26.4(第2课时)利润问题与二次函数（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在利润问题中的应用，通过商品调价等情境引入，衔接二次函数性质，以利润公式梳理和“审设列解验答”步骤分解为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合“哭哭马”销售、吉祥物玩具等生活实例，引导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理函数模型，用数学语言规范表达。采用分层典例与练习，培养模型意识与应用能力，教师可借助结构化内容提升教学效率，学生能深化知识理解与实际应用能力。

人教版(新教材) 九年级上册 26.4(第2课时) 利润问题与二次函数 第二十六章 二次函数 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式. 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300–10x)件， 销售额为(60+x)(300 –10x)元.买进商品需付40(300 –10x)元. 因此，所得利润y=(60+x)(300 –10x) –40(300 –10x) 即y= –10x²+100x+6000. 其中，0≤x≤30，x为整数. 根据上面的函数，填空： 当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元， 即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 5 5 65 6250 函数的对称轴： x = – = – 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解. 设每件涨价m元时，则每星期售出商品的利润w=(60–40–m)(300 +20m) 即w= –20m²+100m+6000. 其中，0≤m≤20，m为整数. ∵函数的对称轴:m = – = – , ∴当m=2.5时，w最大值=6125，也就是说，在降价的情况下，最大利润是6125元. ∵6125<6250,∴定价65元时，利润最大，最大利润是6250元. 26.4-2 利润问题与二次函数 利润问题中的常见公式 利润 收入 = 成本 − 总收入 销售单价 销量 = × 总成本 进货单价 × 销量 = 总利润 销售单价 销量 = × − 进货单价 × 销量 单件利润 销量 × = 销售单价 进货单价 − ( ) 销量 × = 26.4-2 利润问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题的步骤 审 找出问题中的变量和常量，并分析它们之间的关系 1 设 设适当的未知数 2 列 建立二次函数模型，写出函数解析式以及自变量的取值范围 3 解 根据题目条件，借助函数解析式、图象和性质求解 4 验 检验结果的合理性，必要时进行合理取舍 5 答 确定实际问题的答案 6 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间的函数关系式； (1)解：由题意得： ， 即： ． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ (2)解： ， ，开口向下，∴当 时，W随x的增大而增大， ， ∴当 时，W最大， 此时 (元)， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ， 由题意 ，解得 ．∴y与x的函数关系式为 ． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵ ，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当 时，W最大，W最大=900(元)． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得： ， 解得 ， (不符合题意，舍去)． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件， 则 ， ∴当 时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大， 最大利润为3310元． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2件A款冰箱贴和3件B款冰箱贴共花费116元，小巴买1件A款冰箱贴和4件B款冰箱贴共花费113元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (1)解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为x元，y元， 根据题意得： ，解得 ． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是25元、22元． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：销售单价下降a元，∴销售量为 件， 根据题意得： ， ， ，∴开口向下，∴当 时，W有最大值为4050， 答：当B款冰箱贴销售单价定为22–3=19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050元． (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按(1)中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴300件．销售单价每下降1元，每天可多售出50件．已知B款冰箱贴成本为10元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润W(元)与销售单价下降a(元)(a>0)之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为 件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系． (1)分别求出当 和 时，y1与x之间的函数表达式； (1)解：当 时，设y1与x之间的函数表达式是 ， 点(10，160),(70，130)在线段上，代入可得 ，解得 ， ∴当 时，y1与x之间的函数表达式是 ； 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为 件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系． (1)分别求出当 和 时，y1与x之间的函数表达式； (1)解：当 时，设y1与x之间的函数表达式是 ， 点(90，110),(70，130)在线段上，代入可得 ，解得 ， ∴当 时，y1与x之间的函数表达式是 ； 综上所述， ； 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：设总的利润为w元， 当 时， ， 当 时，w取得最大值，此时 ； 当 时， ， 当 时，w取得最大值，此时 ； ， ∴当线下的销售量为65件时总利润最大，最大利润是 元． (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 确定最大利润 利润问题 与 二次函数 涨价：要保证销量≥0 降价：要保证单件利润≥0 总利润=单件利润×总销量 总利润=总售价-总成本 建立函数关系 确定自变量的 取值范围 利用配方法或公式法求最大值 结合函数的图象和性质进行分析 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为(　　) A． B． C． D． 解：依题意，每件利润为 元，∵销售量增加 件， ∴总销售量为件 ，∴ ，故选C． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一塑料玩具生产公司将每件成本为70元的某种玩具按每件100元批发出售，平均一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低1元，其日销量可平均增加10件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天180件．若想获得最大利润，则批发价应降低(    ) A．15元 B．10元 C．8元 D．5元 解：设降低x元，则批发价为 元，每件利润为 元，销量为 ，根据题意可知 ，即 ，设利润为P， 可得 ， ∵开口向下，对称轴 ，∴当 时，P最大． 综上，当 时利润最大，故批发价应降低8元．故选C. 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 解：设利润为P，则 ． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值． 顶点横坐标 ． 故答案为：40． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y(元)与每件上涨的价格x(元)的函数关系如图1，日销售数量z(件)与每件上涨的价格x(元)的函数关系如图2．则日销售的最大利润为________元． 解：不难得出， y＝x＋20,z＝−2x＋100, 设日销售利润为w,则 即 ∵ ， ∴当 时有最大利润，且最大利润为2450元. 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 销售单价x(元/盒) 40 42 44 45 50 日均销量y(盒) 200 180 160 150 100 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 礼盒的销售单价x(元/盒)与日均销量y(盒)满足某种函数关系，调研数据如下： 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y(盒)是销售单价x(元/盒)的________函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，y与x之间的函数关系式为________． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 销售单价x(元/盒) 40 42 44 45 50 日均销量y(盒) 200 180 160 150 100 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y(盒)是销售单价x(元/盒)的________函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，y与x之间的函数关系式为________． (1)解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y(盒)是销售单价x(元/盒)的一次函数；设一次函数关系式为 ． 将 ， 代入，得 ，解得 ， 所以，y与x之间的函数关系式为 ． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (2)解：根据题意得 ， 即 ． w关于x的二次函数开口向下，对称轴为 ． 所以，当 时，w可以取得最大值，最大值为2250． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (1)解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得： ， ， ∵为增大销量，减少库存，∴每件童装应降价20元， 则售价为 (元)； 26.4-2 利润问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ (2)解：设总利润为W元，由题意，得 化简得W ， ∴ ， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当 时， ， 元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 26.4-2 利润问题与二次函数 $