26.4(第3课时)抛物线形问题与二次函数（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在抛物线形问题中的应用，通过拱桥、足球射门等情境引入，衔接二次函数顶点式等知识，引导学生建立坐标系将实际问题转化为数学模型，搭建从实际到数学的学习支架。 其亮点在于以露营帐篷、清明上河园虹桥等生活实例培养数学眼光，通过坐标系建立与方程求解发展数学思维，用函数模型表达问题强化数学语言。采用典例精析与合作探究，总结“实际-模型-求解”流程，助学生形成解决问题能力，教师可直接用案例提升教学效率。

人教版(新教材) 九年级上册 26.4(第3课时) 抛物线形问题与二次函数 第二十六章 二次函数 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4米时，水面宽是10米，突降暴雨后水面上升1米，此时水面宽为多少？ 二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何建立适当的平面直角坐标系？ O x y O x y O x y 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2. 由抛物线经过点(5，−4),可得−4=a×5². 解得a= 因此，这条抛物线对应的二次函数为y＝x2. 当水面上升1m时,水面的纵坐标为−3. 因此，3＝x2，解得x=±， 所以，暴雨后水面上升1米，此时水面宽为米. 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 二次函数的三种形式 一般式：y = ax² + bx +c (a≠0) 1 顶点式：y = a(x−h)² + k (a≠0) 2 交点式：y = a(x−x1)(x−x2) (a≠0) 3 顶点在x轴上：y = a(x−h)² (a≠0) 顶点在y轴上：y = ax² + k (a≠0) 顶点为原点：y = ax² (a≠0) 已知抛物线上的任意三点 已知抛物线与x轴的交点 已知抛物线的顶点 o x y o x y 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 二次函数的形式 o x y o x y o x y o x y 顶点式 交点式 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6:5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．求这条抛物线的表达式． 解：由题意可得：点B的横坐标为 ， 设这条抛物线的表达式为 ， 将 ， 代入解析式得 ， 解得 ，∴ ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面2 m，水平地面上的点O，B之间的距离为3 m．(1)求该抛物线的函数表达式； (1)解：由题意， ， ， 设该抛物线的函数表达式为 ． 将点A，B代入，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的函数表达式为 ； 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1.28 m，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (2)解：由(1)知，抛物线的函数表达式为 ， 当 时，得 ， 解得 ， ， ∴ ， 活动区域在水平方向上的最大宽度为1.8 m． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面CPD可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度AB=24米，竖直支撑AC=BD=1米，最高点P到AB的距离为5米； 素材3：两灯笼ME，NF之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线(直线OP)为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意可知，点D(12,1)，P(0,5)． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为 ， 将点D(12,1)代入得， ， 解得 ， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为 ； (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若 米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． (2)解：由题意知 ， ，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当 时， ， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为3.5米． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘OPA两翼端点的水平距离OA=160 m，沙丘弧顶最高点P到OA的距离为64 m，抛物线的对称轴垂直于OA，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨(M、N在抛物线上，点M在点N的左侧). (1)求抛物线状沙丘OPA的函数表达式； (1)解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为 ， 故设抛物线的函数表达式为 ． 将点 代入，得 ，解得 ， ∴抛物线状沙丘的函数表达式为 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 轴于点E ， 轴于点F，若 ，求M、N两点之间的距离． (2)解：令 ，得 ， 解得 ， ， ∴ ， ∴M、N两点之间的距离为110 m． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门 (1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的解析式为： ， ∵经过点 ， ，解得： ， 抛物线的解析式为 ， 当 时， ，∴不能射进球门； （忽略其他因素）； 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ (2)解：设向后方移动n m ，则移动后的抛物线的解析式为： ， ∵经过点 ， ，即 ， 或 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴向后移动1m才能让足球经过点O正上方2.25m处． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x轴，1 dm为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线 的一部分，点P从点M(6,n)处出手，矩形ABCD为壶, ， ， .如图 ， ，若点M为抛物线的顶点，且抛物线经过点N(16,9) ． (1)求抛物线的解析式； 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)求抛物线的解析式； (1)解： 由题意，设抛物线的解析式为 ， ∵过点 代入得： ， ∴ ， 抛物线解析式为 ； 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：抛物线经过点 时， ，∴ ， 抛物线经过点 时， ， ， 当 时，P落在BC上． (2)竖直提高点P的出手位置（点M），使点P落在BC上（不含边界），求n的取值范围． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1）,其截面（如图2）由矩形ABCD和抛物线的一部分DMC构成（点M为最高点）, A,B在水平地面上，曲线ADMCB为大棚外沿，CD为大棚的加固钢架．以AB所在的直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系．已知AB=20 m，AD=2 m大棚最高点M到水平地面的距离为8 m． (1)求曲线DMC所在抛物线的表达式． (1)解：由题意可知， ． 设曲线DMC所在抛物线的表达式为 ， 代入，得 ，解得 ， ∴曲线DMC所在抛物线的表达式为 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架EF,EH,GF，其中点E,F在曲线上DMC（点F在点E右侧且不与点C重合），点H,G在AB上，且四边形EFGH为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米． (2)解：设点F的坐标为 的长度之和为w m，可得 ， 则 ． ，∴当 时，取最大值 ， 答：三条钢架的长度之和最多是 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面5 m且与地面平行的一条直线上，每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过3 m，最外侧的2个补光灯安装在曲线DMC上．求至少需要安装几个补光灯（参考数据： ）． (3)解：当 时， ，解得 ， ∴最外侧的2个补光灯之间的距离为 ，约为 ． ∵每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过 ， 如果中间安装3个补光灯，检验： ，不符合要求； 如果中间安装4个补光灯，检验； ，符合要求； 如果中间安装5个补光灯，检验： ，符合要求． 综上可知，至少要安装6个补光灯． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 抛物线形问题与二次函数 回归 建立恰当的直角坐标系 实际问题 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 数学模型 转化 实物中的抛物线形问题 二次函数的图象和性质 关键 拱桥问题 喷泉问题 球类轨迹问题 ...... 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点 处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为20米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 解：根据题意得 ， 把代入解析式，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：h）之间的关系是 ．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动1 s时的高度小于运动3.5 s时的高度．其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 解：①：小球落地时高度 ，令 ，得 ，解得 或 ， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要4s，①正确． ②： ， , ∴h的最大值为 ,②错． ③：当 时， ，当 时， ， ，因此小球运动1 s时的高度大于运动3.5 s时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是1，故选B． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度 y m与到O点的水平距离x m近似满足函数关系 ．据调查，龙舟最高处距离水面2 m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3 m．有下列结论： ①水面宽度 ; ②拱桥的最大高度是9 m； ③若每条龙舟赛道宽度为9 m，最多可设计龙舟赛道4条． 其中，正确结论的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：∵竖直高度 y m与到O点的水平距离x m近似满足函数关系 ， ∴当 时 , ,解得： ， ,∴水面宽度 ,故①正确； ∵ ，∴拱桥的最大高度是9 m，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面2 m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3 m，∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少5 m,当 时, , 解得： ， ，∴水面的安全距离为 ， ∵每条龙舟赛道宽度为9 m，∴可设计龙舟赛道数为 (个)， ∴最多可设计龙舟赛道4条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有3个． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=−0.5. ∴y=−0.5x2+0.5. 令y＝0，则−0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=−0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=−0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160m. 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB=6 m，现要在距离底部2 m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管AB的长度为3 m，则拱架最高点M距底部AB的高度为_______． 解：由题意得， ， ， 设抛物线解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为 ， 当 时， ，∴ ，∴ ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线 表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，点D,G在抛物线上，若DE:EF=3:2，则脚手架DE的高度为_________米． 解：设 ， ，则 ，∴D点坐标为 ， 将其代入 ，得 ， 解得 或 （舍）， ， 故答案为：6． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度AB为12米．若以水面AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (1)解：根据AB=12得OA=OB=6，桥洞最高处点C 与桥面PQ的距离为1米，水面距离桥面4.6m，得 顶点的纵坐标为 ，故 、 、 ， 设抛物线为 y＝ax2＋3.6, , 解得 ， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为 ； 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH，横幅上边沿EF与桥面PQ重合，G,H恰好落在拱孔上，求横幅的长． (2)解： ∴当 时， ， 解得 ， ∴横幅长为： 米. 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房BOCD、AEFG及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形BEPQ）构成，点O与点A都在抛物线L上，且O,A两点关于抛物线L的对称轴对称．已知OA=24m，OB=AE=4m，抛物线L的最高点到地面OA的距离为8m．以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，点B,E在x轴上． (1)求抛物线L的函数表达式； (1)解：由题意可得抛物线的顶点坐标为(12,8)，点O的坐标为(0,0)，设抛物线的函数表达式为 ， 将点(0,0)代入，得 ，解得 ， 抛物线的函数表达式为 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)已知电动推拉门的高度BQ=，求点Q到抛物线L的竖直距离． (2)解： ， ∴点B的坐标为(4,0)． 当 时， ， 答：点到抛物线的竖直距离为 ． 26.4−3 抛物线形问题与二次函数 $