2.1 等式与不等式的性质（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦等式与不等式的性质，系统梳理等式的传递性、加减乘性质及推论，恒等式与方程解集的规范书写，一元二次方程判别式、韦达定理，以及不等式九条核心性质，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料突出数学思维与应用意识，通过“即学即练”“变式巩固”强化推理能力，如韦达定理使用前先验判别式，用待定系数法求范围避免错误。课中助教师引导探究，课后供学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第2章 等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 课标要点 1.熟练背诵等式全部基础性质与推论，能区分普通等式、恒等式，规范写出方程解集。 2.掌握一元二次方程判别式用法，会结合韦达定理完成两根相关代数式计算。 3.熟记九条不等式基本性质，能利用作差法、等量代换比较代数式大小。 学习重难点 重点： 1.等式六条变形性质，分清恒等式、方程定义，会求解并规范书写方程解集。 2.一元二次方程判别式分类讨论解集，熟练运用根与系数的关系整体代换求值。 3.九条不等式核心性质，掌握作差比较大小、利用性质求解变量取值范围。 难点： 1.不等式乘除负数忘记变号，同向加减乘除性质适用条件易混淆、乱用。 2.韦达定理使用易忽略前提，含参二次方程忘记讨论二次项系数。 3.已知多变量范围求代数式取值，易直接相减相除导致区间范围放大出错。 知识点01等式的性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，则 推论： 推论1：若，则 推论2：若且，则 推论3：若，，则 特别提醒 等式乘除性质忽略除数不为0的限制: 使用推论时，很多同学不注明。若，等式两边不能同时除以，会出现无意义运算，解方程时极易产生增根或漏根。同时等式两边同乘含未知数代数式时，事后必须检验。 知识点02恒等式 含有字母的等式，字母取全体实数等式均成立，该等式为恒等式，等式左右两边恒等。 即学即练 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 2．若关于的方程的解集为，则______． 知识点03方程的解集 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程的解（根）：能让方程左右两边相等的未知数取值。 3.解集：把方程全部解作为元素构成的集合，称作方程的解集。 知识点04一元二次方程的解集 设一元二次方程，判别式 1.，方程有两个不相等实数根，解集含两个元素； 2.，方程有两个相等实数根，解集只有一个元素； 3.，方程无实数根，解集为空集。 知识点05一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若是两根，方程可写成，展开对比系数得： ， 特别提醒 （1）判定判别式时忽略二次项系数 题目给出形如的式子，直接用判别式讨论根的情况，未先判断。若，方程退化为一元一次方程，不能套用一元二次方程解集结论。 （2）韦达定理使用前提遗忘 直接套用两根和、两根积公式计算参数，不检验判别式。当时方程无实根，不存在实数根满足韦达定理，题目求实数根相关问题时会得出错误参数。 即学即练 3．已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 知识点06不等式的基本性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，，则；若，，则 4.移项法则：若，则 5.同向可加性： 6.正数同向可乘： 7.乘方性质： 8.开方性质： 9.倒数性质： 即学即练 4．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 5．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型01 等式的性质与方程的解集 典｜例｜精｜析 【例1】已知等式恒成立，则常数__________. 【例2】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】已知等式恒成立，则______． 【变式1-3】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 题型02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解题贴士 先判定二次项系数是否为0，系数为0时方程降为一元一次方程，不能使用判别式与韦达定理；系数不为0时，计算判别式，根据三种情况写出对应解集。 使用根与系数关系（韦达定理）前，必须先验证保证存在实数根；已知两根代数式求值，优先将式子化为、的组合形式，整体代入计算。 已知方程一根求参数与另一根，两种思路：一是把已知根代入方程解参数，再解方程求另一根；二是直接用韦达定理列方程组快速求解。 典｜例｜精｜析 【例3】已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【变式2-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【变式2-3】设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 题型03 列不等式（组） 典｜例｜精｜析 【例5】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【例6】某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 【变式3-2】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 题型04 利用作差法比较大小 解题贴士 作差法通用步骤：设两个代数式为，计算差值，再对差值因式分解、配方、通分变形，把差值转化为容易判断正负的形式。 根据差值符号判断大小关系：则；则；则；含参数的差值需要分类讨论参数取值范围确定正负。 典｜例｜精｜析 【例7】已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【例8】已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【变式4-3】已知，求证:. 题型05 利用不等式的性质判断正误 典｜例｜精｜析 【例9】下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【例10】如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 【变式5-3】若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 题型06 利用等式的性质证明不等式的大小 典｜例｜精｜析 【例11】若，，证明：． 【例12】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，，求证． 【变式6-2】已知，求证：. 【变式6-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 题型07 利用不等式的性质求取值范围 解题贴士 已知多个变量的不等式范围，求代数式范围只能使用同向可加性质，禁止对不等式直接相减、相除，防止放大取值区间造成范围出错。 双变量线性代数式范围求解，采用待定系数法拆分目标式子为已知不等式的线性组合，再结合同向相加求出准确区间。 典｜例｜精｜析 【例13】若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例14】（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知，且，则的最大值是________． 【变式7-2】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【变式7-3】已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 基础通关 一、填空题 1．若方程的解集为，则________． 2．若多项式与互为相反数，则________． 3．已知，则的取值范围为___________． 4．设，，，，则、的大小关系为______． 5．已知方程的两根为、，则______． 6．下列说法正确的是________．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 二、单选题 7．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．命题：，，命题：，则是的（     ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 三、解答题 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 11．已知，，比较m与n的大小关系. 12．已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 素养提升 1．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 2．对任意实数，，给定，则的最小值为________. 3．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 迁移创新 1．已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 2．已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 3．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 4．已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 课标要点 1.熟练背诵等式全部基础性质与推论，能区分普通等式、恒等式，规范写出方程解集。 2.掌握一元二次方程判别式用法，会结合韦达定理完成两根相关代数式计算。 3.熟记九条不等式基本性质，能利用作差法、等量代换比较代数式大小。 学习重难点 重点： 1.等式六条变形性质，分清恒等式、方程定义，会求解并规范书写方程解集。 2.一元二次方程判别式分类讨论解集，熟练运用根与系数的关系整体代换求值。 3.九条不等式核心性质，掌握作差比较大小、利用性质求解变量取值范围。 难点： 1.不等式乘除负数忘记变号，同向加减乘除性质适用条件易混淆、乱用。 2.韦达定理使用易忽略前提，含参二次方程忘记讨论二次项系数。 3.已知多变量范围求代数式取值，易直接相减相除导致区间范围放大出错。 知识点01等式的性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，则 推论： 推论1：若，则 推论2：若且，则 推论3：若，，则 特别提醒 等式乘除性质忽略除数不为0的限制: 使用推论时，很多同学不注明。若，等式两边不能同时除以，会出现无意义运算，解方程时极易产生增根或漏根。同时等式两边同乘含未知数代数式时，事后必须检验。 知识点02恒等式 含有字母的等式，字母取全体实数等式均成立，该等式为恒等式，等式左右两边恒等。 即学即练 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 2．若关于的方程的解集为，则______． 【答案】1 【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得． 故答案为：1． 知识点03方程的解集 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程的解（根）：能让方程左右两边相等的未知数取值。 3.解集：把方程全部解作为元素构成的集合，称作方程的解集。 知识点04一元二次方程的解集 设一元二次方程，判别式 1.，方程有两个不相等实数根，解集含两个元素； 2.，方程有两个相等实数根，解集只有一个元素； 3.，方程无实数根，解集为空集。 知识点05一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若是两根，方程可写成，展开对比系数得： ， 特别提醒 （1）判定判别式时忽略二次项系数 题目给出形如的式子，直接用判别式讨论根的情况，未先判断。若，方程退化为一元一次方程，不能套用一元二次方程解集结论。 （2）韦达定理使用前提遗忘 直接套用两根和、两根积公式计算参数，不检验判别式。当时方程无实根，不存在实数根满足韦达定理，题目求实数根相关问题时会得出错误参数。 即学即练 3．已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 【答案】 【详解】由方程的两根分别为，，得， 所以；. 知识点06不等式的基本性质 1.传递性：若，，则 2.加法性质：若，则 3.乘法性质：若，，则；若，，则 4.移项法则：若，则 5.同向可加性： 6.正数同向可乘： 7.乘方性质： 8.开方性质： 9.倒数性质： 即学即练 4．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 5．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 题型01 等式的性质与方程的解集 典｜例｜精｜析 【例1】已知等式恒成立，则常数__________. 【答案】 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 【例2】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由已知可知， 所以. 故选：A 【变式1-2】已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【变式1-3】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 题型02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解题贴士 先判定二次项系数是否为0，系数为0时方程降为一元一次方程，不能使用判别式与韦达定理；系数不为0时，计算判别式，根据三种情况写出对应解集。 使用根与系数关系（韦达定理）前，必须先验证保证存在实数根；已知两根代数式求值，优先将式子化为、的组合形式，整体代入计算。 已知方程一根求参数与另一根，两种思路：一是把已知根代入方程解参数，再解方程求另一根；二是直接用韦达定理列方程组快速求解。 典｜例｜精｜析 【例3】已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若关于的一元二次方程有一个正根一个负根， 得，则； 反之，若，则，，， 此时方程有一个正根一个负根， 所以是的充要条件. 故选：C 【例4】关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】5 【详解】关于的方程有实数根， 当时，方程有实数根， 当时，需满足，解得，且， 综上，，则实数的最大整数值是5． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 【变式2-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 【变式2-3】设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 题型03 列不等式（组） 典｜例｜精｜析 【例5】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 【例6】某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 【答案】 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 【变式3-2】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 【变式3-3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 题型04 利用作差法比较大小 解题贴士 作差法通用步骤：设两个代数式为，计算差值，再对差值因式分解、配方、通分变形，把差值转化为容易判断正负的形式。 根据差值符号判断大小关系：则；则；则；含参数的差值需要分类讨论参数取值范围确定正负。 典｜例｜精｜析 【例7】已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 【例8】已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】判断充分性（由能否推出）， 因为，，所以， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 因此，由可以推出，充分性成立. 判断必要性（由能否推出）， 因为，所以， 因为， 所以 ，即，即， 则，即由“”可以推出“”，必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 【变式4-2】，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 【变式4-3】已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【详解】略. 题型05 利用不等式的性质判断正误 典｜例｜精｜析 【例9】下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 【例10】如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 【变式5-2】若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 【答案】（2） 【详解】对于（1），取，满足，而，则（1）不一定成立； 对于（2），因，由不等式性质得，（2）一定成立； 对于（3），取，满足，而，（3）不一定成立； 对于（4），取，满足，而，（4）不一定成立， 所以给定不等式一定成立的序号是（2）. 故答案为：（2） 【变式5-3】若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 【答案】②④ 【详解】因，，给出下列不等式： ①，，所以①正确； ②由，所以，因此②不正确； ③，，又，，所以③正确； ④由，，所以④不正确． 其中错误的不等式是②④． 故答案为：②④． 题型06 利用等式的性质证明不等式的大小 典｜例｜精｜析 【例11】若，，证明：． 【答案】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 【详解】略 【例12】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明：因为，所以．又，所以， 则，所以，即． 又，所以． （2）证明：要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证，显然成立，所以． 【详解】（1）略； （2）略. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，，求证． 【答案】因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【详解】略 【变式6-2】已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】， 因为，所以，又，所以， 所以. 【变式6-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 题型07 利用不等式的性质求取值范围 解题贴士 已知多个变量的不等式范围，求代数式范围只能使用同向可加性质，禁止对不等式直接相减、相除，防止放大取值区间造成范围出错。 双变量线性代数式范围求解，采用待定系数法拆分目标式子为已知不等式的线性组合，再结合同向相加求出准确区间。 典｜例｜精｜析 【例13】若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 【例14】（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 【变式7-2】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 【变式7-3】已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 基础通关 一、填空题 1．若方程的解集为，则________． 【答案】 【详解】可化为， 因为方程的解集为，所以方程的两根为，2， 由，解得，检验符合． 2．若多项式与互为相反数，则________． 【答案】1 【详解】由题意，解得. 故答案为：1. 3．已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 4．设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 5．已知方程的两根为、，则______． 【答案】 【详解】由韦达定理，得，， 则. 6．下列说法正确的是________．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 【答案】④ 【详解】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误； ②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误； ③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误； ④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④成立. 故答案为：④ 二、单选题 7．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 8．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 9．命题：，，命题：，则是的（     ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为，所以，又因为，所以，即可以推出，所以充分性成立； 取，满足，但是不满足，即推不出，所以必要性不成立， 故是的充分不必要条件. 三、解答题 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得， ∴的取值范围为； （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，∴方程为，∴． 11．已知，，比较m与n的大小关系. 【答案】 【详解】由，则. 12．已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由，得， 当且仅当时取等号，且满足题设， 所以. （2）由，得；由，得， 因此，所以的取值范围是. 素养提升 1．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 2．对任意实数，，给定，则的最小值为________. 【答案】1 【详解】 . 且当，即时，. 的最小值为1. 3．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 4．（【智】03作业（三）等式性质与不等式性质-【育博苑】2027高考一轮数学人教A）设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】结合定义及可得或即或， 所以； 结合定义及，可得或即或， 所以； 综上，且. 故选：A. 5．若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据题意可知存在，使得， 所以，为方程的根， 所以，解得， 且当时，，符合题意. 故选：D. 6．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，一共有三种命题组合方式， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么. 对于命题①，如果，，那么. 因为，，所以，，可得，所以命题①为真命题. 对于命题②，如果，，那么. 因为，所以，又，所以， 所以，则，所以命题②为真命题. 对于命题③，如果，，那么. 因为，所以，所以，所以命题③为真命题. 所以组成真命题的个数为3. 故选：D. 7．已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)，3，4，5，8． (3)可以取所有不等于的实数． 【详解】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ， 解得：， ； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 迁移创新 1．已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【详解】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 2．已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【详解】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为 ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 3．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 4．已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由已知可得，是关于的方程的两个不等实数根， 则，即 由韦达定理可得 所以． 解得或，均满足． 因此或． （2）由得． 当时，，此时； 当时，中有一个元素或两个元素， 若中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 若中有两个元素时，，即1、3是关于的方程的两个根， 此时需满足，解得，且，没有满足条件的． 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $