第05讲 等式与不等式的性质（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第05讲 等式与不等式的性质（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：等式的性质与方程的解集 知识点02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 知识点03：不等式的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：等式的性质与方程的解集 题型02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 题型03：由已知条件判断所给不等式是否正确 题型04：由不等式的性质比较数(式)大小 题型05：作差法比较代数式的大小 题型06：由不等式的性质证明不等式 题型07：利用不等式求值或取值范围 题型08：解不含参数的一元一次不等式 题型09：解含参数的一元一次不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【例1】利用等式的性质解方程 ，并写出该方程的解集。 【知识点02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 【例2】求解一元二次方程 的解集，并利用韦达定理求两根之和、两根之积。 【知识点03】不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 3.不等式性质（定理） 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 【例3】已知 ，，利用不等式性质比较 与 的大小关系。 【题型01】等式的性质与方程的解集 【典例1-1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【变式1-2】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（25-26高一上·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 【题型02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 【典例2-1】“关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【变式2-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【题型03】由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例3-1】（25-26高一上·上海金山·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知、、，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 【变式3-3】（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【题型04】由不等式的性质比较数(式)大小 【典例4-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则_______（填“>”或“<”） 【变式4-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则下列结论中正确的序号是________ （1） （2）     （3）     （4） 【题型05】作差法比较代数式的大小 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 【变式5-3】（2025高一·上海·专题练习）设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【题型06】由不等式的性质证明不等式 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【变式6-3】已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【题型07】利用不等式求值或取值范围 【典例7-1】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 【变式7-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【变式7-3】已知，，求及的取值范围． 【题型08】解不含参数的一元一次不等式 【典例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则________． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 【变式8-2】解不等式，并用区间表示解集． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求适合不等式的整数解． 【题型09】解含参数的一元一次不等式 【典例9-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【变式9-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设关于的不等式的解集为 . (1)求集合 ； (2)若，，求实数 的取值范围. 知识点01等式的性质与方程的解集 1. 等式四大基本性质（） 对称性： 传递性： 加减不变性： 乘除不变性：； 2. 方程解集核心概念 方程的解集：所有能使方程成立的未知数取值构成的集合。 一元一次方程标准形式： 固定解集： 3. 重难点与易错点 （1）等式变形全程等价，不会改变方程的解集； （2）等式两边同除一个数时，必须保证该数不为0，否则变形无效。 知识点02一元二次方程的解集及根与系数的关系 1. 标准形式与判别式 一元二次方程标准式： 判别式： 2. 判别式与解集对应关系 （1）：两个不相等实数根 ，解集： （2）：两个相等实数根 ，解集： （3）：无实数根，解集： 3. 韦达定理（根与系数的关系） 若方程 两根为 ，则： 4. 重难点与易错点 （1）使用韦达定理的前提：方程为一元二次方程（）且有实数根（）； （2）两根之和公式含负号，是高频易错点； （3）解集为集合形式，书写结果必须加大括号。 知识点03不等式的性质 核心小结 1. 七大核心性质（） 对称性： 传递性： 可加性： 同向可加推论： 可乘性： （正数乘，方向不变） （负数乘，方向反转） 同向正数可乘： 正整数乘方性： 正数开方性： 知识点04核心易错总结 （1）不等式两边同乘、同除负数，必须反转不等号，是本节课最大易错点； （2）异向不等式不可直接相加，负数不等式不可随意乘方、开方； （3）乘方、开方性质仅适用于正数，负数不成立。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）“如果，那么”是________命题.（填“真”或“假”） 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是________. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知满足，则的范围是______. 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 7．（25-26高一上·上海松江·期中）已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 8．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 10．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有__________个. 二、单选题 13． “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）若a，，以下四个条件①；②a，b为正数；③a，b为负数；④，选取其中的几个条件，能推出成立？ 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，其中．若表达式（其中）的取值范围恰好为，求、的值． 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知，比较与的大小，若相等请说明等号成立条件. （2）已知，解关于x的不等式：.（用解集形式表达） 21．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 等式与不等式的性质（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：等式的性质与方程的解集 知识点02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 知识点03：不等式的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：等式的性质与方程的解集 题型02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 题型03：由已知条件判断所给不等式是否正确 题型04：由不等式的性质比较数(式)大小 题型05：作差法比较代数式的大小 题型06：由不等式的性质证明不等式 题型07：利用不等式求值或取值范围 题型08：解不含参数的一元一次不等式 题型09：解含参数的一元一次不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【例1】利用等式的性质解方程 ，并写出该方程的解集。 解：对原方程逐步变形，全程依据等式基本性质： 检验：将 代入原方程 左边：，右边：，左右两边相等，解正确。 方程解集： 【知识点02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 【例2】求解一元二次方程 的解集，并利用韦达定理求两根之和、两根之积。 解：第一步：确定系数，计算判别式 由方程得 方程有两个不相等的实数根。 第二步：求解方程的根 解得： 【知识点03】不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 3.不等式性质（定理） 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 【例3】已知 ，，利用不等式性质比较 与 的大小关系。 解：由 ，根据不等式对称性可得： 已知 ，结合同向正数可乘性质： 展开得： 根据不等式可乘性，两边同乘 （负数），不等号方向改变：. 【题型01】等式的性质与方程的解集 【典例1-1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以 ，可得，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 【变式1-3】（25-26高一上·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 【答案】1 【分析】对方程进行变形，得，根据解集为空集进一步推导关于m的等式即可求解． 【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得． 故答案为：1． 【题型02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 【典例2-1】“关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可. 【详解】若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立； 若，则，即方程有实数根，必要性成立； 所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件. 故选：B 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【答案】C 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】 ， 故方程有两不相等实根 故选：C． 【变式2-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 【答案】 【详解】由韦达定理，得，， 则. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 【题型03】由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例3-1】（25-26高一上·上海金山·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABC，根据，结合不等式的性质推导即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对A，则，故，故A错误； 对B，，则，且，故，故B错误； 对C，，则，且，故，即，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知、、，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质和特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A，取，此时，错误； 对于B，取，此时，错误， 对于C，因为，则，所以，正确， 对于D，取，此时，错误， 故选：C 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 【答案】必要不充分 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】当时，，所以命题“”是命题“”的不充分条件； 若，则，两边同时乘以得， 所以命题“”是命题“”的必要条件； 综上，命题“”是命题“”的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分 【变式3-3】（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 【题型04】由不等式的性质比较数(式)大小 【典例4-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断即得. 【详解】由，得，，，，A正确，BCD错误. 故选：A 【变式4-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则_______（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】根据不等式的性质即可得到答案. 【详解】因为且，利用不等式性质得， 故答案为：>. 【变式4-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则下列结论中正确的序号是________ （1） （2）     （3）     （4） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 【详解】因为，所以， 则，，，，故（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 【题型05】作差法比较代数式的大小 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差比较法，求得，即可求解. 【详解】由实数满足，则， 所以. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法判断各选项的真假. 【详解】对A：因为，因为，所以，则，所以，故A错误； 对B：因为，因为，所以，则，所以，故B错误； 对C：，因为，所以，但，的符号均不能确定，所以的大小不确定，故C错误； 对D：因为，因为，所以，，所以，所以，故D正确. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】因为恒成立， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】（2025高一·上海·专题练习）设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【答案】 【分析】利用作差比较即可判断． 【详解】∵， ∴， ∴． 【题型06】由不等式的性质证明不等式 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，， 当时，满足，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 【变式6-3】已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质求证即可. 【详解】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 【题型07】利用不等式求值或取值范围 【典例7-1】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 【变式7-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 【答案】A 【分析】由题意设，从而求出，从而可得 【详解】由题意设， 则，解得， 因为，， 所以，则的最大值为，故A正确． 故选：A． 【变式7-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 【题型08】解不含参数的一元一次不等式 【典例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则________． 【答案】 【分析】求出两个集合，再求出补集，最后求出交集即可. 【详解】, ， 因此. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 【答案】解集为，图象见解析. 【分析】解一元一次不等式，再求交集即可，最后画出数轴即可. 【详解】解出不等式①②得，解集为， 数轴表示如下． 【变式8-2】解不等式，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的求解可得，即可求解. 【详解】解：去分母，得；去括号，得； 移项，得；化简，得； 两边同除以的系数，得． 用区间表示不等式的解集为． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求适合不等式的整数解． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，求得，结合，即可求解. 【详解】解：由不等式，可得， 解得，即 ， 又由，所以， 所以原不等式的整数解组成的集合为． 【题型09】解含参数的一元一次不等式 【典例9-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得，要使不等式组的解集非空， 需使，所以，故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为. 【分析】由不等式，得，通过讨论，求得不等式的解集. 【详解】由不等式，得. 当时，，所以； 当时，，所以，恒成立； 当时，，所以. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R 当时，不等式的解集为. 【变式9-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设关于的不等式的解集为 . (1)求集合 ； (2)若，，求实数 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）将不等式化为，结合不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为满足不等式，且满足不等式，进而求得实数的取值范围. 【详解】（1）由不等式，可得，即， 当时，即时，不等式即为，此不等式不成立，所以； 当时，即时，解得，所以； 当时，即时，解得，所以， 综上可得：当时， ；当时，；当时，， （2）由，即满足不等式，可得，解得， 又由，即不满足不等式， 则满足不等式，可得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 知识点01等式的性质与方程的解集 1. 等式四大基本性质（） 对称性： 传递性： 加减不变性： 乘除不变性：； 2. 方程解集核心概念 方程的解集：所有能使方程成立的未知数取值构成的集合。 一元一次方程标准形式： 固定解集： 3. 重难点与易错点 （1）等式变形全程等价，不会改变方程的解集； （2）等式两边同除一个数时，必须保证该数不为0，否则变形无效。 知识点02一元二次方程的解集及根与系数的关系 1. 标准形式与判别式 一元二次方程标准式： 判别式： 2. 判别式与解集对应关系 （1）：两个不相等实数根 ，解集： （2）：两个相等实数根 ，解集： （3）：无实数根，解集： 3. 韦达定理（根与系数的关系） 若方程 两根为 ，则： 4. 重难点与易错点 （1）使用韦达定理的前提：方程为一元二次方程（）且有实数根（）； （2）两根之和公式含负号，是高频易错点； （3）解集为集合形式，书写结果必须加大括号。 知识点03不等式的性质 核心小结 1. 七大核心性质（） 对称性： 传递性： 可加性： 同向可加推论： 可乘性： （正数乘，方向不变） （负数乘，方向反转） 同向正数可乘： 正整数乘方性： 正数开方性： 知识点04核心易错总结 （1）不等式两边同乘、同除负数，必须反转不等号，是本节课最大易错点； （2）异向不等式不可直接相加，负数不等式不可随意乘方、开方； （3）乘方、开方性质仅适用于正数，负数不成立。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）“如果，那么”是________命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由不等式的性质即可判断. 【详解】取，则，故“如果，那么”是假命题. 故答案为：假. 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用并集和解不等式的知识求解即可. 【详解】当时，则 又则解得， 则实数a的取值范围是 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 5．（25-26高一上·上海·期中）已知满足，则的范围是______. 【答案】 【分析】根据题意可知，结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】因为， 且，则，可得， 所以的范围是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 【答案】 【分析】将方程右式展开整理，由题意得到对应项系数相等，求出的值即得. 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海松江·期中）已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理即可求得结果. 【详解】因为是一元二次方程的两个根， 所以根据韦达定理得. 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 【答案】; 【分析】根据题意，利用韦达定理求解. 【详解】因为一元二次方程的两实根分别为，， 所以， 则， 所以以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是， 故答案为：; 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有__________个. 【答案】3 【分析】根据不等式的性质依次判断即可①②，利用作差法结合不等式性质判定③④. 【详解】因为，所以，则，即，故①正确； 因为，则，所以，故，所以；则②不正确； 由于，而，，所以，，则，故③正确； 由于.而，，所以，，所以，故④正确； 故答案为：3 二、单选题 13． “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【详解】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 15．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用作差法计算判断大小关系及特殊值法，最后结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】当时，，所以，所以“”是的充分条件； 当时，满足，不满足，所以“”是的不必要条件； 则“”是的充分不必要条件. 故选：A. 16．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 【答案】，当且仅当时等号成立 【分析】利用作差比较法求解判断. 【详解】, 所以，当且仅当时，等号成立. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）若a，，以下四个条件①；②a，b为正数；③a，b为负数；④，选取其中的几个条件，能推出成立？ 【答案】①② 【分析】由不等式的性质结合分析法即可求解. 【详解】若要成立，只需成立，若①成立， 则要使成立，只需，故还需选②，故选①②可满足题意； 若①不成立，即，要使成立，则还需，但没有一个序号能说明； 综上所述，能推出成立当且仅当组合①②. 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，其中．若表达式（其中）的取值范围恰好为，求、的值． 【答案】或. 【分析】令，讨论的符号，结合不等式的性质及已知求参数值. 【详解】令，则，得， 所以且，而， 当，则， 所以，又， 所以，可得，符合； 当，则， 所以，又， 所以，可得，与矛盾； 当，则， 所以，又， 所以，可得，符合； 当，则， 所以，又， 所以，可得，与矛盾； 综上，或. 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知，比较与的大小，若相等请说明等号成立条件. （2）已知，解关于x的不等式：.（用解集形式表达） 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【分析】（1）作差判断大小，作差后分类讨论即可； （2）分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）， 当时，，，则， 当时，，则， 当时，，则. 综上，当时，；当时，；当时，. （2）由可得， 当时，即，，无解， 当时，即，可得， 当时，即，可得， 综上，时，解集为，时，解集为，时，解集为. 21．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）写出以二次项系数为，为根的一元二次方程，再利用恒等式推理得证. （2）根据给定条件，写出一元二次方程，结合（1）的结论计算即得. 【详解】（1）由是方程的两个实根，得， 即，因此恒成立， 则，所以. （2）二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程为， 即，由（1）知，， 而，因此， 所以所构造的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $