专题2.1 等式与不等式的性质（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题2.1 等式与不等式的性质 一、考情分析 2、 考点梳理 知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b的解的情况： （1） 当a>0时，； （2） 当a<0时，； （3） 当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法：  分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 一般式 二次函数 一元二次方程[ 一元二次不等式 图像与解 x y O x1 x2 或 x y O x0 无解 x y O 无解 R 无解 表中， 2、恒成立 恒成立 知识点4 绝对值不等式 1、a>0时， ①；②或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 或；． 三、题型突破 重难点题型突破1 等式与不等式的性质 例1．（1）、（2021·浦东新·上海师大附中高一月考）已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则； D．若，则 【答案】D 【分析】 当时可判断A，B；当时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：若，，，则即，故选项A不正确； 对于B：若，，则即，故选项B不正确； 对于C：若，，可得，故选项C不正确； 对于D：若，则，所以，所以即， 故选项D正确；故选：D. （2）、（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C. （3）、（2020·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________ ①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则. 【答案】②③ 【分析】 根据不等式的性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对①，举反例，取不成立，故①错误； 对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确； 对③，是不等式的性质，正确； 对④，取不成立，故④错误； 对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是，故⑤错误； 故答案为：②③ 【变式训练1-1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】若，则,故B错， 设,则，所以C、D错，故选A 【变式训练1-2】．（2020·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若实数，则下列说法正确的是__________． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1） 【分析】 根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 【详解】 根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果时不成立，故错误； （3）若时，不成立，故错误； （4）若，不成立，故错误. 故答案为:（1） 【点睛】 本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 【变式训练1-3】．（2020·上海闵行·古美高中）对于实数，给出下列命题：①若，则；②，则；③，则.其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据不等式性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对①，若，故①不成立； 对②，根据不等式性质，若则有，故②正确； 对③，对，可取，所以不成立，故③错误， 所以只有1个正确， 故选：B 重难点题型突破2二次不等式 例2．（1）、（2020·东莞市东华高级中学高一月考）若是方程的两个根，则( ) A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解. 【详解】 因为是方程的两个根， 所以由根与系数之间的关系，，， 故. 故选：C. （2）、（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是________