26.4(第1课时)实际问题与二次函数（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”，通过跳水、烟花等生活情境导入，连接二次函数性质，搭建从数学模型到实际应用的学习支架，帮助学生掌握建立函数关系、求解最值的方法。 其亮点是以生活实例为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过规范解题步骤（设、列、找、求、检、答）训练数学思维中的推理与运算能力，用函数模型解决问题体现数学语言的应用意识。如矩形菜园问题引导学生抽象函数关系，考虑自变量范围，提升学生应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 26.4(第1课时) 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在一次跳水运动中：某运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是 h＝−4.9t2＋2.8t＋11，运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题,转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：对于二次函数 h＝−4.9t2＋2.8t＋11， 当时， h有最大值 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 函数 h＝−4.9t2＋2.8t＋11的图象直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 26.4−1 实际问题与二次函数 实际问题 阅读三步法 粗读 阅读 精读 建立函数模型解决数学问题 实际问题 数学模型 实际问题的解 求解数学模型 抽象概括 回归说明 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意该抛物线的顶点坐标为 和点 ， 设其顶点式为 ，把点A代入后得， ，解得 ， 该抛物线的函数表达式为 ； 春节期间小明买了一款合格的烟花“窜天猴”，为了安全燃放，他把烟花放置在一根 固定在地面且与地面垂直（垂足为O）的竹竿上点燃，燃放点A处的高度为 ，烟 花“窜天猴”点燃后的飞行轨迹为抛物线的一部分，到达最高点时，水平距离为 ，竖直高度为 ．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求“窜天猴”点燃后的飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若“窜天猴”的落地点为C，求OC的长． (2)解：令 得 ， 化简得 ，即 ， 或 ， 解得 或 ， ∵点C的横坐标为正数， 点C的坐标为 ， ． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了15m时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为(15,0)，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为(20,3)，求小强下滑前的竖直高度（OA即的长）． 解：设抛物线的解析式为： ，把 (20,3)代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： ， 把 代入得： ,∴ ． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 水平距离x（单位：m） 20 30 40 50 60 竖直高度y（单位：m） 48 50 48 42 32 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的x与y的几组数据． (1)建立适当的平面直角坐标系， 根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为 ， 设二次函数的解析式为 ，将点 代入，解得 ， ∴二次函数的解析式为 ， 将 代入，得 ， 解得 或 （负值，舍去）， ∴运动员水平位置为80m时，运动员才能落地. (2)运动员水平位置为多少时，运动员才能落地？ 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙长12m），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为60m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(4≤x<10)，当S＝60时， 即 −2x2+20x＝60， 整理得，x2−10x+30=0， 判别式Δ =b2−4ac=(−10)2−4×1×30=−20<0 , 因此，该方程无实数根，即这个矩形菜园的面积不能为60m2. 一元二次方程无实数解， 即该实际问题无解. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为48m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(0<x<10)，当S＝48时， 即 −2x2+20x＝48， 整理得，x2−10x+24=0，解得x1=4，x2=6， 因此，当垂直于墙的边长为4 m或6 m时，这个矩形菜园的面积为48m2. 在实际问题中，自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长为正数，即x>0,且20−2x>0,于是，自变量的取值范围是0<x<10. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙长12m），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为42m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(4≤x<10)，当S＝42时， 即 −2x2+20x＝42， 整理得，x2−10x+21=0，解得x1=3(舍)，x2=7， 因此，当垂直于墙的边长为7 m时，这个矩形菜园的面积为42m2. 此时，自变量的取值应满足： x>0, 且0<20−2x≤12, 解得4≤ x<10. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)， 即 S＝−2x2+20x(0<x<10)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2. 26.4−1 实际问题与二次函数 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.设：自变量（一般设某条边为x，）与因变量（设“面积”为y）； 2.列：出y与x的函数关系式（一般为二次函数）； 3.找：出自变量的取值范围； 4.求：利用配方法或顶点公式，求出最值；若自变量的取值范围不包括顶点横坐标，则须利用增减性求出最值； 5.检：查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内； 6.作答：. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用27m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(27−3x) m,则矩形菜园的面积S＝x(27−3x)， 即 S＝−3x2+27x(0<x<9)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为4.5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为60.75m2. 注意菜园中间还有篱笆，在计算时应该考虑进去，即平行于墙的边长为(27−3x) m. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(22−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(22−2x)， 即 S＝−2x2+22x(0<x<11)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5.5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为60.5m2. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园开一个宽为2米的门，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 菜园 墙 门 菜园开一个宽为2米的门，则平行于墙的边长为(22−2x) m.此时，自变量的取值应满足：x>0,且22−2x>0, 解得0 <x<11. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设平行于墙的边长为x m， 则垂直于墙的边长为 m, 则矩形菜园的面积S＝x x2+22x(0<x≤40)， 当S＝315时，x2+22x ＝315，解得x1=45(舍)，x2=21， 因此，当平行于墙的边长为21 m时，菜园的面积为315 m2. 如图，利用一面墙（墙的长度为40m），用60m长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园两侧各开一个宽为3米的门，如何围才能使菜园的面积为315 m2？ 菜园 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意 ， ， .， ， 由 ， ，解得 ， ∴x的取值范围为 . ∴S关于x的函数表达式为 （ ）； 如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB=x米．设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式； 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)山羊的活动范围的面积S能否达到35平方米？ (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． (3)解：二次函数 中， ， 将 ， 代入 得 ，此时 ， ∴S的最大值为59.5平方米． (2)解：令 ，代入得 ， 整理得： ，解得 或 ，均满足 ， ∴面积能达到35平方米； 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题 实际问题 与 二次函数 实际问题 模型 数学模型 转化 回归 几何面积 自由落体 关键 注意 建立函数关系 最值有时不在顶点处 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长18 m为的篱笆围成，墙长DE=8 m,DF=12 m，则花园最大面积为（    ） A．25 m2 B．80 m2 C．81 m2 D．96 m2 解：设 ，则 ， ∵墙长DE=8 m,DF=12 m， ， ， 解得 ， 花园的面积 ， ∴当 时，花园面积最大，最大面积为80 m2． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加，y m要想使修改后的花园面积达到最大，则x=__________． 解：由题意得修改后的花园面积， ∵ ， ∴当 时，修改后的花园面积达到最大． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式： ，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度 （ ），t是抛出后的时间．如果一物体以 的初速度从地面竖直向上抛出，经过_________秒钟后它在离地面高20 m的地方． 解：由题意得： ． 整理得 ，解得 ． ∴1秒或4秒后，物体处在离抛出点高20 m的地方． 故答案为：1或4． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为x m(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为S m2． (1)求出S与x之间的函数关系式；(2)求健身活动区域的面积S的最大值． 解：(1)由题意解得：； 解：(2)， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S的最大值为． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元， 设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为(6−x), ∴S=x(6−x)=−x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=−x2+6x=−(x−3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元） 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8−x)，面积为y. 则y与x的函数关系式为 y=x(8−x)(0＜x＜8) 即y=−x2+4x(0＜x＜8) ∵a=−＜0，∴ 当x=−=4时，y最大=8. 答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动. (1)设运动开始后第t s时，五边形APQCD的面积为S cm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时S最小，求出S最小值. 解:(1)∵t s后，PB=6−t，BQ=2t, ∴S=S矩形ABCD−S△PBQ=6×12−×(6−t)×2t 即S=t2−6t+72=(t−3)2+63(0<t<6); (2)∵a=1>0∴当t=3时，S最小=63 cm2. 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (1)解：根据已知条件，与墙平行的边长为x(m)， 则垂直于墙的边长为： ， ∴ ． (2)解：∵ ， ∴当x=30时，面积y取最大值为450 m2． 如图，用60 m长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为y(m2)，且与墙平行的边长为x(m)． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积. A B C D 解： (1)∵ AB为x米,篱笆长为24米∴ 花圃宽为（24−4x）米 (3)由题意，0<24−4x ≤8,解得4≤x<6， (2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米） ∴ S＝x（24−4x）＝−4x2＋24 x （0<x<6） ∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米. x 24−4x 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为y m2． (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围： (1)解：由图形和题意可知，竖直方向的小矩形的长为两个水平方向的矩形的宽的2倍，则两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍， ∴大矩形的长为3x m，则大矩形的宽为 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为y m2． (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围： ∴ ， ∵ ， ∴ ； 26.4−1 实际问题与二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ (2)∵ ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴当 时，y值最大为 ， 答：当 时，矩形的面积最大为 ． 26.4−1 实际问题与二次函数 $