第一章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，通过选择、填空、解答题（10/6/6题，30/24/66分）覆盖定理应用、实际问题解决，结合芦苇测量、口袋公园等生活情境，适配单元复习，培养几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判断、直角三角形高计算、勾股树面积|以勾股树（题7）、秋千问题（题10）渗透数形结合| |填空题|6/24|树折断距离（题11）、直角边分类讨论（题13）|动态折叠（题16）体现空间观念| |解答题|6/66|四边形面积（题18）、便民服务站选址（题21）|综合题24结合全等推理与动态几何，提升推理能力|

第一章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，共30分） 1．在下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．，，1 D．32，42，52 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的的高为（　　） A．6 B．5 C．4 D．4.8 3．若三角形的三边长a、b、c满足（a﹣7）2+|b﹣24|+|c﹣25|＝0，则该三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC的长是（　　） A．25 B．144 C．12 D．15 5．如图，长方形（阴影部分）的面积是（　　） A．9cm2 B．15cm2 C．36cm2 D．39cm2 6．直角三角形的两条直角边的比为5：12，斜边长为26cm，则较长的直角边的长为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．24cm 7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，1，2，则最大正方形E的面积是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 9．如图所示，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．11 B．12 C．13 D． 10．如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.25m C．4m D．5.5m 二．填空题（共6小题，共24分） 11．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是 　 ． 12．如图，从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为6m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是 　　 m． 13．已知直角三角形的两边的长为6和8，则第三边长为 　　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为 　　 ． 15．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　　 m． 16．长方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在射线AD上运动，将△AEB沿BE折叠，A的对应点F恰好落在直线DC上，则AE的长为 　　 ． 三．解答题（共66分） 17．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，，BD＝4．求AB的长． 18．如图，一块四边形草地ABCD，其中∠BAC＝90°，AB＝10m，BC＝26m，CD＝7m，AD＝25m，求这块草地的面积． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求AB，CD的长． 20．口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等．如图，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C在桃李园B的正东方向30m处，玫瑰园D与入口C相距120m，玫瑰园D与入口A相距130m．求这个口袋公园的面积． 21．如图，在笔直的公路上有相距2.5km的A，B两点，C，D为两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B．已知DA＝1.5km，CB＝1km．现要在公路的AB段上建一个便民服务站E，使得C，D两村到便民服务站E的距离相等．便民服务站E应建在离A点多远的地方？ 22．如图，一块四边形的空地ABCD，∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米． （1）连接AC，试判断△ACD的形状并说明理由． （2）为了绿化环境，计划在该四边形空地上铺设草坪，则此块空地面积是多少平方米？ 23．如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿线段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC＝9m；②在AC的一侧选点D，使BD＝12m，CD＝15m；③测得AD＝20m．请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD，求CF的长． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．在下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．，，1 D．32，42，52 【解答】解：由三个正整数，满足两个数的平方和等于另一个数的平方，则这三个正整数为勾股数可得： A、不是整数，不是勾股数，不符合题意； B、32+42＝52，是勾股数，符合题意； C、有分数，不是勾股数，不符合题意； D、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的的高为（　　） A．6 B．5 C．4 D．4.8 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴，AB边上的的高为6×8÷10=4.8 故选：D． 3．若三角形的三边长a、b、c满足（a﹣7）2+|b﹣24|+|c﹣25|＝0，则该三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【解答】解：由题意得，a﹣7＝0，b﹣24＝0，c﹣25＝0， 解得a＝7，b＝24，c＝25， ∵a2+b2＝72+242＝49+576＝625， c2＝625， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC的长是（　　） A．25 B．144 C．12 D．15 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13， 则BC12， 故选：C． 5．如图，长方形（阴影部分）的面积是（　　） A．9cm2 B．15cm2 C．36cm2 D．39cm2 【解答】解：由勾股定理得，长方形的长12（cm）， ∴长方形（阴影部分）的面积＝12×3＝36（cm2）， 故选：C． 6．直角三角形的两条直角边的比为5：12，斜边长为26cm，则较长的直角边的长为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．24cm 【解答】解：设直角三角形的两条直角边分别为5a，12a， 则斜边长为：， ∴13a＝26 解得：a＝2， ∴较长的直角边的长＝12a＝24 cm， 故选：D． 7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，1，2，则最大正方形E的面积是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： x2＝22+32＝13； y2＝12+22＝5； z2＝x2+y2＝18； 即最大正方形E的面积为：z2＝18． 故选：C． 8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【解答】解：由题意得：AB⊥B′C，AB′＝AB，（尺），BC＝1尺， 设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺， 在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2，即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 9．如图所示，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．11 B．12 C．13 D． 【解答】解：由题意可得：此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ． 故选：C． 10．如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.25m C．4m D．5.5m 【解答】解：由题意可知，DE＝CF＝2.5m，BE＝0.5m， BD＝DE﹣BE＝2.5﹣0.5＝2m， 设AC的长为x（m），则AB＝AC＝x（m）， ∴AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m， 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2， 又∵CD＝3m， （x﹣2）2+32＝x2， 解得：x＝3.25， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是 　26m ． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝10m，AC＝24m， ∴BC26（m）． 故答案为：26m． 12．如图，从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为6m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是 　　 m． 【解答】解：∵从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为6m的钢缆， ∴BC＝5m，AC＝6m， ∴． 故答案为：． 13．已知直角三角形的两边的长为6和8，则第三边长为 　10或　 ． 【解答】解：分两种情况： ①当6和8为直角边时，第三边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，第三边长为． 故答案为：10或． 14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为 　6　 ． 【解答】解：如图， ∵△ABE与△ACE都是等腰直角三角形， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∵16，S2， ∴AD2＝BD2＝32，AE2＝CE2＝50， ∴AB2＝AD2+BD2＝64，AC2＝AE2+CE2＝100， ∴BC6， 故答案为：6． 15．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　0.6　 m． 【解答】解：∵立柱AD垂直平分横梁BC， ∴AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵斜梁增加部分AE的长为1.2m，点E在BA的延长线上， ∴BE＝BA+AE＝5.2m， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵2.6﹣2＝0.6m， ∴立柱EF相比AD增高了0.6m， 故答案为：0.6． 16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在射线AD上运动，将△AEB沿BE折叠，A的对应点F恰好落在直线DC上，则AE的长为 　或15　 ． 【解答】解：如图1，当点E在线段AD上时， ∵矩形ABCD， ∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 由折叠知，AE＝EF，AB＝BF＝5， ∴， ∴DF＝CD﹣CF＝1， 设AE＝m，则EF＝m，ED＝3﹣m， ∵DE2+DF2＝EF2， ∴（3﹣m）2+12＝m2， 解得， 即； 如图2，当点E在线段AD的延长线时， 此时DF＝5+4＝9，ED＝m﹣3， ∴（m﹣3）2+92＝m2， 解得m＝15， 即AE＝15； ∴AE 的长为或15， 故答案为：或15． 三．解答题（共6小题） 17．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，，BD＝4．求AB的长． 【解答】解：在△ACD中，AC2＝25，CD2＝1，AD2＝26， ∴AC2+CD2＝AD2 ∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°． ∵BD＝4，CD＝1， ∴BC＝4+1＝5． 在 Rt△ACB中，由勾股定理，得AB． 18．如图，一块四边形草地ABCD，其中∠BAC＝90°，AB＝10m，BC＝26m，CD＝7m，AD＝25m，求这块草地的面积． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝10m，BC＝26m， ∴， ∴． ∵242＝576，72＝49，252＝625， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴△ACD为直角三角形，且AC、CD为直角边， ∴， ∴这块草地的面积． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求AB，CD的长． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：CD＝9.6， 故AB的长为20cm，CD的长为9.6cm． 20．口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等．如图，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C在桃李园B的正东方向30m处，玫瑰园D与入口C相距120m，玫瑰园D与入口A相距130m．求这个口袋公园的面积． 【解答】解：桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C在桃李园B的正东方向30m处，玫瑰园D与入口C相距120m，玫瑰园D与入口A相距130m． 如图，连接AC． 由题意，得∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，CD＝120m，AD＝130m， ∵AC2＝AB2+BC2＝402+302＝2500， ∴AC＝50m． ∵AC2+CD2＝502+1202＝16900＝1302＝AD2， ∴∠ACD＝90°． ∴． 答：这个口袋公园的面积为3600m2． 21．如图，在笔直的公路上有相距2.5km的A，B两点，C，D为两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B．已知DA＝1.5km，CB＝1km．现要在公路的AB段上建一个便民服务站E，使得C，D两村到便民服务站E的距离相等．便民服务站E应建在离A点多远的地方？ 【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（2.5﹣x）km． ∵DA＝1.5km，CB＝1km， ∴x2+1.52＝（2.5﹣x）2+12， 解得：x＝1， ∴AE＝1km， ∴便民服务站E应建在离A点1km处． 22．如图，一块四边形的空地ABCD，∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米． （1）连接AC，试判断△ACD的形状并说明理由． （2）为了绿化环境，计划在该四边形空地上铺设草坪，则此块空地面积是多少平方米？ 【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴AC2＝202+152＝625， 解得：AC＝25（负值已舍去）， ∵CD＝7，AD＝24，AC＝25， ∴CD2+AD2＝72+242＝49+576＝625，AC2＝252＝625， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形； （2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AB•BCAD•CD 20×1524×7 ＝234（平方米）， 答：此块空地面积是234平方米． 23．如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC＝9m； ②在AC的一侧选点D，使BD＝12m，CD＝15m； ③测得AD＝20m． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【解答】解：∵CD2＝225，BC2＝81，BD2＝144， ∴BC2+BD2＝CD2＝225， ∴△BCD为直角三角形， ∴∠CBD＝∠ABD＝90°， ， 所以池塘两端A、B之间的距离16m． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD，求CF的长． 【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°， ∴∠BED＝70°， ∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°， ∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°； （2）①∵BF＝BA，AB＝AC， ∴BF＝AC， ∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°， ∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FBE， ∴△BEF≌△AFC（AAS）， ∴EF＝FC， ∴， ∵AB＝AC＝8， ∴CF2+（2CF）2＝64， 解得：（负根舍去）； ②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：∠ABE＝∠CAF， 而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF（AAS）， ∴， 当D在M的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $