2.1 等式与不等式的性质（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“分层进阶+素养导向”为特色，A组夯实基础、B组能力提升、C组思维拓展、拓展对接高考，构建从单一知识点到综合应用的完整巩固路径，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|等式性质、一元二次方程、不等式性质等基础知识点|以选择、填空、基础解答为主，如列矩形面积不等式，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|跨知识点综合应用|含逻辑推理题型，如结合作差法与不等式性质比较大小，提升数学思维| |C组思维拔高|复杂情境与创新问题|设置开放探究题，如糖水浓度不等式证明，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题及模拟题|选取近三年高考题，如2026年北京卷实际情境题，培养应用意识|

分层作业 2.1 等式与不等式的性质 A组 巩固过关 题型01等式的性质与方程的解集 题型02一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型03列不等式（组） 题型04利用作差法比较大小 题型05利用不等式的性质判断正误 题型06利用等式的性质证明不等式的大小 题型07利用不等式的性质求取值范围 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )等式的性质与方程的解集 1．若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为___________ 【答案】 【详解】因为，则，故，即， 因为关于的方程的解集中只含有一个元素， 所以方程有两个相等的实数根，且该根不等于1，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中有一个根是1， 当方程有两个相等的实数根时，，解得， 方程的解为，符合题意； 当方程有两个不相等的实数根，且这两根中有一个根是1时， 则，解得，此时有两根1和0，则的根为0，符合题意； 故答案为： , 2．关于的方程有唯一解的条件是________． 【答案】 【详解】由，得到， 所以时，唯一解， 故答案为：. 3．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则______ 【答案】 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 4．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【详解】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 5．求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． ( 题型0 2 )一元二次方程的解集及其根与系数的关系 6．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个实数根为， 由题意， 解得或， 当时，方程为无解，舍去， 当时，方程为，两根为符合题意. 故则的值为0. 7．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 【答案】 3 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 8．（专题06期末真题百练通关01高一数学上学期沪教版必修第一册）若一元二次方程两实数根为，，则______. 【答案】 【详解】解：由题意得，， 所以. 故答案为：. 9．已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 【答案】; 【详解】因为一元二次方程的两实根分别为，， 所以， 则， 所以以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是， 故答案为：; 10．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【答案】 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. ( 题型0 3 )列不等式(组） 11．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 12．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 故选：D 13．体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 14．哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） ( 题型0 4 )利用作差法比较大小 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 16．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 17．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 18．设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴． ( 题型0 5 )利用不等式的性质判断正误。 19．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 20．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 21．若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】验证充分性： 已知，根据不等式的基本性质， 对，两边同乘正数，得，即； 对，两边同乘正数，得，即. 综上可得，故充分性成立. 验证必要性：举反例：取，，此时，，，满足，但，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“的”充分不必要条件. 22．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 23．在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 24．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是_____ 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. ( 题型0 6 )利用等式的性质证明不等式的大小 25．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 26．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 27．已知，．求证：． 【答案】 因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【详解】略 ( 题型0 7 )利用不等式的性质求取值范围 28．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，， . 故选：C. 29．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 30．若，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 31．已知实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】设， 则，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 32．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，因为函数在上单调递增，所以当时，有； 又因为，所以，同理，即，充分性成立； 当时，例如取，此时， 满足，但不满足，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，且不同时为零，所以，所以； 若，则由，知，所以，所以. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有绿豆、红豆、黄豆各数粒（各有至少1粒），已知绿豆的数量多于红豆，少于黄豆，红豆的数量的2倍多于黄豆数量，则下列说法不正确的是（   ） A．红豆的数量的2倍多于绿豆数量 B．绿豆的数量多于3 C．黄豆的数量多于4 D．绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为10 【答案】D 【详解】设绿豆、红豆、黄豆的数量分别为，，（，，均为正整数）. 由题意知，，，所以. 选项A：由得，，即红豆的数量的2倍多于绿豆数量，A正确； 选项B：取最小正整数进行验证. 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，此时，，满足条件，即绿豆的数量最少为4（多于3），B正确； 选项C：由选项B知，黄豆的数量最少为5（多于4），C正确； 选项D：由选项B知，绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为，D错误. 故选：D. 4．数学高一沪教版2020必修第一册）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 5．设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________． 【答案】 【详解】①由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. ②由，，知. 所以的取值范围是. ③由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. ④由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：；；；. 6．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 1．若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 2．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】D 【详解】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 3．定义：表示不超过的最大整数，如，，.当，，时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，，， 则，，， 则， 所以的可能取值有，，， 故选：D. 4．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 4．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 5．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 等式与不等式的性质 参考答案 ( 题型0 1 )等式的性质与方程的解集 1．【答案】 【详解】因为，则，故，即， 因为关于的方程的解集中只含有一个元素， 所以方程有两个相等的实数根，且该根不等于1，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中有一个根是1， 当方程有两个相等的实数根时，，解得， 方程的解为，符合题意； 当方程有两个不相等的实数根，且这两根中有一个根是1时， 则，解得，此时有两根1和0，则的根为0，符合题意； 故答案为： , 2．【答案】 【详解】由，得到， 所以时，唯一解， 故答案为：. 3．【答案】 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 4．【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【详解】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 5．【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． ( 题型0 2 )一元二次方程的解集及其根与系数的关系 6．【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个实数根为， 由题意， 解得或， 当时，方程为无解，舍去， 当时，方程为，两根为符合题意. 故则的值为0. 7．【答案】 3 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 8．（专题06期末真题百练通关01高一数学上学期沪教版必修第一册）若一元二次方程两实数根为，，则______. 【答案】 【详解】解：由题意得，， 所以. 故答案为：. 9．【答案】; 【详解】因为一元二次方程的两实根分别为，， 所以， 则， 所以以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是， 故答案为：; 10．【答案】 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. ( 题型0 3 )列不等式(组） 11．【答案】B 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 12．【答案】D 【详解】由题意得. 故选：D 13．【答案】D 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 14．【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） ( 题型0 4 )利用作差法比较大小 15．【答案】A 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 16．【答案】A 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 17．【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 18．【答案】 【详解】∵， ∴， ∴． ( 题型0 5 )利用不等式的性质判断正误。 19．【答案】B 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 20．【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 21．【答案】A 【详解】验证充分性： 已知，根据不等式的基本性质， 对，两边同乘正数，得，即； 对，两边同乘正数，得，即. 综上可得，故充分性成立. 验证必要性：举反例：取，，此时，，，满足，但，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“的”充分不必要条件. 22．【答案】D 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 23．【答案】②③ 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 24．【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. ( 题型0 6 )利用等式的性质证明不等式的大小 25．【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 26．【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 27．【答案】 因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【详解】略 ( 题型0 7 )利用不等式的性质求取值范围 28．【答案】C 【详解】，， ，， . 故选：C. 29．【答案】C 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 30．【答案】 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 31．【答案】 【详解】设， 则，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 32．【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 1．【答案】A 【详解】若，因为函数在上单调递增，所以当时，有； 又因为，所以，同理，即，充分性成立； 当时，例如取，此时， 满足，但不满足，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．【答案】C 【详解】若，则，且不同时为零，所以，所以； 若，则由，知，所以，所以. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．【答案】D 【详解】设绿豆、红豆、黄豆的数量分别为，，（，，均为正整数）. 由题意知，，，所以. 选项A：由得，，即红豆的数量的2倍多于绿豆数量，A正确； 选项B：取最小正整数进行验证. 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，此时，，满足条件，即绿豆的数量最少为4（多于3），B正确； 选项C：由选项B知，黄豆的数量最少为5（多于4），C正确； 选项D：由选项B知，绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为，D错误. 故选：D. 4．【答案】 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 5．【答案】 【详解】①由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. ②由，，知. 所以的取值范围是. ③由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. ④由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：；；；. 6．【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 1．【答案】A 【详解】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 2．【答案】D 【详解】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 3．【答案】D 【详解】由已知，，， 则，，， 则， 所以的可能取值有，，， 故选：D. 4．【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 1．【答案】B 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3．【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 4．【答案】B 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 5．【答案】/ 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 等式与不等式的性质 A组 巩固过关 题型01等式的性质与方程的解集 题型02一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型03列不等式（组） 题型04利用作差法比较大小 题型05利用不等式的性质判断正误 题型06利用等式的性质证明不等式的大小 题型07利用不等式的性质求取值范围 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )等式的性质与方程的解集 1．若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为___________ 2．关于的方程有唯一解的条件是________． 3．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则______ 4．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 5．求关于的方程的解集． ( 题型0 2 )一元二次方程的解集及其根与系数的关系 6．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 7．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 9．已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． ( 题型0 3 )列不等式(组） 11．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 12．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 13．体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 14．哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元. ( 题型0 4 )利用作差法比较大小 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 17．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 18．设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． ( 题型0 5 )利用不等式的性质判断正误。 19．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 21．若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 22．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 24．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是_____ ( 题型0 6 )利用等式的性质证明不等式的大小 25．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 26．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 27．已知，．求证：． ( 题型0 7 )利用不等式的性质求取值范围 28．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 30．若，则的取值范围为______． 31．已知实数满足，则的取值范围是______. 32．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有绿豆、红豆、黄豆各数粒（各有至少1粒），已知绿豆的数量多于红豆，少于黄豆，红豆的数量的2倍多于黄豆数量，则下列说法不正确的是（   ） A．红豆的数量的2倍多于绿豆数量 B．绿豆的数量多于3 C．黄豆的数量多于4 D．绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为10 4．数学高一沪教版2020必修第一册）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 5．设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________． 6．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 1．若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 3．定义：表示不超过的最大整数，如，，.当，，时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $