第一次月考模拟考试培优卷2026—2027学年人教版九年级上学期数学

**基本信息** 这份九年级数学月考培优卷聚焦一元二次方程与函数核心内容，通过实际应用情境（如阅读量增长、商品利润）和梯度问题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配月考检测与培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程概念、函数性质|函数图象辨析（第5题），考查几何直观| |填空题|6/18|根与系数关系、实际应用|商品利润问题（第13题），体现模型意识| |解答题|9/72|方程求解、函数综合、几何应用|二次函数与平行四边形综合（第24题），梯度从基础到创新|

2026—2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考模拟考试培优卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共6页，25小题，考试时间120分钟，满分120分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（    ） A．、1 B．6、1 C．6、 D．、 2．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 4．已知反比例函数，当时，y的最大整数值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．11 5．函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．  B．  C．  D．   6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 7．在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．方程的根为_______． 12．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 13．某商品现在出售一件可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价_____元时每天可获利182元． 14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是．那么飞机着陆后滑行__________米停下（即飞机滑行的最大距离）． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 16．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是_____． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，抛物线与轴一个交点为，与轴交于点，直线的解析式为． (1)抛物线与轴另一个交点坐标为__________； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)当时，的取值范围是__________． 19．关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求p的取值范围； (2)若，求p的值． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 21．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． (1)_______米；（用含x的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 22．小商品市场一经营者将进价为每件60元的某种小商品按每件80元出售．一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低元，其销量可增加5件．设该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元． (1)求y与x的函数关系式（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该经营者经营该商品一天要获利润1890元，每件商品应降价多少元？ (3)当x取何值时，该经营者所获利润最大？最大利润为多少元？ 23．已知关于x的二次函数（m是常数）． (1)求证：二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)若该抛物线与x轴的交点分别为，且，求m的值． 24．拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D C B A D B B 11． 12． 13．3 14． 15． 16．②④ 17．【详解】（1）解：， ， 此方程有两个不相等的实数根， ， 原方程的解为； （2）， ， ， ， 原方程的解为． 18．【详解】（1）解：根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点， ∴与轴另一个交点， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象可知，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）解：根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 19．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴， ∴， ∴p的取值范围是； （2）解：根据根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴p的值为． 20．【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． 21．【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为40米． 22．【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：依题意，得， 即， 解得，（舍去）． 故每件商品应降价元． （3）解：根据题意，得． 当时，元． 故当时，该经营者所获利润最大，且最大利润为元． 23．【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴二次函数的图象与x轴总有两个交点； （2）解：根据题意，可知，是方程的两个根， ∴，， ∵，∴， ∴， 即， ∴， ∴，∴． 24．【详解】（1）解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解： 设的表达式为， 则，解得， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ①当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； 证明：设， 设直线的表达式为 ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点． 25．【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 学科网（北京）股份有限公司 $