2026-2027学年高一上学期2.2 基本不等式 同步练习卷

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从基本不等式概念理解到条件最值求解再到综合证明的知识进阶，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一不等式性质、简单最值|单选题1-5直接考查概念辨析，填空题12-13强化运算技能| |中档层|条件最值、多变量关系|多选题9-11结合不等关系判断，单选题6-8引入参数条件| |综合层|不等式证明、实际应用|解答题15-19需构建数学模型，如19题综合三个正数关系证明，发展逻辑推理|

2.2 基本不等式 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 若，则下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 又， 所以. 故选：B 2. 已知正数满足 ，则的最大值（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数满足 ， 所以有，当且仅当时取等号， 故选：B 3. 已知x，y都是正数，若，则的最小值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以． 因为x，y都是正数，由基本不等式有：， 所以，当且仅当 即时取“＝”．故A，C，D错误. 故选：B 4. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） 【答案】. 【详解】，不符合提议；当时，不符合逻辑题意；，当且仅当时等号成立，故答案选. 5．若，则有（       ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值． 故选：D 6．若正数满足，则当取得最小值时，的值为（ ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】 【详解】， ，当且仅当时，等号成立，此时，解得，所以的值为6. 故选：C 7．已知，且，则的最小值是（       ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 8．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为1. 故选：B 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9．已知，且.则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当时，，所以BD选项错误. A，，当且仅当时，等号成立，A正确. C，，，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：AC 10．已知，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即取等号，所以B错误， 对于C，由，，，由柯西不等式得 ， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以C正确， 对于D，由，得， 化简得，所以， 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以D正确， 故选：ACD 11．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【详解】对于A，因为， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以xy的最大值为1，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最大值为2，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12．已知，，且满足，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】因为，，且满足， 则 当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 13．若正实数满足，则的最大值为________. 【答案】4 【详解】因为， 所以， 又且， 所以， 解得， = 结合知，有最大值4. 14．已知x，y∈R，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，则，即 令2，所以 所以 由均值不等式，当且仅当取等号 所以的最小值为. 四、解答题：共5小题，共77分 15．设，求证：. 【答案】见详解. 【详解】证明： 因为，所以， 所以.当且仅当，即时，等号成立.故时，. 16．已知为不全相等的正数，且. 求证：. 【答案】见详解. 【详解】证明：因为都是正数，且，所以，，，三个不等式左、右两边分别相加，得，当且仅当时，等号成立.又因为不全相等，所以. 17．已知，，若，求的最小值． 【答案】． 【详解】因为，，所以，． 又，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 18．（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 19.（1）已知，，均为正实数，求证：． （2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：． 【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以．① 同理②，③． ①＋②＋③，得，当且仅当时等号成立． （2）因为，，，是正实数， 所以， 当且仅当时等号成立．又，，互不相等，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 若，则下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 2. 已知正数满足 ，则的最大值（       ） A． B． C． D． 3. 已知x，y都是正数，若，则的最小值为（       ） A． B． C． D．1 4. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） 5．若，则有（       ） A．最小值-1 B．最小值 C．最大值 D．最大值 6．若正数满足，则当取得最小值时，的值为（ ） A．9 B．8 C．6 D．3 7．已知，且，则的最小值是（       ） A．6 B．8 C．14 D．16 8．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9．已知，且.则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 10．已知，，下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为1 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12．已知，，且满足，则的最大值为__________. 13．若正实数满足，则的最大值为________. 14．已知x，y∈R，且满足，则的最小值是 . 四、解答题：共5小题，共77分 15．设，求证：. 16．已知为不全相等的正数，且. 求证：. 17．已知，，若，求的最小值． 18．（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 19.（1）已知，，均为正实数，求证：． （2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $