第一章勾股定理暑假预习单元检测卷 2026—2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心应用，通过基础辨析、情境探究与跨场景实践，构建“概念理解-推理证明-实际建模”的逻辑链条，渗透抽象能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-8、填空9-12|直角三角形判定、边长计算、面积转化|从勾股定理概念出发，结合几何直观，强化数与形的对应关系| |综合探究|解答14-16|新定义（调和数）、定理证明（赵爽弦图）|通过推理意识构建知识网络，实现从特殊到一般的规律提炼| |实际应用|解答13、15、17-18|折叠问题、网格计算、生活场景（树断裂、婴儿车安全）|以应用意识为导向，将数学模型与现实问题关联，体现建模思想|

第一章勾股定理暑假预习单元检测卷北师大版2026—2027学年八年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．小明把一根长为的木条加工成一个直角三角形框架，这个三角形的三边长可以是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为．乙一直向东走，甲先向南走步，后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，且．则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 8．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 10．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 11．如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 12．如图，，，均为正方形，为直角三角形，的面积为5，的面积为20，则的面积为________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 14．定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 15．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 16．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 17．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． (1)判断是否为直角三角形并说明理由； (2)求最长边上的高． 18．如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 参考答案 1．B 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．16 10．5 11． 12．15 13．【详解】（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 14．【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 15．【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． (2)该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 16．(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 17．【详解】（1）解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 18．(1)证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ∴， 的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $