(3)法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案： 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得 答案： 【详解】(1)法1，结合题图，P丽=店-D丽-(D+DC)P-0+孤-D 241 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题BD=PB=pD=0,=, 则所丽-(-列}P+西-而-0， 所以PB⊥DM,即PB⊥DM: 法2，以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2),B(2,0,0),D0,2,0),A(0,00）,C(2,10). 因为y为pC的中点，所uM号所以防=20-20丽--别片】 又P8D-21+0}(21=0,所以pB1·即p8⊥DM (2)法1，DM-M-而-}P+4C-D,4C=丽+c=G+D,则 D=P+-D,从而 丽-+丽而p+丽+名n+号P孤0 16 ,白om-刘4网-号w帐为号 3)法1，由于pD=D-D,C=+号0， 因此PDD-AP=D-2AD.P+PP=4-0+4=8,故PD=25, ad=+号西-网+2B号而+0=4+0+1=5，数0=5. 4cm-(+D(D-)0=2 20 故os4C,P币=52210 法2，AC=(21,0),PD=(0,2,-2). 所以ACPD=2x0+1x2+0x(-2)=2,AC=5,PD=22, 6111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cosAC,PD= AC·PD 2 AC PD =V10 5x2510 M B C组 思维拔高 1.B:2.A: 3.C4C 5.(（1,2,0)(答案不唯一，x+y+z=3且x,y,z不全相等均可)； 4W3 6.（L1,0,0)(答案不唯一) 7.25 865+22 9. 10.10 3 20-652+6V53+9√5 1.【答案】少[22,3：22x+y+z小：6：3存在： 11 11,11 【分析】(1)直接用，j,向量表示AC,即可得答案： (2)根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案， (3)设n1平面ABCD,进而根据向量垂直关系求得i=i+j-3派=1，山，-3]，设BF=BD,1∈[0，川， 求得=B+即-2-2,2元，3以小再根据线面角的向量求法求得元-+35 11，最后将的值代入即可求 得AP. 【详解】(1)因为AC=AB+AD+AA=2i+2i+3K,所以AC=[22,3]. (2)设=[x,,4],6=[x,2], ā.6=(xi++zk)(si+乃j+z) =xx++z2+(y2+xy),j+(+x2)i.+(32+⅓)i. =++++y+马++%+). 7111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a-6=x+y+z+2+y+x+z+y+2)=2(x+y+列： 5l=5-V21+1+可）=6 (3)BD=-AB+AD+AA=-2i+2j+3派=[-2,2,3]. 设BP=BD=[-2,2,3),1∈[0,1]， Ap=AB+BP=(2-2)i+2j+3k=[2-22,2元，3]. 设n⊥平面ABCD,i=xi+yj+z水，AB=2i,AD=2j. n⊥AB 2x+y+z=0 (n1A, +2y+2=0取元=i+7-3派=1，-3引 即 设直线AP与平面ABCD夹角为B, AP.n 62 sin= 1 AFV1322+2+4x62, 吗1以2-2-4=0解得=1+35威-35 11或 11(舍) 所以，存在点。满足题意，且P= 20-6N52+653+9V5 11’11’11 2【答案1问22引2 【分析】(1)通过“空间斜60坐标系”的定义，化简为ā=i+2j+3死，万=-i+j+2K,再计算ā+b的 斜60°坐标， (2)设，j,(分别为与AB,AD,AA同方向的单位向量，则4B=2i,AD=2j,AA=3派，①中，通过平 行六面体ABCD-ABCD得到ED=-B+D+)杯，从而得到求向量历的斜60坐标：@中，通过 平行六面体ABCD-ABCD得到AC=AB+AD+AA,由M=[24,0],得到AM=2i+行，并结合题目中 的AM1AC,从而计算出t值，并得到AM的值。 【详解】1)a=[1,2,3],6=[-11,2], .a+6=(+2j+3)+(-i+j+2)=3j+5k=[03,5], ∴.a+b的斜60°坐标为[03,5]。 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设i,,分别为与AB,AD,AA同方向的单位向量， AB=2i,AD=2j,A4=3k,BE=EB, @D=0-正-(+4)-(48+4 =B+0+4=28+2所+-[22引 ②由题AC=AB+AD+AA=2i+2j+3求， 由AM=[26,0],知AM=2i+i, 出m1aG,j-7-i AM:AC=(2i+2j+3)2i+）=0, .4i2+2+(4+2)j+6k.i+3k.j=0, 4+2x++20+6+3×0,解得，-2 则4M=2i-2=V(2i-2j}=V4+4-87万=2. 拓展 链接高考 1.C 2.2: 3.3: 4【答案】 【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：A(,0,0) B(11,0)C(01,0).D(0,0,),则DB=(1,山，-1). 9111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 11 B P D B 由D,P=D,B,得DP=DB=(亿，，-)， 而PA=PD+DA=(-元，-，)+(1,0，-)=(1-元，-，元-1)： 又PC=PD+DC=(←-，-元，)+(0，l,-1)=(-元，1-元，2-1） 由os∠MPC=os(PA,PC) pmP0-2+2-+2+-21+1<0 PA.PC PAPC 化简得322-42+1<0，解得3<2<1. 5【答案】a,5a0:B详见解折 【详解】(1)解：建立如图所示空间直角坐标系： Z B N M 则B(0,10),M(1,0,), 所以BM=(L,-1), 则BM=V3, (2)由(1)知B(01,0,4(1,0,2),C(0,0,0),B(01,2), 所以BA=(1,-12),CB=(01,2). 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BA·CB=3,BA=V6,CE=V5 新uos.c国产 BA·CB 3 V30 BA.CB 6x510: （3)由a)知Bao0402.caa2.N572. 所以4=--12.cN-G20, 则BA·CN=0, 所以4B⊥CN 11/11 分层作业 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量加、减、数乘的坐标表示 知识点02 空间向量数量积的坐标表示（重点） 知识点03 空间向量平行的坐标表示（重点） 知识点04 空间向量垂直的坐标表示（重点） 知识点05 空间向量模长的坐标表示（重点） 知识点06 空间向量两点间的距离公式 知识点07 空间向量夹角的坐标表示（重点） 知识点08 空间向量投影向量的坐标表示（重点） 知识点09 判断空间向量（坐标表示）是否共面 知识点10 空间向量（坐标表示）共面求参数（重点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量加、减、数乘的坐标表示知识点01 知识点速记： 空间向量的加、减、数乘的坐标运算： 设，， 则；； 题型巩固练： 1．（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，点，，，则. 故选：B. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，. 故选：C. 3．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 4．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以 故选：D. 空间向量数量积的坐标表示知识点02 知识点速记： 设，，. 题型巩固练： 5．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 6．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， . 故选：C 7．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 8．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）设点、、，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以，， 所以. 故选：C. 空间向量平行（共线）的坐标表示知识点03 知识点速记： 设， 当的每一个坐标分量都不为0时，. 题型巩固练： 10．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】因为，所以存在，使得， 即， 所以. 故选：C 11．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 13．（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】. 因为三点共线，所以，即，解得，则. 故选：A. 空间向量垂直的坐标表示知识点04 知识点速记： 设，，. 题型巩固练： 14．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 15．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，，. 16．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于与垂直，故，解得， 故， 故选：C 17．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由与垂直， 可得（*）， 因，，则，，， 代入（*），可得，解得. 故选：C. 18．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 19．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 空间向量模长的坐标表示知识点05 知识点速记： 设，，. 题型巩固练： 20．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 21．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 22．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 23．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 空间向量两点间距离公式知识点06 知识点速记： 空间任意两点，间的距离． 原点到空间中任意一点的距离为． 题型巩固练： 24．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 25．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 26．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 27．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）在中，已知，则边上的中线的长是 __________. 【答案】 【详解】边上的中点坐标为， 所以边上的中线的长是. 故答案为：. 28．（25-26高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为__________. 【答案】4 【详解】， 因为为整数，所以的最小值为4. 故答案为：4 空间向量夹角的坐标表示知识点07 知识点速记： 设，， 则. 题型巩固练： 29．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 30．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 31．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 32．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   33．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 34．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    空间向量投影向量的坐标表示知识点08 知识点速记： 设，， 则在方向上的投影向量为. 题型巩固练： 35．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为，其坐标为． 故选：D. 36．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 37．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 38．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 39．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知在上的投影向量是，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】设在上的投影向量为，则， 所以，所以，解得， 所以，所以. 判断空间向量（坐标表示）是否共面知识点09 知识点速记： 判断空间向量（坐标表示）是否共面， ⑴若三个向量中有一个是零向量，它们必然共面； ⑵若三个向量均为非零向量，可将的坐标代入，看是否有解，若有解，则共面；若无解，则不共面. 题型巩固练： 40.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 41．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； B：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； C：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； D：设，则，所以共面，所以不能作为空间向量的一组基底. 故选：D 空间向量（坐标表示）共面求参数知识点10 知识点速记： 已知空间（坐标表示）向量共面求参数的步骤： ⑴建立线性关系：列出等式（其中为实数）； ⑵坐标代入运算：将向量的坐标代入上述等式，根据向量相等的定义（对应坐标相等），列出关于及待求参数的三元一次方程组； ⑶求解方程组：先通过不含待求参数的两个方程组解出的值，再将其代入含参的方程，求出参数. 题型巩固练： 42．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 43．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 44．（25-26高三上·山东济宁·期末）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A.    45．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 46．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 1、 单选题 1．（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）若是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则， 则. 故选：C. 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意，所以. 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 4．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】已知点在平面内，，故， 解得， ． 6．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 8．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 2、 多选题 9．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 11．（25-26高二下·浙江·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 3、 填空题 12．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是__________. 【答案】 【详解】，设， 所以，解得. 13．（25-26高二上·北京·期中）已知，若四点共面，则______. 【答案】 【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得， 即， 则有，解得 14．（25-26高二下·贵州毕节·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为， ，，，，，， 因此，，该方向上的单位向量为， 由题意得，点坐标为， 同理，，该方向上的单位向量为， 故点坐标为， 则， 故当时，. 4、 解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 17．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 18．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 19．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 1．【数学文化】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 2．【新定义问题】（25-26高一下·四川·阶段检测）对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 3．【数学抽象】（2026·江西南昌·三模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， ，， ， 则，所以， ， 所以注意力输出向量为. 4．【跨学科】一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（   ） A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大 C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6 【答案】C 【详解】分子A的偶极矩，分子B的偶极矩，分子C的偶极矩， 则，，，所以分子A的偶极矩模长最小，A正确； 因为分子C的偶极矩模长最大，所以分子C的极性最大，B正确； 因为，，， 所以，，C错误，D正确. 故选：C 5．【开放题】（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________． 【答案】（答案不唯一，且不全相等均可）． 【详解】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， ， 则，即， 又向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：．（答案不唯一，且不全相等均可）． 6．【开放题】（23-24高二上·北京·期中）在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量__________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是， 则， 则，则， 故一个满足条件的信号向量是. 故答案为：（答案不唯一） 7．【动点轨迹问题】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，其中，且，则点轨迹的面积为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，点，利用共面向量定理的推论可得点在平面内，进而确定轨迹图形并求出面积. 【详解】令，则， 由，得， 由，得点在平面内， 设，由， 得，且， 又，则， 因此点轨迹是， 因为， 则， 所以点轨迹的面积为. 8．【动点轨迹问题】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______． 【答案】 【分析】由，有点轨迹是垂直平分面与正方体表面相交所得，是一个多边形．建立空间直角坐标系，设多边形顶点，根据求出顶点坐标，可求得轨迹长． 【详解】 如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 满足条件的轨迹是的垂直平分面截正方体表面所得，是一个多边形． 假设交点在棱，，，上，根据所求结果再调整假设． 已知，． 设上交点，由有 ，解得，即． 设上交点，由有 ，解得，即． 由对称性可得，故上交点． 设上交点为，由有 ，解得，即， 不在棱上，故交点在，上． 设上交点，由有 ，解得，即． 由对称性可得，故上交点． ，由对称性． ，由对称性． ． 故轨迹长为． 9．【直观想象】（25-26高二下·上海·期末）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . 10．【新定义问题】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为______. 【答案】10 【分析】建立空间坐标系，表示出，，根据题意得出，利用三角换元，结合辅助角公式可得答案． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，即，结合题意可知，点在矩形内以点为圆心，半径为1的圆弧上，且满足，． ，化简得：． 设，，则，，即，，故 ，， 故，当时，有最大值． 故答案为：10 11．【探究性问题】（25-26高二下·上海·期中）如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；；(3)存在； 【分析】（1）直接用向量表示，即可得答案； （2）根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案. （3）设平面，进而根据向量垂直关系求得，设，，求得，再根据线面角的向量求法求得，最后将的值代入即可求得. 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 12．【数学运算】（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1)；(2), 2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．（2010·广东·高考真题）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________． 【答案】 【详解】解： ，解得 故答案为： 3．（2008·海南·高考真题）已知向量，且，则____________． 【答案】3 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 4．（2008·江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 【答案】 【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则. 由，得， 而； 又. 由， 化简得，解得. 5．（2000·上海·高考真题）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)详见解析 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 目录 A组巩固过关 知识点01空间向量加、减、数乘的坐标表示 知识，点02空间向量数量积的坐标表示（重点） 知识，点03空间向量平行的坐标表示（重点） 知识，点04空间向量垂直的坐标表示（重，点） 知识，点05：空间向量模长的坐标表示（重点） 知识点06空间向量两点间的距离公式 知识，点07空间向量夹角的坐标表示（重点） 知识点08空间向量投影向量的坐标表示（重点） 知识，点09判断空间向量（坐标表示）是否共面 知识，点10空间向量（坐标表示）共面求参数（重，点) B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 空间向量加、减、数乘的坐标表示 知识点速记： 空间向量的加、减、数乘的坐标运算： 设云=(，y,2),b=(x2,2,22, 则a+b=(c+x2,y+y2,31+z2):a-b=(c-x2y-y2,31-z2):ā=(2x,y,z) 题型巩固练： 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二上江西上饶期末)在空间直角坐标系中，已知点A(0,11),B(1,2,1),C(21,3),则 AB-AC=() A.(1,-1,2) B.（-1,1,-2) c.(3,1,2) D.（-3,-1,-2) 2.(25-26高二上辽宁朝阳期中)己知ā=(2，-1,3)，6=(3,5，-1)，则2a-6等于() A.(1,-7,-1) B.(7,-3,-5) c.(1,-7,7) D.(7,3,5) 3.(25-26高二下福建宁德期中)已知a=(2,-3,1),6=(2,03),c=(0,0,2),则a+66-8c为（) A.(14,-3,3)B.(14-3,-7） c.(10,-3,-1) D.(10,-3,3) 4.(25-26高二上河北张家口期末)已知空间中三点A(1,0,2),B(2,3,),C(3,4,2),则BC-3AC= () A.(1,3,-1) B.（-1,-3,1) c.(5,11,-1) D.（-5,-11,1) 知识点02 空问向量数量积的坐标表示 知识点速记： 设a=(x,4,z),b=(x2,y2,22),b=xy+x2+xy3 题型巩固练： 5.(25-26高二上广东河源期末)已知a=(-2,4,-1),b=(2,-2,m）),且a.6=-7,则m=() A.-5 B.1 C.3 D.5 6.(25-26高二上广东佛山期未)已知空间向量a=(2,-3,1),万=(2,0,3)，则ā：（ā-b)=（) A.-9 B.-7 C.7 D.9 7.(25-26高二上浙江宁波期末)已知ā=(，-2,3)，万=(-1,2，-1)，c=(35,2),则(a+6)c的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 8.(25-26高二下-江苏泰州阶段检测)已知a=(-3,25),万=(1,5，-2)，则(a+b)(ā-)=() 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.21 B.8 C.68 D.-3 9.(25-26高二上江苏南通期末)设点O(00,0)、A(31,2)、B(1,5,0),线段4B的中点为M,则 OM·AB=() A.-7 B.-6 c.6 D.7 知识点03 空间向量平行（共线）的坐标表示 知识点速记： 设a=(,),b=(x,y22) 2=2=2 当。的每一个坐标分量都不为0时，a/6台x片云 题型巩固练： 10.(25-26高二上福建厦门期中)已知向量a=(3,-2,),万=(6，y,2),若a16,则x-y=() A.3 B.-3 c.5 D.-5 11.(25-26高二下江苏盐城期未)己知空间向量a=(m,n,8),万=(-2,1，-4)，且a/i,则m+n=() A.2 B.-1 C.1 D.-2 12.(25-26高二下江苏南京阶段检测)设ā=(1,2，-1)，6=(-23,2)，若a+b)/(a-36),则的值是 () A. 3 B. C.3 D.3 13.(25-26高二上江西南昌期末)若M,2,3),N(6,4,5),P5,m,m)三点共线，则m-n=（) A.-1 B.-2 C.1 D.0 知识点04 空间向量垂直的坐标表示 知识点速记： 设ā=(3)，b=(x,y223),a16台x2++22=0. 题型巩固练： 3/18 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26高二上·广东湛江期末)已知a=(1,-1,),万=(1,2，x),且a16,则a+=（) A.2 B.3 C.4 D.5 15.(25-26高二下甘肃兰州期中)已知空间向量=(3，-3,2)，万=(2,0，-3)，c=(6,6,4),则下列结 论正确的是() A.a⊥b,a/1 B.a⊥b,a⊥c C.allb,allc D.a/b,a⊥c 16.(24-25高二上山东青岛阶段检测)己知空间向量ā=(1，n,2),万=(-2,12)，若3ā-万与垂直，则 |a等于() 2 c.6 0.② 2 17.(24-25高二上陕西咸阳期中)己知a=(11,0),b=(1,0,2),且ka+6与2a-垂直，则k的值为 () 4 6 7 c.5 7 A.3 B.5 0.6 18.(25-26高二下甘肃白银期中)已知ā=(2,0,3)，6=(-2,2，x,且(a+b)1ā，则x=() 5 A.3 B.3 c D.3 19.(25-26高一下浙江宁波期末)已知向量ā=(4,24)，万=(1，-2,2)，若a+2b)1(a-26),则= ( A.1 B.-1 C.2 D.-2 知识点05 空间向量模长的坐标表示 知识点速记： 设ā=(，)，万=(x,2),园=√ā=√x2+y2+z2. 题型巩固练： 20.(25-26高二下河南平顶山期末)已知空间直角坐标系中的△ABC满足AB=(0,2,1),BC=(1,2,0), 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AC=() A.6 B.3 C.3v2 D.5 21.(25-26高二上广东东莞期末)已知向量ā=(x,0,3),万=(0，-1,2)，若a-=3,则x的取值为 () A.+1 B.t√万 C.1 D. 22.(25-26高二上河北衡水期末)设x,yeR,向量a=(c1,),b=(1,y,),c=(2,-2,2),且a1c, 6/6,则a+=（) A.2V2 B.3 c.5 D.4 23.(25-26高二下安徽期中)在长方体ABCD-ABCD中，AB=3,A4=2,AD=1,向量 -+而+，则） A.22 √23 2 4 c.3vio 4 D. 2 知识点06 空间向量两点间距离公式 知识点速记： 空间任意两点A(x,4,),B(x2,2)间的距离4AB=V(x-x}+(y-}+(-22)} 原点0到空间中任意一点P(x,y,2)的距离为OP=V2+y2+z2. 题型巩固练： 24.(25-26高二上内蒙古呼和浩特期末)在空间直角坐标系中，点M(11,0),N(0,12),则MN= () A.5 B.5 C.2 D.3 25.(25-26高二上北京丰台期末)已知向量a=10,0),6=0,1-),则a-26为() A.1 B.3 C.6 D.9 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(25-26高二下福建龙岩期中)在空间四边形ABCD中，若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,4),点 E,F分别为线段BC,AD的中点， 则EF=() A.②2 V30 2 C.22 D.30 27.(24-25高二下甘肃甘南期中)在△ABC中，己知A(-12,3),B(2,-2,3,C(2,2,3),则AB边上的中线 CD的长是 28. (25-26高二上江西赣州期中)在空间直角坐标系0-z中，点A(-1,0,2),B(2,1m)4B为整数，则 AB的最小值为： 知识点07 空间向量夹角的坐标表示 知识点速记： 设ā=()，万=(x:2), 则cosa,b)= ab xy+x2y2+x3y3 可 Vx2+2+2x2+2+22 题型巩固练： (2526高二下江苏连云港期中)已知向量a-(0l,》, 29. 向量万=(-1,1，-2)，则a与5的夹角为 () 3π A.6 B 2 D.4 (2526高二上江西抚州期末)设向量0=L2,小，云=(2,2，-少，若0s(a,）-,则正实数2的值 30. 为() A.1 B.2 C.3 D.4 31.(2025山东济南三模)已知在空间直角坐标系0-z中，4AL1,0),B(0,V2,1),C(2,1-),则向量AC 与OB夹角的余弦值为() A.V6 C. 3 √6 B D. 6 6 6 6 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(25-26高-下湖南岳阳期中)如图，在正方体ABCD-4BCD中，点P满足Dp-D0,则向量 AP与D,B夹角的余弦值为() D C B A B A.-2v30 8.2v30 15 c.30 15 15 D.30 20 33.(25-26高二上福建泉州期末)在正方体ABCD-ABCD中，M为AD的中点，则AM与DB所成 的角的余弦值为() B. V10 5 5 D. 34.(25-26高二上·贵州毕节阶段检测)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB,M为PC上一动点，PM=PC,若∠BMD为钝角，则实数t的值可能为() 1 2 A.3 B.3 C.1 D.2 知识点08 空间向量投影向量的坐标表示 知识点速记： 设ā=(，，2)，万=(x2,y2,22), 在，方向上的投影狗量为e0sa,点-a-6石 a b 题型巩固练： 35.(25-26高二上河北保定阶段检测)己知向量ā=(-1,2，-3)，b=(21,2),则向量ā在向量b上的投影向 量的坐标是() 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-4,-2,-4B.(2,4,6) 36.(25-26高二上四川绵阳期中)己知向量ā=(0,0,2)，万=(1，-1，)，则向量6在向量ā上的投影向量 为() A.(0,0,2) B.(0,0,1) c.(0,0,-1) D.(0,0,-2) 37.(25-26高二下安徽安庆期中)已知空间向量ā=(2，-山，2)，6=(1,2,2)，则向量ā在向量6上的投影 向量为() 488 488 A.g99 B.999 c.别 38.(25-26高二上江西新余期末)己知向量ā=(-2,2,1)，6=(1,1,0)，则6-a在a方向上投影向量的坐标 为() A.（-2,2,1) B.(2,-2,-1) c.（-6,6,3) D.(6,-6,-3) 39.(25-26高二下江苏苏州期中)已知ā=(1,2，m)在6上的投影向量是(2,11)，则同=() A.5 B.3 c.V10 D.V15 知识点09 判断空间向量（坐标表示）是否共面 知识点速记： 判断空间向量a,b,c(坐标表示)是否共面， ()若三个向量中有一个是零向量，它们必然共面： (2)若三个向量均为非零向量，可将ā，b,c的坐标代入c=xā+b,看x,y是否有解，若有解，则 共面；若无解，则不共面 题型巩固练： 40.(25-26高二上安徽芜湖期末)己知向量a=(1,0,0）,五=(0,11)，则下列向量中可以与a,五构成空间 的一个基底的是() A.c=(0,1,0) B.c=(1,1,1) 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.c=(1-1,-1) D.c=(0,0,0) 41.(25-26高二上广东惠州阶段检测)下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是() A.a=(2,0,0),b=(0,3,0),c=(0,0,4） B.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,1) c.a=（-5,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1） D.a=(2,2,1),b=(1,0,1),c=(1,2,0) 知识点10 空间向量（坐标表示） 共面求参数 知识点速记： 已知空间（坐标表示）向量共面求参数的步骤： (I)建立线性关系：列出等式c=xā+yb(其中x,y为实数)： (2)坐标代入运算：将向量的坐标代入上述等式，根据向量相等的定义（对应坐标相等），列出关于 x,y及待求参数的三元一次方程组： 3)求解方程组：先通过不含待求参数的两个方程组解出x,'的值，再将其代入含参的方程，求出参 数 题型巩固练： 42.(25-26高二下福建莆田期末)若向量a=(11,0),万=(0,11)，c=(（1,k,-1)共面，则k=() A.-1 B.0 c.1 D.2 43.(25-26高二下江苏连云港期中)已知点A(1,0,1),B(0,13),C(0,0,1),P(1,x,2)在平面ABC内， 则x值为() 1 A B. 2 C.1 D.1 44.(25-26高三上山东济宁期末)在正方体ABCD-ABCD中，E为A4的中点，AF=2FB, CG=ACC,若D,E,F,G四点共面，则元的值为() A 1 C. B.3 D.3 45.(25-26高二下江苏淮安期中)己知空间四点4(0,0,0)，B(2,11),C(1,0,2),D(5,2,m)构成梯形， 则实数m的值为() A.2 B.1 C.4 D.3 46.(25-26高二下安徽芜湖期末)在空间直角坐标系中，已知4(-1,0,1)，B(0,0,3),C(-1,12),若点 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(山，1,2)在平面ABC内，则z= B组 能力进阶 一、单选题 1.(25-26高二上广东茂名阶段检测)若，j,是两两垂直的单位向量，ā=3i+2j-无，万=i-j+2k,则 5a与3b的数量积等于() A.-1 B.-5 c.-15 D.-30 2.(25-26高二下甘肃兰州期中)已知向量ā=(-11,3)，6=(0,2，-1)，则(a+2b)a=() A.7 B.8 c.9 D.10 3.(25-26高二上江西南昌期未)己知空间四点A1,2,3),B(11,2),C(2,1),D(1,1),则下列选项正确的 是() A.ABII CD B.AC与BD夹角的余弦值为2 C.AC⊥BD D.AB⊥CD 4.(25-26高二上广东深圳期中)设x∈R,向量a=(x1,1),3=(1,-2,1),且a16,则+=() A.2V2 B.2√3 C.4 D.3 5.(25-26高二下江苏盐城期中)已知空间向量PA=(1,5,0),PB=(0,2,3),PC=(k,13),若点C在平面 PAB内，则k=() A 1 B. 5 C.1 D.0 6.(2526商二上旷东中山阶段检测)已知孤-久3,2)，C在5的权影向量为孤，且C=5, 则os(AB,AC)=() A号 8.36 5 c.3 7.(25-26高二上江苏南通阶段检测)正方体ABCD-ABCD的棱长为4，点M为CC的中点，点P为底 面AB,CD上的动点，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为() 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V2元 B.22 C.25 D.2v3x 8.(25-26高一下浙江宁波期末)在空间直角坐标系0-z中，4(2,00)，B(0,2,2),点P满足 PA·PB=1,则点P到x轴距离的最大值为() A.2+V5 B.4 C.3+V2 D.2+V2 二、多选题 9.(22-23高二上广西防城港期末)已知空间向量=(1,2,1)，6=(3，-2,1)，c=（44,-),则() A.园=6 B.向量d,b,c是共面向量 C.a⊥b D.(a+b)e=10 10.(2526高=上渐江杭州期中)已知空间向量-(20-号引e=0Q)则下列说法不正确的是() A,iL⊥e 8.n40 C。与日夹角余法位为得 D.3-3+l 11.(25-26高二下·浙江开学考试)在空间直角坐标系中，己知点A(11,0),B(1,0,2),C(2,-1,5),D(1,-2,4) 则下列结论正确的是() A.AB=(0,-1,2) B.A,B,C三点共线 c.BC=而 D.AD⊥BC 三、填空题 12.(25-26高二上河北邢台阶段检测)己知A,B,C三点的坐标分别是1，-1,2)，(2,0，-1)，(0,2,3)， 点P=)(B-AC),则点P的坐标是 13.(25-26高二上北京期中)已知AB=(2,-3,0),AC=1,0,1D,4D=(0,2,刀，若4，B,C,D四点共面， 则九= 14.(25-26高二下·贵州毕节期末)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都 是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P,Q分别在正方形对角线BD和AE上移动，且 BP=2A0=2(0<1<V2),则P0的最小值为一 11/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 15.(25-26高二上浙江杭州期中)己知向量石=(-1,0,1)，b=(1,-2,0). (1)求a+b1: (2)求ā与(a-b)的夹角： (3)若2a+b与a-tb垂直，求实数t的值. 16.(25-26高二上重庆期中)已知空间三点A1,2,3),B(2,2,3),C1+V5,2,4) (1)求向量AB与AC的夹角： (2)若m=AB-tAC,元=AB+1AC,求m与i夹角为锐角时，实数t的取值范围， 17.(25-26高二上安徽阜阳期中)如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-4B,CD的棱长为1，E, 是线段4B上靠近点A的四等分点，在棱CD上，且DF=3FC. F CI A B D (1)求向量BE,D5的坐标： (2)求BE,在DF上的投影向量的坐标 18如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD,中，点P是侧面ADD4上的一个动点（包含边界）· 12/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A P D.- B (1)若BP.CB=0,求C的最小值： (2)若BP.BC=1,求BC与BP夹角的最大值. 19.(25-26高二上·海南儋州阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD‖BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点. P B (1)求证：PB⊥DM; (2)求DM的长： (3)求cosAC,PD C组 思维拔高 1.【数学文化】(25-26高二上·河南新乡·阶段检测)《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”.如图，已知在堑堵ABC-ABC中，AB1AC,AB=4,AC=A4=6,BE=EA, CF=2FA,则AE.BF=() 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 4 A.-4 B.4 C.-3 D.月 2.【新定义问题】(25-26高一下四川阶段检测)对于三维向量ā=(m,n,9）,6=(s,4r）,定义 ax=(r-g,gs-m,mt-ns),a=(31,2),i=L2,6),则(a拓b=() A.0 B.1 C.2 D.以上选项均不正确 3.【数学抽象】(2026江西南昌·三模)注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦” 于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量9（表示我在 寻找什么？)、键向量k(表示我有什么可提供？)和值向量⑦（表示我实际提供的内容是什么）在计算 0= 注意力时，首先用与各个 =1,2,…,n 、计算相似度 ,然后求权重 =q.k ∑s记 a=(@,o,,,0,）,则注意力输出向量为(a4,d,a,…,yn)现有 G=(1,2,3),K=(0,1,1),4=(12,6,8):五=(（1,01)，=(12,3,4)k=(11,0),4=(12,6,4),则注意力输出向量为 （) A.(8,7,6 B.(10,7,6) c.(9,7,8) D.(8,9,10) 4.【跨学科】一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和 即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示.一般而言，冈越大，分子极性 越大.现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为(，3,2)和(-1,2,4).分子B的三个化学键极性向量 可分别表示为(0,2,2)，（-2,2，-)和(2,2,1).分子C的两个化学键极性向量可分别表示为(-3,33)和 （-1,4,-4).则下列说法错误的是(） A.分子A的偶极矩模长最小 B.分子C的极性最大 C.A,C分子的偶极矩大小之差小于2.6D.B,C分子的偶极矩大小之差大于1.6 5.【开放题】(24-25高二上山东菏泽阶段检测)己知点A(-11,0),B(13,2),与向量B不共线的向量 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=(c,,z)在B上的投影向量为(1，)，请你给出ā的一个坐标为 6.【开放题】(23-24高二上北京期中)在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介， 进行无线通信，这种通信方式称为多址通信，多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这 些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量 ā=(x,x2,,xn),b=(,2,,yn)满足xy+x2+.+xyn=0.已知某通信方式中用户的信号是4维非平 行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为(0,0,0，)，(0,0,10) 5-5,0.0 2，-2 写出一个满足条件的第四个用户的信号向量」 7.【动点轨迹问题】(25-26高二上广东阶段检测)已知在空间直角坐标系0-z中， A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),动点P满足0P=2a0A+b0B+c0C,其中a,b,c∈[0,1]，且a+b+c=1,则 点P轨迹的面积为一· 8.【动点轨迹问题】(25-26高二上江苏南通阶段检测)在棱长为4的正方体ABCD-ABCD,中，点M 为BC的中点，点P为正方体表面上的一动点，且满足PD=PM,则P的轨迹的长度为 9.【直观想象】(25-26高二下上海期末)已知g,6,是空间单位向量，日6=2，若空间向量6满足 一3 g=2,五-g-2,且对于任意x,yeR,6-(g+g小2≥1且等号能成立，则 10.【新定义问题】(25-26高二上河南驻马店阶段检测)己知a=(4,4,4),五=(，b,b),定义 d[a,b]=la-b+la-b+a-b.若直四棱柱ABCD-ABCD,的底面为矩形，AA=2AB=4,BC=3, M为侧面CDD,C(包含边界)内一动点，且BM=V1O,则dLBM,AB的最大值为 11.【探究性问题】(25-26高二下·上海期中)如图，已知空间向量AB、AD、A4的模分别为2、2、 3,且两两之间的夹角都为60°.我们引入空间斜坐标系：以A为原点，以4B、AD、A4的方向分别为x、 y、z轴的正方向，、j、分别为斜坐标系下x、y、z轴正方向上的单位向量，若向量 n=xi+疗+zk,则n与有序实数组[x,少]一一对应，称向量的斜坐标为[x,y,],记作i=[x,少，]. 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D A B B (1)求向量AC的斜坐标： 2)设a=[x,y,,6=l1,,求a6及： (3)在线段BD上是否存在一点p,使得直线4P与平面A8CD所成角的大小为石？若存在，请求出P的斜 坐标：若不存在，请说明理由 12.【数学运算】(25-26高二上·上海松江·期中)在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成 直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”·现有一种空间斜 坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”，我们类比空间直角坐 标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i,j,，无分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x 轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量i=xi++z水，则与有序实数组(x,y,)相对应，称向量元 的斜60°坐标为x,少2，记作i=[x,y,z]」 D A B B (1)若a=[,2,3],万=[-11,2]，求a+6的斜60°坐标： (2)在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,A4=3,∠BAD=∠BA4=∠DA4=60,如图，以 {AB,AD,AA}为基底建立“空间斜60坐标系”· ①若BE=EB1,求向量ED的斜60°坐标： ②若AM=[2,0],且AM1AC,求AM 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.(2024上海高考真题)定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点集，任取P,B,乃∈Q,存在不全 为0的实数，2，，使得0P+,0P+,0P=0.已知1,0,0)∈2，则(0,0，)E2的充分条件是() A.(0,0,0)∈2 B.（-1,0,0)∈2 c.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 2.(2010广东高考真题)若向量ā=(1,1，x,万=(1,2,1)，c=(1,1,1)满足条件(c-a2--2, 则x= 3.(2008海南高考真题)已知向量a=(0,-1,),6=(41,0)2a+6=V29,且1>0，则元= 4.(2008江苏高考真题)记动点P是棱长为1的正方体ABCD-4BCD的对角线BD,上一点，记D,B 当∠APC为钝角时，求入的取值范围. 5.(2000上海高考真题)如图，直三棱柱ABC-ABC,底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°， A4=2,MN分别是AA、AB的中点. C B M B - (1)求的BM长： 2)求cos(BA,CB)的值： (3)求证：AB⊥CN 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18/18