26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，涵盖定义、一般形式及判断方法。课堂导入通过矩形面积、商品利润等实际问题，结合函数、一次函数等知识回顾，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步抽象二次函数特征。 其亮点在于以喷泉水珠轨迹、球队比赛场次等情境培养数学眼光，通过归纳函数共同点发展数学思维，用解析式表达实际问题强化数学语言。采用问题驱动和结构化小结，学生能提升建模与推理能力，教师可高效开展概念教学。

第二十六章 二次函数 2026人教版·九年级上册 26.1 二次函数的概念 学习目标 1.理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. 2.经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. 3.感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 章前引言 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。 x 20 －x 面积计算： y = x (20 - x) 整理得： y = -x² + 20x(0 < x < 20) ① 不同于一次函数的新函数 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？ （1）矩形的面积与边长 y与x之间关系式 水珠从喷头喷出后，其运动轨迹呈现出完美的抛物线形状， 这正是本章学习的二次函数在现实世界中最直观、最优美的体现。 从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线。在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。 （2）喷泉水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x 章前引言 1.什么是函数？ 3.什么叫做一次函数？ 4.什么叫做正比例函数？ 2.函数有哪些表示方法？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 形如y=kx(k≠0) b=0 知识回顾 1.解析法 2.列表法 3.图象法 你能列出下列变量之间的函数关系式吗？ 2. 正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式； 3. 某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式. 1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式； y=10x y=x² 利润=（售价－进价）×数量 y =（ x －20）（ 100-x ） =-x²+120x-2000 导入新课 探究新知 问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场. n-1 ② 探究新知 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【分析】一年后的产量： 20(1+x) t 两年后的产量： 20(1+x)(1+x) t y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 ③ 探究新知 思 考 观察函数①②③，它们有什么共同点？ y = -x² + 20x ① ② y=20x2+40x+20 ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 新知小结 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 其中x是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. x2 a b c x 新知小结 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 1. 下列函数是二次函数的是 ( ) A. y＝x2＋1 B. x2y＝1 C. y＝2x3－2(x－1)2 D. y＝x－0.5 A 即时即练 2.关于函数y=(500−10x)(40+x) ，下列说法不正确的是( ) A.y是x的二次函数 B.二次项系数是−10 C.一次项是100 D.常数项是20000 C 新知小结 判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 例题分析 例 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即 S = 4πr² 例题分析 (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. 解：(2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 即时即练 3. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，那么y与x之间的函数解析式为（　A　） A. y＝60(1－x)2 B. y＝60(1－x) C. y＝60－x2 D. y＝60(1＋x)2 A 4. 在半径为4 cm的圆中，挖出一个半径为x cm的圆，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x的函数关系式为（　D　） A. y＝πx2－4 B. y＝π(2－x)2 C. y＝－(x2＋4) D. y＝－πx2＋16π D 课堂小结 二次函数的概念 定义 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 系数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) 课堂练习 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y=8x²-16x+8; (2) y=x²; (3) (4)y=2(x-1)²-5. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 -16 8 1 0 0 5 0 =2x2-4x-3 2 -4 -3 【选自教材P31练习 第1题】 30m xm 20m xm 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 解：y = (30+x)(20+x) 即y= x2+50x+600. 课堂练习 【选自教材P31练习 第2题】 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 课堂练习 【选自教材P31练习 第3题】 已知一个直角三角形的两条直角边的和为20 cm. 设这个直角三角形的面积为S cm2,其中一条直角边长为xcm,写出S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式及自变量x的取值范围. x 20-x 解 ：由题意可得S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为 自变量x的取值范围是0<x<20. 4. 在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有 (　B　) ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 课堂练习 下 课 $