专题07 不等式的求解（2）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题07 不等式的求解（2） （分式不等式的求解，含绝对值不等式的求解） 知识梳理 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 1、分式不等式的解法 （1）进行同解变形：； 分式不等式转化为整式不等式来解．； （2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零． 2、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式. 3、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题. 例题解析 一、分式不等式 【例1】解下列分式不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】不等式的解集是（ ） Ａ、　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、 【例3】若关于的不等式；（1）当时，求它的解集；（2）若，求不等式的解集． 【例4】已知关于的不等式的解集是；（1）当时，求集合（2）若，求实数的取值范围． 【例5】解关于x的不等式,其中|a|≠1． 【例6】若关于x的不等式的解集为，关于x的不等式的解集为________． 【巩固训练】 1．解下列分式不等式： (1); (2); (3); (4)． 2．下列不等式中解集相同的一组是（ ）. A、 B、 C、 D、 3．不等式的解集为 （ ） 　　　　　　　 　 　　　　　 4． 解关于x的不等式<0 (a∈R)． 5．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是___________． 6．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是________________． 7．若关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 二、绝对值不等式 【例7】解下列绝对值不等式： （1） （2） （3） （4） 【例8】（1）不等式|x＋1|＋|x－1|≥3的解集是________________； （2）不等式的解集是_________________． 【例9】已知不等式的解集为，则的值是 【例10】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________． 【例11】已知适合不等式|x2－4x+a|+|x－3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式. 【巩固练习】 1．解下列绝对值不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解不等式 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 4．设集合，若，求实数的取值范围． 三、不等式与成立问题综合 【例12】下列各对不等式中同解的是（ ） A．与  B．与 C．与          D．与 【例13】（1）不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （2）不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）不等式的解集非空，求实数的取值范围． 【例14】已知函数f (x)＝，a∈R．若对于任意的x∈N*，f (x)≥4恒成立，则a的取值范围是 ． 【例15】设函数f（x）=的定义域为D，若对任意x属于D，f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【例16】已知集合(其中为正常数). ⑴ 设，求的取值范围； ⑵ 求证：当时不等式对任意恒成立；